三研·三构·三精准

于瑞云

【摘 要】研读教材，精细把握知识内涵；研究学生，精确进行学情诊断；设计教学，精准落实学科素养。基于“数与形”的教学内容，在学情诊断和内涵精准把握的基础上设计教学，并在课堂上精准实施，对教学进行重构与优化。

【关键词】精准教学；前测策划；数与形；重构与优化

“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它能把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形有机联系起来，更好地体现在核心素养下，能充分利用数形结合思想，有效解决一些实际问题。“以数辅形”和“以形助数”是“数形结合”的两种方法，即通过抽象思维与形象思维的有机结合，可以使复杂的问题变得简单，抽象的问题变得具象，从而达到优化解题途径的目的。人教版教材六上“数与形”旨在通过数形结合，培养学生的核心素养，侧重于用数学的视角观察、数学的方法思考、数学的语言表达。

基于上述思考，笔者试图从研究学生开始，了解学生的学情，结合学生的需求，努力研读教材，把握知识的内涵，从而在学情诊断和内涵精准把握的基础上，设计教学，并在课堂上精准实施。

一、研读教材，精细把握知识内涵

数形结合在小学教材中并不陌生，无论哪个年级都会有所渗透。“数与形”是人教版教材中新增加的一个数学广角，教材编写的意图是通过数形的对照，利用图形表示出数的规律，从而理解“正方形数”或“平方数”的特点，进而运用探索到的规律，解决从1开始的连续奇数的求和。就这节课，我们在集体备课时，研讨了以下几个问题。

（一）教材编排的序列中，不乏数与形，为何还要研究

翻开人教版教材，我们不难发现，数形结合比比皆是，从一年级1～5的数的认识，有实物图到半抽象的三角形，最后到抽象的数字3；再看三年级在解决两位数乘两位数的笔算乘法时，教材就出示的点子图，通过圈和画，理解算理，得出算法。六年级则分别用面积模型和线段模型来解释分数乘、除法的算理。学生从接触数学开始，就会有意识或无意识地接触图形，为什么在六年级的数学广角里面还要设置两节关于这样的课？

首先，“数与形”可以多角度观察，视角不同呈现的算式也不同，然后结合图来解释为什么从1开始的连续奇数的和是一个正方形数，培养学生的科学推理能力，教材提供一个“数形”研究的话题，对于一线教师来说要创造性地使用教材，使教学的内容更有深度和广度。其次，六年级是小学阶段的终极，安排“数与形”的研究，可以对以前学过的知识和方法进行回顾与总结，进而达到融会贯通的目的。

（二）教材编排的结构中，只有一个例，怎样展开教学

六年级教材中“数与形”编排结构是这样的：结合图形与算式，依据规律，把结果补充完整→观察图形与算式之间的关系，寻找规律→根据规律，解决从1开始的连续奇数求和。

首先是导入。教材只是静态地呈现图与式，教学过程是师生的动态演绎，把静态的思想进行动态转换有两种不同的导入方式：（1）直接出示图，让学生观察，通过观察列出不同的算式，感受算式的结果是正方形数。（2）给出从1开始的连续奇数，先计算，后观察，接着摆一摆，用几种不同的图来展示，最后引出正方形数。考虑到六年级学生的思维正处于由形象思维逐渐过渡到抽象思维的阶段，学生有一定的学习经验，为了激活学生的已有知识经验，由图引入，更能让学生发现，同一幅图因为视角不同，所得到的算式也会不同，在众多的不同里面，又能归纳出所有算式的共性，让学生明白数能助形。由图引入观察，到列出算式，更接近学生，更多元，更有创造性。

其次是展开。教材中借助小男孩的一句话总结了从1开始的连续奇数和正好是正方形每边数的平方。通过观察发现、合作交流，最后归纳出这样一个规律。这就需要教师设计有效的教学活动，让学生积极参与，引发学生数学思考，通过观察、计算、推理、归纳，最后得出结论。

（三）教材編排的意图中，只是一个点，哪些需要补充

华罗庚曾说过：数无形时少直觉，形少数时难入微。也就是说，本节课既要让学生体会“用形助数”，也要让学生感受“用数辅形”。只用例1让学生感受数形结合的魅力，相对来说单薄了一些，那么我们需要补充哪些内容呢？

补充一：教材的例1，从形引入，旨意是“以数助形”，那么教材缺失的是“以形辅数”，因此，如果把例2（除去极限思想）借过来，是典型的借助于图来理解算式，把复杂的计算通过画图来理解，直观、易懂而且结果简单。

补充二：引发学生思考，从2开始的连续的偶数之和又可以用怎样的一个图来直观表示呢？数学广角的一个作用是渗透数学思想方法，如果学生能够类比迁移，把研究连续奇数和的方法运用到研究连续偶数的和，既巩固了对数与形的认识，又开阔了视野。

补充三：当学生感受了形与数的不可分割之后，作为六年级的数学课堂，是不是应该让学生感受数形结合并不陌生？通过回忆那些年我们遇见过的数与形，看到数联想形，看到形激活数，从而达到融会贯通的境界。拓宽学生的视野，增长学生的学识。

总之，教师在通过研读教材，吃透教材的编排意图，精细地把握教材的内涵之外，还要适当寻找增量，弥补教材的不足，这样解读会更精准。

二、研究学生，精确进行学情诊断

在教学中，学生是独特的个体，有着不同的生活和学习的经验，教师仅仅凭借主观意愿和教学经验做出的推断，往往会造成主观认识与客观现实之间的差距。因此，教师可以通过前测，了解学生，并分析学生的学情，真实地获取有效信息。

（一）前测理念与测查构想

教学活动要“以生为本”，要激发学生的学习动机，激活学生的学习兴趣，满足学生的学习需要。始终以符合学生的学习水平为出发点和落脚点。因此，通过前测，了解学生的实际学习水平是落实“学生主体”的需要。

教学过程是师生的互动过程，在教师与学生沟通、交流和影响的基础上，让“教师的教”与“学生的学”落到实处。通过前测，了解学生需要什么、缺少什么。因此，了解学情是课堂上师生之间“有效互动”的保障。

小学数学“数与形”是数学广角的内容，从思维的层次、广度来看，学生的层次差异会更大，因此，教师提前切入，了解学生的准确学习情况，进而设计教学，使得课堂绽放生命活力。

（二）前测试题与测试意图

学生从一年级开始就有数形结合的基础，会自觉、不自觉地用上数与形，特别是解决问题时，常常通过画图寻找数量关系，然后找到知识的连接点，进而解决问题。那么是不是有数形结合的经验，就能准确地掌握“数与形”的知识内涵呢？为了使教师能更好地开展教学，我们设计了前测试题，对上课的两个班级总共86名学生进行了前测，试图通过分析学生的测试结果，进而设计出符合这两个班学生的教学。

例1是正方形，考虑到学生在以往数正方形时会将最外面的大正方形包括进来，为了避免产生歧义，我们把正方形改成了圆点。教材的设计意图是让学生能多角度观察，从而发现隐藏的规律，建立从1开始的连续奇数之和与正方形数的对等关系。本题的测试意图是：（1）学生会从哪几个角度去观察这个正方形，并能列出几种不同的算式？（2）学生的视角是建立在哪个层面的？是识记、理解还是创造？（3）学生的操作结果，对于教学有哪些借鉴？

例2是一道等比数列，教材的编排意图是通过不断地逼近，最后从有限走向无限。那么放在这里测试的目的是：（1）给出一个算式，学生能从几种不同的图中找到结果（教材中给出了面积模型和线段模型的图），能不能达到一式多图的效果？（2）计算与画图正确有没有正关联？（3）学生的测试结果，对于教学有哪些启示？

设计前测试题是了解学生的前提，它可以根据教师教学的需要，或设计测试学生知识掌握情况的题目，或设计测試能力发展的题目，抑或设计了解学生心理特征的题目……本次前测侧重于了解学生的能力，数学广角注重培养学生的思想方法，这就要求学生要有诸多知识经验、能力水平的支撑。

（三）测试结果与学情诊断

前测试题的第一题是：下图中一共有几个小圆点，请你圈一圈，并写出算式。给出三个图，也就是学生可以有三种不同的圈法，通过整理，学生有如下几种情况：

根据学生的画法进行归类，把5个5个圈和1个1个圈的，刚好被25整除的这一类看作是乘法的角度，把几个几个圈之后有余数的归为一类，称为余数的角度，余下三种画法是固定的。通过统计每一种画法的人数和百分比如下：

从前测数据可以看出，绝大多数学生至少能找到一种圈法，也就是从乘法的角度去观察这个正方形的点子图，5×5=25是清晰的，教学过程中只要强化一下，这个平方数也叫作正方形数，有57位学生至少能从两种角度去观察这个图，并且列出两种以上的算式。说明学生有这样的学习基础，从倍的认识、乘法的认识以及有余数的除法，都可以切入到对这幅图的理解中。等差数列是一种独特的视角，不管是斜着看还是“L”形看，在之前的数学学习中是没有出现过的，有39.5%的学生这样表达，可见学生的学习能力是强的。那么在数学广角里，它是对三大知识领域的重要补充，是数学基本思想的重要载体，有部分学生能从多角度去观察，发现图与式之间的关系，我们可以借助这些学生，辐射到整个班级，也就是说等差数列求和与正方形数的关系，学生是能够发现并推广的。为了让40%的学生不停留在例1上面，教师可以引发学生思考：为什么首项是1，公差是2的等差数列之和就是一个正方形数？可以让这部分思维活跃的学生先思考，可以讨论，也可以借助图形自己研究分析。通过前测，我们可以明确课堂教学时例1的教学模式，让40%的学生带领大家一起研究，发现规律，解释规律，最后应用规律。

前测试题的第二题是：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=（ ），学生在五年级学过“异分母分数加减法”，结果正确的有74人，结果大于1的有3人，结果小于1，但是做错的有7人，具体统计的百分比如下图。

从前测数据可以看出86.1%的学生可以准确计算，同时也发现计算正确的学生，图示也正确，错误的学生除了图示错误以外，通分后，分子相加时出错。通过前测学生可以感受到计算的繁杂，接着用图形来解释数直观，从中体会到画图找结果简便。另外，学生还能开阔眼界，不仅可以是长方形的图，也可以是圆形的图，还可以是线段图（因为学生在前测中，只出现长方形的图）。

综上所述，对于本班的学生来说，例1和例2这样的数形结合有一定的基础，教师除了引导学生用数与形相互转换的方法思考问题以外，还要让学生感受到数学的有趣。

三、设计教学，精准落实学科素养

有效整合教材，搜集优质的学习材料，精心设计教学板块，并层层深入，可以精准落实学科素养，使得课堂教学效益最大化。

（一）一图多式，沟通联系，解释应用

图形以直观、形象吸引视觉，借助数不仅能诠释形的价值，还能突出形背后隐藏的特征和规律，因此多角度地观察形，同时列出算式，付诸形更多的价值。

【案例1】

教师出示一组图，提问：同学们，这组图用不同的视角进行观察，你能看出哪些数？（见图1）

师：观察这些数，哪里变了？哪里没有变？

生：算式的形式变化了，但是结果都是正方形数。

师：你能从下面的算式里找到正方形的边长吗？

生：从1开始连续奇数的个数就是正方形的边数。

生：像拱桥的这组数，最大的那个数就是正方形的边长。

师：那么1+3+5+7+9+11+13和1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1，你能想到怎样的形？

……

师：从1开始的连续的奇数之和是正方形数，那么你猜猜连续的偶数又会是怎样的图形呢？

接着教师出示另一幅图，让学生试着用数来解释图。

学生由图引出算式，寻找算式与图隐藏的规律，并且运用发现的规律解决问题，同时又从连续的奇数类比到连续的偶数，打破惯性思维，达到化隐为显、化难为易、拓宽思维的目的。

（二）一式多图，化繁为简，开拓思维

数和形是数学研究的两大板块，在解决一些抽象的、复杂的问题时，常常借助图形的形象与直观来揭示复杂、抽象的数学问题，从而达到数上构形、形中觅数，使复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，激发学生学习数学的兴趣、提高学生的解题能力。

【案例2】转承案例1

师：刚才一幅图可以让我们看出三个不同的算式，那么现在的算式，又能让你想到哪些图形呢？

出示[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]，学生独立思考。

学生最先得出的是正方形的图，在教师的引导点拨后，就有不少学生用线段图和其他面积图来表示。

师：通过画图，你们能不能看出这个算式的结果是多少？

生：只要1减去最后一个分数就可以了。

通过画图学生直观地看出最后的结果，计算简捷，正确率高。同时也理解同一个算式可以用不同的图形来表示，激活已有经验。学生在对图的解释中惊叹图的魅力，数的微妙，同时培养了求异思维。

（三）数形互译，融会贯通，提高素养

数中有形，形中有数，数形互译，事半功倍。在教学中，既要抓住图形的直观分析，又要注重数据的逻辑推理，用形的直观来阐述数的抽象，以数的精准来反映形的本质。六年级的学生已经清楚数、形的密切联系，就要创造机会，由数联想到形，由形沟通到数，在数与形中游刃有余。

【案例3】转承案例2

师：其实在小学阶段，对于数形结合我们并不陌生，让我们一起去看看。看到这幅图，你会想到什么？

生：求平均数时，取一个基准数。

师：那是以谁为基准？

生：以93为基准。

师：你能用图中的方法求出平均数吗？

生列出算式：93+（2+1）÷8=93.375（分）。

师：现在老师呈现一个算式（1+5）×5÷2=15，你能想起什么？

生：梯形面积计算。

生：等差数列求和。

师：结合他们说的，你想到了什么图形？

根据学生的回答，教师出示生活中堆木头的图（见下图）。

师：你还能想起什么？

在学生的已有知识被激活的时候，教师呈现一些学生曾经接触过的或者未来要遇见的数与形结合的内容，让学生感受数形相融。

通过回顾与展望，总结与反思，教师让学生尝试抓住知识本质，沟通知识，寻求共性，以达到融会贯通的目的。在享受数学奥秘的过程中，拓宽学生的思路，培养学生的思维能力，从而提高学生学习数学的素养。

总之，“数与形”精准教学的重构与优化，是教师基于学情、教材并融合前测量的一种精准化教学的探索，有利于教师在紧扣学情的前提下，整合科学、合理的教学方法，提高学生的参与兴趣，提升课堂教学质量。同时，这也是检验教师从始至终的教学担当与敬业态度的标准。每一个课例都有其独特的魅力，是我们探索精准课堂教学的有效途径。当教师走进课例研究的深处，研读教材、诊断学情、精准实施课堂教学，那么其对教育教学的理解就有了质的飞跃，课堂教学之路就豁然开朗。

参考文献：

[1]郑毓信，梁贯成.认知科学、建构主义与数学教育[M].上海：上海教育出版社，2002.

[2]郑怡文，陈星红，白云辉.基于大数据在课堂教学中对学生精准关注的实验研究[J].现代教育科学，2016（2）.

[3]张真，吴芬芬.基于大数据和数据挖掘技术的精准教学模式研究[J].信息化教学，2018（10）.

[4]林智.數形结合思想在小学数学教学中的应用[J].教学与管理，2017（10）.

[5]周淑红，王玉文.小学数学核心素养的特质与建构[J].数学教育学报，2017（3）.

（浙江省杭州市富阳永兴小学 311400）