平面镜夹角成像探究

崔善欣 崔善良

摘 要 平面镜成像遵循的基本规律是光的反射定律，成正立、等大的虚像。学习中发现有一类特殊的成像——平面镜夹角成像问题。初步探究发现，将两个平面镜成一定夹角放置时，在两平面镜前放置一个物体，在两个平面镜中可以观察到物体所成的像的个数不是固定的，成像个数与两平面镜的夹角之间存在非常有趣的规律性。下面，我仅对就平面镜夹角成像的规律做简要分析。

关键词 平面镜成像 规律探究

中图分类号：G633.7 文献标识码：A

ABCD为一平面镜，在其中心的正上方h处有一物点A，则据平面镜成像原理可得，S通过平面镜ABCD所成的像S对称地分布在平面镜下方距平面镜h处。

现在，把平面镜ABCD沿中线OO切开，装上一可自由折叠的绞链，平面镜AOOD和平面镜OBCO为固定转动轴自由转动，且规定SO始终在两平面镜所夹二面角的角分线上，AO、BO向上对称的折叠而物点S不动，在这种变化下，在S点观察S所成的像，会发生怎样的变化呢？有没有规律可循呢？

我们先来的研究AO和BO向下折的情形，此时∠AOB大于 ，S点发出的光线通过平面镜反射后全被平面镜AO和BO反射出去，不会返回到S点，即在S处观察不到S的像，亦即∠AOB大于 时，在S点观察到像的个数为零。

当∠AOB= 时，能观察到一个S的像。

当AO和BO向上偏折，∠AOB小于 时，情况又会如何呢？

S发出的光线垂直面镜OA的光线被返回，S可观察平面镜OA所成的像SA，同理，还可观察到平面镜OB所成的像SB，因此，在此状态下，在S点可通过平面镜看到S的两个像SA和SB。这两个像可以看作是原来的一个像S随平面镜OA和OB的夾角∠AOB的减小而分离得到的。

下面，我们看一下当面镜继续折叠，∠AOB等于2 /3时成像的情形。

当∠SAS SB= /3时，△SAS SB为正三角形，也就是当∠AOB等于2 /3时，物像分布在正三角形的三个顶点上，随镜的夹角的减小，SA和SB间距离进一步拉开，那么，当∠AOB减小于 /2时，情况又如何呢？

当∠AOB= /2，此时，S通过面镜OA、OB所成的像分别为SA、SB，除此之外，SA通过面镜OB又可以成像S，同理，SB通过平面镜OA也可以成像，根据平面镜成像作图发现，此时这两个像呈在同一位置。在S点，此时只能观察到SA、SB和S三个像，且物像分布在同一正方开的四个顶点上，非常规则。随两平面镜OA和OB的继续折叠，S分裂为两个像且逐渐离开，当∠AOB达到2 /5时，则物像又呈现规则图形。

此时，通过平面镜OA可以看到SA和SB在OA中成的像SB，通过平面镜OB可以看到SB和SA在OB中成的像SA。因此，此时可以看到四个S的像，且这四个像和S均匀分布在正五边开的五个顶点上。当∠AOB继续减小时，像SA和SB继续分开，当∠AOB等于 /3时，此时通过平面镜OA可以看到SA、SB在OA中成的像SB和SA在OA中成的像SA，通过平面镜OB可以看到SB、SA在OB中成的像SA和SB在OB中成的像SB，此时据平面镜作图发现，SA和SB是重合的，因而此时可以看到五个像，此时物像均匀分布在正六边形的六个顶点上。

当∠AOB继续减小时，像SA和SB分离。

由以上列举的几种情形可以看出，随平面镜OA和OB间夹角的变化，像的个数分布呈现一定的规律性，下面作简细分析：

当两面镜的夹角为 时，像为1个，当夹角小于 时，则像由1个变为两个，随着两面镜夹角的减小，两个像逐渐远离，当∠AOB= /2时，出现第三个像，当∠AOB< /2时，第三个像分开成为两个，随∠AOB的减小，第三四个像又逐渐远离，∠AOB=2 /5时，出现第五个像，下面列表总结一下成像与夹角的关系。

成像个数、物像形状与两平面镜夹角的关系。（注 即∠AOB）

由上表可以看出，成像个数与两平面镜夹角间存在规律性变化，下面用简单的数字把这种规律性呈现出来，即：

夹角 ： 2 /3 2 /4 2 /5 2 /6 2 /7……

像的个数：1 2 3 4 5 6

列出以下对应关系的通项为：

（n+1）=2

n+1=2 /

n=2 / -1

注意到这里n是像的个数，只能是整数，而本式是由特殊情况（ 能被2 整除）得出的，对于 不能被2 整除时，该式显然不成立，因为此时所得n的数值为小数，不符合成像规律。经过研究成像规律及列表看到，当物S通过两平面镜成像个数为奇数时，仅在 为某一特殊值时成立，而在过渡阶段所成像的个数都为偶数，故而，我们只需对上式中当n取小数时加以规范即可：

即：n=2 / -1 当n为小数时，取最接近它的偶数。

利用本式，只要知道了两平面镜间的夹角，即可求出S成像的个数。当 能被2 整除时还可判断出物像组成的规则形状。