以《计算方法》为例的经典课程课堂教学改革探索与实践

黄晓林 陈嘉艳 徐骏

摘要：我国高等教育正经历从传播知识到培养创新的转变。如何在大学经典课程的课堂教学中激发学生兴趣，培养学生主动学习和创新性探索的能力亟待摸索。现有的众多经典课程教学中，教学内容主要基于知识体系，即从分门别类的知识点出发，按照“本质原理—实现方法—应用举例”的顺序依次介绍。本研究中，我们遵循人的认知规律，从现实问题出发，按照“问题提出—寻求解决—归纳总结”的顺序，引导学生自主探索，掌握开放性探索的基本流程，同时构建相应的学科知识体系。在经典课程《计算方法》的教学中，我们尝试了上述改革，经过两年实践，取得了满意的效果。

关键词：教学改革与实践；开放性探索；人才培养

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）16-0136-03

一、引言

近半个世纪以来，科技的飞速发展带来了知识的爆炸性增长，也给传统教育教学带来巨大挑战。教育部2016年7月发布了《教育部关于中央部门所属高校深化教育教学改革的指导意见》，决定在“十三五”期间实施中央高校教育教学改革专项，强调以支撑创新驱动发展战略、服务经济社会发展为导向，切实增强学生的社会责任感、创新精神和实践能力[1]。这说明，我国高等教育正经历从传播知识到培养创新的转变。

传统教育以传授知识为主要目的[2]，即以介绍已有知识库为主旨。在此背景下，传统教育中的教学内容通常以知识库的分门别类为依据。以经典的《计算方法》（又名《数值分析》）课程为例，传统教材基于对数值方法中潜在数学本质的归类，将内容平行划分为插值、函数逼近、数值积分与微分、解线性/非线性方程组、解矩阵特征值以及解常微分方程等模块，模块间相对独立。每个模块又从基本数学原理出发，按“本质原理—实现方法—应用举例”的顺序依次介绍。基于潜在深层理论的平行模块划分方式，有利于知识的存储与检索，在经典课程教学中较为常见。然而，这种组织形式一方面对应用场景的还原性差，学生即便了解了理论知识，可能依然不会应用，导致学习兴趣降低；另一方面，当前科技的快速发展使多领域交叉、融合成为必然，将知识库进行相对独立、封闭的平行划分，不能充分适应现代科技领域的开放性探索现状[3]。因此，在经典课程教学中，如何主动改变以适应现阶段科技发展背景和人才培养需求亟待探索[4、5]。

本研究中，教师以《计算方法》课程的课堂教学为试点，尝试对经典课程进行教学改革，希望重新激发学生对经典课程的学习兴趣，在了解经典学科知识的同时，培养科学性思维方式，掌握開放性探索流程。

二、方法

认知科学的研究表明，构造逻辑联系有助于学习与记忆[6]。事实上，人类以往的知识积累或知识体系构建遵循明确的逻辑主线：

1.首先，对遇到的现实问题进行定义，为抓住问题本质，常常需要抽象化。

2.然后，根据以往的知识、经验，寻求问题的解决。

3.接着，对问题解决的结果（无论成功或失败）进行总结归纳，形成经验。

4.最后，对经验进行分门别类，构成知识库。该知识库为之后的问题定义与解决提供参考依据。

该逻辑流程可以用图1（见下页）来简单表示。

基于以上认识，教师拟顺应认知规律，从现实问题出发，通过在教学中还原图1始于现实问题的完整流程，让学生了解、掌握科学探索或解决工程问题的全过程，培养开放性探索和自主构建知识体系的能力。

具体实施方式为：对部分教学内容改变传统的以介绍知识为出发点的讲授方式，转而从现实应用问题出发，还原真实应用场景，提出任务，启发学生按照如图2的规定流程，即需求分析—问题定义—背景调查与方案设计—方案实施—结果分析—总结规律的流程，借助同学间讨论、网络查找资料及教师适当引导等完成任务。其间，方案设计和方案实施环节允许学生做多次调整尝试。

由于当前网络信息技术的飞速发展，借助互联网的强大检索能力，学生能够也必须有利用网络自主获取知识的能力[7]。因此，实施方式既具备可行性，也符合当前人才培养需求，具备必要性。

三、实验对象和实施举例

教师在南京大学电子科学与工程学院的《计算方法》课程中试行了上述改革。该课程面向统招本科三年级学生，学生已具备微积分、线性代数以及计算机基础等必要知识。班级学生人数为26人，实行小班化教学，适宜进行改革。

本文以一个任务为例说明具体的教学实施过程。

教师向学生布置了一个电子秤称重任务，即对一个已有的电子秤硬件，实现一定范围内对任意重量物体称重。教师为该任务分配3课时。在任务的任何阶段，都鼓励学生讨论，并利用任何方式查找资料。

第一阶段，由于教师不规定明确指标，由学生主动向“客户”（由另一学生扮演）沟通，询问与解决问题相关的指标要求，并进行需求分析。这一阶段，扮演任务执行者的学生竭力联系已有生活经验，询问了包括电子秤的量程、使用环境的温湿度、待称重的物体常规重量和体积、能否提供标准砝码等。

第二阶段，学生尝试定义要解决的主要问题。学生可能发现之前沟通的不足，还可进行进一步的沟通。经历该阶段，绝大部分学生明确了问题，即给定有限的标准砝码，实现规定量程内任意重量的电子秤输出标定。

第三阶段，学生被要求进行不少于两种方案的设计。学生开始查书或上网搜索寻找解决方案。有的学生发现不同方案可能导致标定的精确度有差别，又回头找“客户”进行沟通，询问“客户”能接受的误差范围等指标。经历该阶段后，绝大部分学生设计了至少两种方案，代表性的有：选取质量等差分布的砝码，测量电子秤对应的电压输出值，构造函数表，然后对该离散函数表进行高次多项式插值、分段线性插值或三次样条插值；或者对函数表进行最小二乘拟合。

第四阶段，学生采集数据并利用Matlab软件实施两个不同方案。该阶段，有的学生发现质量等差分布的砝码获取较困难，因此重新修改方案，选择不要求等距节点的插值方案。该阶段完成时，绝大部分学生实现了量程内任意重量的物体称重。

第五阶段，学生就方案与需求对不同方案进行对比分析，考察称重是否足够准确，自哪种方案更准确或更容易执行。经过该阶段，学生发现各种值得注意的现象。例如，插值方法中，用于标定的砝码称重是准确的，而最小二乘拟合则存在最终标定砝码称重也有误差的情况。再如，有的学生的两种方案分别是牛顿插值和拉格朗日插值，最后结果没有明显差别。

第六阶段，学生一方面查询参考资料，另一方面进行总结归纳，得出可能普适性的规律与经验。该阶段中，学生根据最后任务完成情况，重新审视方案设计时的关键参数，总结出类似任务中，在客户沟通阶段就需要明确的关键指标，如量程、允许误差等；总结了方案设计的关键依据，如在什么情况下选择最小二乘拟合，什么情况下选择插值，误差与具体方案的对应性等。接着，在教师的引导下，学习各种插值方法及最小二乘法的数学原理，从数学本质上分析各种方法的差别与联系。

整个任务完成后，学生不仅掌握了插值与最小二乘法的基本原理和使用，还完全理解了相关数学公式的意义与必要性。抽象数学符号与具体现实联系起来，加深学生的理解。更重要的是，学生对待问题建立了图2所示的流程，体现在学期后半段给学生布置的以“身边的算法”为题的开放作业，他们提交的作业是主动按照图2的流程思路来组织的。学期结束时，本课程一改之前“数学太多”“晦涩难懂”“照本宣科”“太枯燥”的评价，被认为是“一门有趣又有用的课程”。

四、总结

南京大学电子科学与工程学院的教师对经典的《计算方法》课堂教学进行改革，主要是改变传统的从知识库出发、原理—方法—应用举例为顺序的教学方式，转而从贴近现实的应用问题出发，还原现实探索中人们解决问题的流程。这不仅激发了学生的学习兴趣，让学生深刻理解学科专业知识，更重要的是帮助学生建立了开放性探索的流程，培养主动构建知识体系的能力。今后，學院将进一步探索并尝试在更多的课程教学中推广这一教学模式，以满足现代社会对高等人才自主学习能力和主动探索能的培养需求。

参考文献：

[1]张晨.“十三五”实施中央高校教育教学改革专项[N].中国教育报，2016-07-19，第1版.

[2]桑新民，谢阳斌.在学习方式的变革中提高大学教学质量和办学水平——高等教育信息化的攻坚战[J].高等教育研究，2012，（5）：10-23.

[3]徐骏，王自强，施毅.引领未来产业变革的新兴工科建设和人才培养[J].高等工程教育研究，2017，（2）：13-18.

[4]桑新民.互联网+大学教育——破解世界教学学术运动的三大难题[J].中国高教研究，2016，（1）：53-55.

[5]朱长江，郭艾，杨立洪.面向理工科创新型人才培养的“四步进阶”大学数学教学改革[J].中国大学教育，2018，（3）：33-36.

[6]叶霞，罗蓉，李海龙.基于认知规律的数据库课程教学设计[J].计算机教育，2017，（1）：95-98.

[7]王自强，康琳，张丽敏.南京大学：以学习小组的形式进行翻转课堂[J].中国教育网络，2015，（5）：58-59.