从一道高考题谈“单峰”、 “单谷”函数问题

卢阳 李勇

在所考虑的区间中只有一个严格局部极大（小）值的函数称为单峰（谷）函数[1]，如二次函数，双勾函数等，这些函数常见于零点存在性和函数不等式问题中，采用常规思路解决问题往往难度较大，如若分离出单峰（谷）函数，其次再对分离后的函数进行比较，则会简化解题过程.

1 引例呈现

2017年高考理科数学新课标Ⅲ卷第11题（见例1）是一道将单峰和单谷函数融合在一起的难题，该题成为了当年学生的“老大难”.2018年，这类题型在高考中再次出现，我们有必要对其进行研究.

点评该题是以二次函数和双勾函数为背景出题的零点问题，构造了两个单峰（谷）函数，运用分离函数法，拆出两个函数，画出图象可得出答案.

2 单峰（谷）函数梳理

上例由于两个单峰（谷）函数很常见，所以我们可以很快分离出来，那么高中阶段还有哪些函数是单峰（谷）函数呢？请看图2：

笔者将图2中的图象归为两类，一类是具有最低谷的单谷函数，见图①②③④;一类是具有最高峰的单峰函数，见图⑤⑥，[2]

通过对近年来的考题进行研究，发现以③⑤、②⑥为背景的题目较多.

点评该方法是以上述图②⑥为背景想到的，参考答案从代数式的运算出发，变形难度较大.

小结图2中的6图在高考题中多次出现，证明这类不等式需要构造出一个“单峰函数”与一个“单谷函数”，然后证明f（x）min≥g（x）max即可，他山之石，可以攻玉，我们自己也可以编出如此题目，下面是两道笔者自编的小题，

点评此题参考答案给出的做法是运用二次求导，将不等式看成一个函数去解决，笔者的做法将不等式变成一个单峰、一个单谷函数进行“单挑”比较大小，思路不同，同样精彩.

最后得出g（x）min≥h（x）max，且不在同一点取最值，此题得证.

点评一个复杂的不等式，从中分离出两个单峰（谷）函数，变形解题，如探囊取物，手到擒来，再次说明分离出单峰（谷）函数进行比较在这类问题中的妙用.

例6 （2016年高考全国卷I.理21（I））已知函数f （x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点，求a的取值范围.

分析本题参考答案给出的解法较为复杂，且技巧性较强，学生在解题时会产生畏难情绪，而分离函数后，变成学生容易画出的两个图象，从另一角度看待此题，有着意想不到的效果.

解析此题按照直接求导的方法需要分类讨论，且计算烦琐，若观察到（x- 2）ex与a（x-1）2（a≠o）时都是单峰函数且极值點都在x=l处取到，那么便可找到捷径，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点g（x）=（x- 2）ex与h（x）= -a（x-l）2有两个交点，求导易得g（x）在（-∞，1）上单调递减且恒小于0，在（1，+∞）上单调递增，又因为h（x）的顶点为（1，0）点，所以h（x）=-a（x-l）2只需开口向下，即a>0时满足条件，（a=0时，两函数只有一个交点，不符题意）.对比参考答案，这种解法大大简化此题，关键在于了解（x-2）ex为单峰函数.

小结从上述三例可以看出，复杂的函数如若拆成两个简单的单峰（谷）函数，从另一角度解决问题，更易于让学生接受，体现了数学思维的灵活性与数学解题中蕴含的魅力.

下面是一道新高考题，本题参考答案的解法相对复杂，用本文所说的方法可以很快解决（提示：≥为单峰函数）.

练习 （2018年高考全国卷Ⅱ.理21）已知函数f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，证明：当x>0时，f（x）≥1.

（2）若f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，求a.

4 总结

对于单峰（谷）函数问题，尤其是同时含有ex和Inx的式子，直接求导一般不能或很难解决问题，此时，需要对原式进行合理“拆迁”，分离出两个函数，再对变形后的两个函数进行比较，[3]解决此类问题最大的难点在于如何“慧眼识珠”，找到隐藏其中的单峰（谷）函数，平时应注意对上述6幅图及其推广后的情况进行积累，解题时，我们需要具备函数与方程思想，并运用数形结合、分离函数等基本方法进行合理变形，大胆求证.

参考文献

[1]甘志国，田玉杰.V型函数在闭区间上的最大值只可能在端点取到[J].中学数学杂志，2017 （09）： 30-33

[2]郭朋贵.例析分离函数法[J].中学数学教学参考，2017 （12）： 39-40

[3]王卫勤.不拘一格，化整为零——从分离变量到分离函数[J].新高考（高三数学），2014 （10）： 39-40