“立方根”概念的问题链教学探索*

浙江省台州市白云中学(318000) 胡艳

浙江省浙江师范大学(321004) 唐恒钧

1、引言

概念是数学知识最基本的组成元素,因此概念教学在数学教学中有不容忽视的地位.受应试教育的影响,数学概念教学在实践中未引起充分的重视,甚至存在一些片面的理解.比如,有观点认为一些具体的表征形式就是概念本身,故学生只需记忆概念及其实例即可.还有一些课把概念的定义当做教学的起点,忽略了概念形成的自然性和隐藏在概念背后内在逻辑.因此很多学生会觉得数学是封闭的,呆板的,从而影响了对数学学习的热情.问题是驱动学生思考并主动建构新知的重要手段.但课堂上常见的是教师所提出的问题零散而缺乏关联,学生的思考也往往缺乏脉络,这影响了知识建构的效果.“问题链”可以让学生进行系列的、连续的思维活动,使学生的思维不断攀升到新的高度.

“问题链”是从学生的认知心理和认知水平出发,针对学生学习过程中可能产生的困惑,将教材知识转化为层次鲜明且具有系统性的一连串的数学问题.问题链教学,一方面为学生提供思考的问题,在内容上引导学生获得较为深入的数学;另一方面问题与问题之间的跨度为学生多样的思维与探索提供了可能性;强调知识、方法、视角等多层面的关联是问题链教学的核心.[1]在概念教学中,以“问题链”为载体,学生经历“发现问题、解决问题,提出问题”的循环模式,并及时反思,逐步将概念精致化.本文以人教版“立方根”为例,尝试用类比的思想实现知识、方法和视角上的关联,用问题链驱动学生自主探究、形成概念.

2、教学案例设计

2.1 立足数学现实,使概念发现更自然

问题1关于平方根我们研究了哪些内容? 请你多角度地谈谈你对平方根的认识.

生1: 按照学习的顺序分别是: 平方根的定义,开平方的定义,性质,符号表示,应用.

生2: 已知一个数x 的平方等于a, 那么x 叫a 的平方根,若x2=a,则

生3: 从方程的角度看x2=a,x 是二次方程的解也叫方程的根,因此x 叫a 的二次方根或平方根.

生5: 开平方和平方互为逆运算.

……

师: 大家其实从定义,方程,运算,符号等角度对平方根进行了回顾.

教学意图问题1 作为起点性问题,使后续探究活动具有一定指向性.数学概念的学习是一个学生主体主动建构的过程,而且在建构的过程中,主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用.在此之前,学生对平方根的研究方法和研究思路已经有了充分的体验,为下面新知探究提供了一个明确的研究框架.

问题2我们在学完数的平方后,还学习了立方,以及乘方,体现了从特殊到一般的思想方法.类似地,在学完平方根后,你认为还可以研究什么?

生: 如果一个数x 的平方等于a,即x2= a,那么x 叫a的平方根,那假如已知一个数x 的立方、(四次方及n 次方)等于a,那么x 叫a 的?

追问: 你认为这样的x 可以叫什么?

问题3根据平方根的学习经验,你认为可以怎样研究立方根?

生: 类比平方根的学习,我们需要研立方根的定义,开立方的定义,性质,符号表示,应用.

教学意图立方根在现实生活中存在大量的实例,人教版课本中也是采用具体实例引入,直接抽象出立方根的概念,引出课题.但从学情考虑,学生已经掌握了算术平方根和平方根的概念,这为立方根的概念产生提供了充分的认知“固着点”;从数学知识内部的联系看,平方与开平方是互逆的运算,类比乘方学习中特殊到一般的研究思路,立方根的概念是由数学知识的发展需要产生的.基于这样的知识起点设置问题链,驱动学生深层次地思考数学知识内部的联系,在旧知基础上猜想可研究的新问题.同时类比平方根的研究过程,自然生成立方根的学习方式.在建立新旧概念之间联系性的认识中,学生逐步积累类比的思维方法.

2.2 从过程到对象,使概念精致化

问题4由立方根的定义,你能做什么?

生1: 求一个数的立方根,比如2 的立方等于8,那么8的立方根就是2,比如3 的立方等于27,那么27 的立方根就是3.

追问: 生活中有立方根的例子吗?

生2: 比如一个正方体形状的水池体积为125cm3,水池的边长是多少?

……

问题5同学们其实都是将定义中的x 和a 赋予了具体的数? 你们都举了些正整数,那这里的x 和a 能表示什么数?为什么?

生: x 能表示任何有理数,a 也能表示任何有理数,比如23=8,(-2)3=-8,03=0.

生: 类比平方根,也将数按符号分成正数,0 和负数分别考虑.发现正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0 的立方根是0.

追问: 立方根和平方根的性质一样吗? 是什么导致了它们(不)一样?

生: 不一样,平方有非负性,但立方的结果可以是任何数.

问题623= 8,(-2)3= -8,03= 0,从左边到右边是什么运算? 那( )3=8,( )3 =27,从右边到左边又是什么运算? 这两种运算有着什么样的关系?

问题7立方根是对一个数进行开立方的结果,我们知道8 的立方根是2,那2 的立方根该如何表示呢? 你是怎么想到的?

生: 类比平方根,用符号表示.

3.2 会阴评估 目前，大多数文献［9-12］在会阴评估方面均是进行经验总结，缺乏明确的评估体系，只是对临床助产提出可行会阴保护方式，这将导致助产士无证可循，只能继续凭借自己的工作经验采取相应会阴保护措施。确立分娩时产妇综合评估指标及内容，建立统一的评估体系不仅使得助产士有证可循，有据可依，也为正确地应用保护方式，合理地使用会阴切开术提供了依据，避免会阴严重撕裂的发生，且能够促进助产士不断地提高助产技术，提高产科质量。

教学意图数学概念具有过程与对象的两重性,概念的过程和对象这两个侧面有着紧密的依赖关系,形成一个概念往往要经历由过程开始,然后转变为对象的认知过程[2].本节课从数学现实出发得到立方根的概念.立方根的概念描述了一个动态的计算过程,通过问题驱动学生自己举例,充分体验由x3= a 来求立方根的程序性算法,也为自然地引出开立方定义做铺垫.问题4 让学生自己列举立方根具体的数学例子和生活实例,实现概念的具体化、生活化.在问题7中,由于2 的立方根无法用已有的数表示,产生认知冲突,引出立方根符号.学生只有掌握了实物、文字、数学符号等多种表征方式来理解立方根,才算把新概念与已有认知结构中的知识建立起实质性联系.比如立方根概念中, 能明白“已知x3=a,求x 的值”,“求a 的立方根”,和“已知一个正方体的包装盒体积是a,求正方体的边长”这些问题之间的关联,这种关联就是实质性关联,从而使概念理解逐步精细、丰满.

问题8请你类比平方根的符号,思考下列式子的意义并写出结果,并说一说这里的作用:

生: 可以,只不过这个结果没有化简而已.

教学意图这一符号具有双重作用,既可以表示运算,又可以表示结果(数).而学生更习惯于它的“操作性”,总希望通过运算得到一个“确定”的结果,比如的结果2这个数对他们来说更熟悉,更确定.因此对于这一符号的理解困难主要是没有实施相关运算的情况下,将看成一个结果或者说是一个真正的数.由于这一性质的抽象性,教师设计了三个层层递进的问题,引导学生思考和中符号的区别和联系,体悟这一符号的双重作用.只有习惯将立方根看成相对独立的数学对象,我们才能对概念的应用才从知觉水平逐步提升到思维水平.

2.3 反思提升,使概念结构化

问题9(1)请你从不同的角度谈谈对“立方根”的理解.(2)请你说说平方根和立方根的区别和联系.(3)学习了平方根,立方根后,你还想研究什么? 可以怎么研究?

图1

教学意图三个问题,层层递进,驱动学生思维的发散和求异,引导学生有效反思总结.在知识上,学生加深了对于立方根和平方根的理解,在方法上,体会到一般化和类比的思想,在视角上,理清了这一类方根的基本研究套路,真正实现概念教学由知识向思维的过渡.第一个问题引导学生对本节课知识的进行回顾,类比平方根,从定义,方程,运算,符号等多角度地理解立方根的概念,将零散的知识及时整合.平方根和立方根是奇次方根和偶次方根的典型代表,通过第二问题将立方根和平方根概念进行横向比较,一方面与已有的概念建立广泛的联系,扩展对新概念的理解;另一方面,学生在解决当下的问题后,还能由此提出新的问题(即第三个问题),并用类似的数学方法和活动经验去解决,形成自己的经验系统(如图1),实现概念的扩展和应用.

3、若干反思

3.1 立足现实,自然引出概念

章建跃先生曾指出,对“从现实引入”的更全面认识,应从数学知识的发生发展过程需要来考虑,这个“现实”既可以是“生活的现实”,也可以是“数学的现实”.[3]生活现实往往从一些实际情境引入,再抽象出数学对象,而数学现实则是在数学知识发展过程中自然而然提出的问题.当然,我们应立足学生的最近发展区来选择合适的方法,以便“跳一跳能摘到桃”.上述案例的引入中,我们选择基于“数学现实”,将新旧概念的联系点设计成问题链,引导学生建立起新旧知识间的联系,使旧知识有延伸的活力、新知识有生长的根基[4].

3.2 类比旧知,自主建构概念

建构主义学习理论中的“以问题为中心”的探究性学习,就是学习者通过发现问题和解决问题而建构知识的过程.而问题链是一连串具有脉络的问题,学生需按照“发现问题—解决问题”这个模式循环往复的进行知识建构,旨在将课本上静态的知识转化为动态的思维活动.每个问题的设计不流于形式,而是实实在在地引发学习认知冲突、产生思维碰撞.立方根概念的建构过程,主要利用类比和一般化的思想,在知识、方法和视角的关联基础上来设计问题链.知识上,两者的定义,开立方和开平方的运算,符号表征等都是通过问题链类比得到;方法上,两者都采用“观察,举例,归纳,总结”等,设置了探究型的问题链.如问题8,推动学生多层次的反复思考立方根符号的双重作用.研究视角上,两者都是按照“定义—开方运算—性质—符号—运算”的思考框架进行,所以设置了递进式的问题1—问题3: 先回顾平方根的研究框架,然后类比建构立方根的研究框架.

3.3 重视反思,提升思维品质

郑毓信先生认为:“在课堂的各个环节,不只是‘课尾’,我们都应注意引导学生不断做出新的思考,包括对原先的问题与实际的解题过程作出必要的回顾与总结,及我们又如何依据新的‘形势’提出另外一些值得深入研究的问题.”[5]作为教师需明白的是,仅仅教给学生数学知识是不够的.因为在有限的时间内,学生能学到的知识、解决的问题是有限的.学生在学习知识的过程中通过不断反思,才能获得能力的提升与思维习惯的养成.立方根教学中,除了课尾明显的反思性问题外,反思活动其实贯穿于概念学习的每一个环节.因为学生经历“发现问题—解决问题”的循环模式,反思是后一个环节得以产生并顺利实施的关键.

本文是以问题链为载体开展数学概念教学的一个案例.从中可以看到问题链在学生概念学习中的一些价值.但这方面的研究还比较少,有待进一步深入的分析与更多的实践探索.