基于应变补偿和PSO-BP神经网络的Ti-2.7Cu合金本构关系

万 鹏，王克鲁，鲁世强，陈虚怀，周 峰

(南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063)

钛合金具有良好的生物相容性、低弹性模量、耐腐蚀性好等特点，被广泛应用在生物医学领域，如人工假体、人工关节、内固定材料等[1-3]。研究表明，在钛合金中加入适量的Cu，Ag等元素，可以使钛合金在保证良好力学性能的同时，具有一定的杀菌或抑菌效果[4]。Ti-2.7Cu合金是一种抗菌医用钛合金，目前国内对于Ti-Cu系合金热变形行为以及本构关系的研究还十分有限。

采用传统的Arrhenius型方程建立本构模型的研究目前已有许多报道，但没有考虑应变量的影响[5-6]。同时BP神经网络是应用比较广泛的一种前向型人工神经网络，许多研究中也已采用这种方法建立本构模型[7-8]。而BP本身也存在一些固有缺陷，如学习速率太慢、网络结构不易确定和不能保证收敛到全局最小点等[9]。采用粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)对BP进行优化，可以改善BP神经网络的这些缺陷[10]，得到更为精确的本构模型。本文工作通过热压缩实验分析Ti-2.7Cu合金的高温流变特性，并分别基于应变补偿和PSO-BP神经网络研究其本构关系，对两种本构模型的精度进行了分析对比，结果可为该合金的实际热成形加工提供理论支撑。

1 实验材料与方法

本实验所用的Ti-2.7Cu合金，其主要化学成分(原子分数)为：Cu为2.7%，Ti为余量；α+β/β转变温度约为840.5℃。试样在Gleeble-3500型热模拟试验机上进行热压缩实验，其尺寸为φ8mm×12mm，为减小摩擦的影响，采用砂纸打磨试样两端并覆盖石墨片。变形温度分别为740，770，800，830，860，890℃，以5℃/s的升温速率分别对试样加热至设定温度后保温300s，使试样温度均匀化，然后以0.001，0.01，0.1，1，10s-1的应变速率对试样进行热压缩变形，高度压下率为70%(对应的真应变约为1.2)，并对压缩后的试样立即喷水冷却。实验过程中，由设备自动采集真应力、真应变、温度等数据。

2 结果与分析

2.1 真应力-真应变曲线分析

图1为变形温度740～890℃、变形速率0.001～10s-1条件下的Ti-2.7Cu合金试样真应力-真应变曲线，从曲线整体趋势可以看出该合金高温流变应力的总体变化规律：随着真应变的增加，流变应力在变形初期快速增加，达到峰值应力后开始逐渐下降，但不同条件下的曲线下降程度不一，最终流变应力基本达到某个稳定值。由图1可见，合金的流变应力随变形温度的升高和应变速率的降低都会减小，对变形温度和应变速率较为敏感。流变曲线大多呈现稳态流动特征，即在一定的变形温度和应变速率下，当真应变达到一定值时，流变应力随应变量的继续增加而变化不明显[11-12]。但在应变速率为1s-1，温度为740℃时，流变应力明显下降，可能是由于应变量的增加，位错滑移或攀移的运动能力加强，致使动态软化效应增强[11]；在应变速率为10s-1时，流变应力随应变增加呈下降趋势，软化现象较为显著。

图1 Ti-2.7Cu合金的真应力-真应变曲线Fig.1 True stress-true strain curves of Ti-2.7Cu alloy

2.2 Ti-2.7Cu合金应变补偿本构模型的构建及分析

在建立本构关系的多种数学模型中，Arrhenius型方程得到了广泛的应用，且有以下3种常用形式[13-15]：

(1)

(2)

(3)

式中：Q表示变形激活能，J·mol-1；R表示气体常数，8.314J·(mol·K)-1；A1，A2，A3，α，β，n1和n为材料常数；T为绝对温度，K。式(1)为指数方程，适用于高应力水平(ασ>1.2)；式(2)为幂函数方程，适用于低应力水平(ασ<0.8)；式(3)为双曲正弦方程，适用于所有应力水平。

本研究构建的应变补偿本构模型就是基于Sellar和Mctegart提出的Arrhenius型本构模型，该模型用于预测流变应力的双曲正弦函数方程表达式见式(3)。

根据文献[16]可知：

α=β/n1

(4)

对式(1)，(2)两边同时取自然对数，移项得到：

(5)

(6)

对式(5)，(6)两边同时取偏导，整理可得：

(7)

(8)

可由Arrhenius型双曲正弦函数推导得到变形激活能Q和常数A3的表达式：

(9)

(10)

其中

(11)

(12)

则有

Q=R·n·k

(13)

图和关系曲线Fig.2 Relationship curves of and

(14)

因为传统的Arrhenius型本构模型没有考虑到应变量的影响，为了解决该模型在预测流变应力时存在的缺陷，在上述构建的本构方程基础上加入应变补偿，做出进一步的优化。通过计算得到了真应变在0.6条件下的Arrhenius型本构方程材料参数，同理，计算得出应变在0.1～1.2，间隔为0.1下的α，Q，n和lnA的值，如表1所示。

采用多元线性回归拟合的方法建立材料参数与应变之间的函数关系，以便获得较好的拟合效果。通过对数据进行4～7次多项式拟合，对比发现采用6次多项式拟合的精度最好，如表2所示。材料参数α，Q，n和lnA与应变之间的拟合关系曲线如图4所示，其所确定的函数表达式如下：

图和ln[sinh(α σ)]-T-1关系曲线Fig.3 Relationship curves of and

εαQ/(kJ·mol-1)nlnA0.10.016920410.732.86542.8470.20.016284409.002.92442.6470.30.016190409.432.96942.6860.40.016270412.322.99143.0080.50.016484404.673.00042.1000.60.016808392.773.03041.1360.70.016689386.913.10740.0120.80.016372384.153.22939.6940.90.015865379.473.37239.1711.00.015317379.083.52139.1401.10.014799377.513.67238.9721.20.014697383.883.92339.561

(15)

将材料参数α，Q，n和lnA与应变之间的函数关系式(15)嵌入到传统的Arrhenius型双曲正弦函数方程中，经过变换得到Ti-2.7Cu在变形温度为740～890℃、变形速率为0.001～10s-1压缩变形的应变补偿本构模型，其表达式为：

(16)

图5为Ti-2.7Cu合金流动应力实验值与预测值的比较情况。采用相关系数R和平均相对误差E定量描述Ti-2.7Cu合金应变补偿本构模型的精确度，R和E如公式(17)和(18)所示。

(17)

(18)

式中：C为实验值；T为预测值；N为数据点个数。

将实验值与预测值整理，按照公式(17)，(18)计算，预测值偏差在15%以内的数据点占85.28%，模型相关系数R为0.9875，平均相对误差E为10.24%。说明通过应变补偿建立的Ti-2.7Cu合金本构方程的精度有待提高，还可以采用其他方法继续建立本构方程。

2.3 Ti-2.7Cu合金PSO-BP本构模型的构建及分析

2.3.1 PSO-BP神经网络原理

为了更加准确地反映Ti-2.7Cu合金的高温流变特性，另外采用PSO-BP神经网络构建本构关系方程。人工神经网络(artificial neural network，ANN)具有信息并行处理、自我学习能力以及分布式存储等特性，发展较为迅速，其中最为常用的为BP算法。BP神经网络可以解决复杂的非线性问题，具有一定的联想容错能力。采用BP不需要预先给定模型，直接从变形参数与应力之间映射关系的大量数据中寻找出规律，匹配出与实验数据相适应的网络模型[9]。

图4 材料参数α(a)，Q(b)，n(c)和lnA(d)与应变的多项式拟合关系Fig.4 Relationship between material parameters α(a)，Q(b)，n(c)，lnA(d) and strain by polynomial fitting

图5 Ti-2.7Cu合金实验值与预测值的相关性分析Fig.5 Correlation analysis between experimental andpredicted value of Ti-2.7Cu alloy

但BP本身也存在一些固有缺陷，如学习速率慢、易陷入局部极小值和网络不稳定等。为改善上述缺陷，本研究基于Matlab平台，对BP神经网络采用PSO算法进行优化，提高BP神经网络的稳定性。粒子群优化算法是一种基于群体智能方法的演化计算技术，在该算法中，粒子表示一个个体，对应一组解。在初始化时随机产生一组粒子，种群中每代最佳粒子记录为gbest，追踪迭代过程中的全局最佳粒子记录为zbest。更新后的每一代种群粒子，都会进行自适应随机变异。粒子更新公式[10]如下所示：

v(j+1)=v(j)+c1×rand×(gbest(j)-
pop(j))+c2×rand×(zbest-pop(j))

(19)

pop(j+1)=pop(j)+0.5×v(j+1)

(20)

式中：v表示种群粒子更新速度；j表示迭代次数；rand表示(0,1)区间的随机数；pop表示粒子；gbest表示上代种群最优个体；zbest表示全局最优个体；c1，c2表示学习因子。

具有全局搜索能力的PSO算法，受网络初始值的影响小，能够较快地达到收敛。

2.3.2 PSO-BP本构的建立与验证

本研究采用双隐层BP网络结构，通过试错法确定Ti-2.7Cu合金结构层数为3×10×15×1，层间传递分别采用tansig，purelin函数，训练采用trainlm函数。

表3为Ti-2.7Cu合金样本划分，将实验数据分别用来建立网络和验证网络，分成两个部分，C表示训练数据，T表示测试数据。根据设置的BP结构，PSO粒子长度为待确定的权值和阈值的总数，共有3×10+10+10×15+15+15×1+1=221个，公式(19)中的学习因子设置为c1=c2=1.5，加入的随机变异概率为0.2，最大迭代步数为100，种群规模设置为80，PSO的迭代最终均方误差为0.0170，目标函数为PSO算法的每代种群粒子带入BP网络的输出期望值与实际值的均方误差。

表3 Ti-2.7Cu合金样本划分Table 3 Specimen division of Ti-2.7Cu alloy

(21)

式中：X表示初始向量，Xmax和Xmin分别对应X的最大值和最小值，归一化后的X向量变为Y向量。

经过PSO优化的BP训练至3276代时，到达目标值，而未优化的BP训练至最大迭代步数时，未达到10-5。PSO-BP神经网络测试数据的实际值与预测值对比情况如图6所示，可以看出采用PSO-BP神经网络建立的Ti-2.7Cu合金本构模型，得到的预测值与实验值能够吻合良好。

图6 PSO-BP神经网络本构模型实验值与预测值对比 (a)=0.001s-1；(b)=0.01s-1；(c)=0.1s-1；(d)=1s-1；(e)=10s-1Fig.6 Comparison between experimental and predicted value from PSO-BP constitutive model(a)=0.001s-1；(b)=0.01s-1；(c)=0.1s-1；(d)=1s-1；(e)=10s-1

定量描述Ti-2.7Cu合金PSO-BP神经网络模型的精确度，再次按照公式(17)，(18)计算R与E值，整理结果如图7所示，PSO-BP模型相关系数R为0.9972，平均相对误差E为6.10%，其中预测值偏差在15%以内的数据点占96.67%。说明通过PSO-BP神经网络建立的Ti-2.7Cu合金本构模型具有较好的精度，比应变补偿建立的本构方程更能准确预测Ti-2.7Cu合金的高温流变应力。

3 结论

(1)Ti-2.7Cu合金的流变应力随变形温度的升高和应变速率的降低都会减小，对变形温度和应变速率较为敏感。流变曲线主要呈现稳态流动特征，但在应变速率为10s-1，变形温度为740～890℃下流变应力随应变增加呈下降趋势，软化现象较为显著。

图7 Ti-2.7Cu合金实验值与PSO-BP预测值的相关性分析Fig.7 Correlation analysis between experimental andpredicted value using the PSO-BP of Ti-2.7Cu alloy

(2)在Arrhenius型本构模型的基础上，采用多元线性回归拟合的方法建立了材料参数α，Q，n和lnA与应变之间的函数关系，得到了包含应变量的应变补偿本构模型，该模型可以预测Ti-2.7Cu合金不同应变下的流变应力，预测值偏差在15%以内的数据点占85.28%，精度有待提高。

(3)采用PSO-BP神经网络建立的Ti-2.7Cu合金本构模型，基于相关系数R和平均误差E的分析，相关系数为0.9972及平均相对误差为6.10%，计算得出该模型预测值偏差在15%以内的数据点占96.67%，比应变补偿本构模型更能准确预测Ti-2.7Cu合金的高温流变应力，具有较好的精度。