最小原理与圆锥曲线的光学性质*

广东省惠州学院数学与大数据学院(516007) 王海青

广东省惠州一中高中部(516007) 刘宏英

解析几何是近代数学最伟大的发明创造之一,它通过坐标系将代数方程与几何曲线曲面等联系起来,实现了“数与形”的灵活转换,使几何的计算与证明变得简单.因此,“圆锥曲线与方程”单元作为高中解析几何的核心内容,它对学生数学思维能力培养的重要性及其在高考中的地位都是毋庸置疑的.此外,圆锥曲线的光学性质在现代建筑、镜面工艺设计、定位系统原理、天文学等方面都有广泛应用,这也是数学家和物理学家热衷于研究和探讨圆锥曲线性质的重要原因.以人教版教材[1]为例,有关圆锥曲线光学性质的相关应用或背景材料贯穿教材编写的始终,并在单元小结前的“阅读与思考”栏目(P75-76)对其进行了专门的详细介绍.但圆锥曲线的光学性质只是要求学生了解的一个事实性结论,教材并未给出相应的证明.

有文献阐述了椭圆光学性质的三种证明方法：经典的阿波罗尼斯证法、直观几何证法与解析法[2].由于数学的代数符号系统在古希腊时期还非常不完善,阿波罗尼斯用了非常繁杂的欧几里得几何证法证明了圆锥曲线的光学性质.通过阿波罗尼斯证法可以了解古希腊的几何发展状况,但不宜在教学中呈现此类证明方法.正如弗赖登塔尔所言,数学教学应依据历史对教学内容“再创造”,是“假定人们在过去知道更多的我们现在所知道的东西,那情况会是怎么发生”[3].简言之,教学过程应反映学生面对新的情境如何利用已有的知识分析和解决问题并创造出新的数学知识的过程.

为什么由圆锥曲线旋转形成的曲面具有这样的光学、声学或者力学性质? 教师不妨在单元复习环节通过一节探究课与学生探讨圆锥曲线光学性质的证明,既呈现解析几何的研究方法、直观的综合几何方法,也从物理学科的角度予以解释.旨在使学生“知其然,亦知其所以然”,让学有余力的学生体会到在解决数学问题时数学内部与自然科学之间的交互作用,并能用数学去解释自然现象.下面从数学到物理的视角探究圆锥曲线光学性质的证明,以供同行商榷.

一、提出问题

通过“圆锥曲线与方程”一章的学习,大家已经知道圆锥曲线有着非常重要的光学性质,它的应用非常广泛.从几何上看,圆锥曲线的光学性质就是相应曲线的切线性质,具体表述为(如图1)：

1.椭圆上任一点与焦点的两条连线,与在该点处的切线所夹的角相等(即从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上);

2.双曲线上任一点的切线,平分这个切点与两个焦点连线所成的角(即从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上);

3.抛物线上任一点的切线,平分切点与焦点及定直线垂足连线所成的角(即从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后反射光线都平行于抛物线的轴).

图1

照相机成像原理、回音壁的形成、定位系统的工作原理、双曲线性冷凝塔及探照灯的工作原理等等都与圆锥曲线的光学性质密切相关.为什么圆锥曲线具有如此奇特的性质呢? 能证明吗?

二、从数学的角度看

1.运用“解析法”证明

类比“圆锥曲线与方程”单元证明圆锥曲线其它性质的方法,可以通过建立坐标系利用数形结合来证明.以抛物线为例,要证明其光学性质就等价于证明：

如图2,抛物线C的方程为y2=2px,直线l是过抛物线上一点P(x0,y0)的切线,交x轴于D,∠DPF=γ,∠PDF=α,过点P作PQ平行于x轴,PQ与l所成角记为β.求证：β=γ.

图2

分析设切线l为y=kx+b,与y2=2px联立方程组(或求导)可求出切线l∶y0y=p(x+x0).切线l与x轴交于D(-x0,0),由已知得焦点为又因为所以|PF|=|DF|.即α=γ,有β=γ.

(注：学生在课后可以按照这个思路去证明椭圆和双曲线的光学性质.)

2.运用直观几何方法证明

实际上,对课本习题作适当的拓展与延伸,也能得到圆锥曲线光学性质简洁的几何证明思路.

如课本习题2.2 第7 题(P49)：在半径为r的圆O内取定一点F(如图3),在圆周上任取一点M,通过折叠使点M与点F重合,折痕为直线l.连接MO交l于点P,求点P的轨迹.

图3

图4

分析不难证明点P的轨迹是一个如图4的椭圆.如图5,根据题意可知,折痕l是线段MF的垂直平分线,MO交l于点P.所以|PM|=|PF|,|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|=r.即点P到两个定点F,O的距离之和为一定值(大于|FO|),所以点P的轨迹是椭圆.

若在直线l上任取不同于点P的一点P1,易知|P1F|+|P1O|=|P1M|+|P1O|＞r,所以折痕l也是椭圆轨迹上经过点P的切线.点P是直线l与半径MO的交点,所以有∠1=∠3,而由轴对称的性质易知∠1=∠2,所以∠2=∠3.证毕.

图5

将上题的条件“在半径为r的圆O内取定一点F”改为“在半径为r的圆O外取定一点F”,其余条件不变,就是教材习题2.3 第5 题(P62).容易知道点P的轨迹为双曲线,同理可以用几何法证明双曲线的切线性质.“折纸法”同样适用于抛物线光学性质的证明,只是圆形纸张要改为矩形纸张.

三、结合物理背景予以解释

以图1的椭圆为例,过椭圆上一点D作切线AB,连接DF1,DF2.由光的反射原理可知,要证明椭圆的光学性质就是要证明∠1=∠2 或∠3=∠4.考虑到物理学中的光学原理与圆锥曲线的密切关系,下面从物理科学的角度对圆锥曲线的光学性质给予合理的解释和证明.

1.光的反射定律与椭圆的切线性质

光从一点直接传播到另一点选择最短路径,即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点,而是经由一面镜子反射到另一点,仍然选择最短路径.此时,入射角等于反射角,由此得∠1=∠2(如图6).当反射镜面是曲面(如图7)时,结论依然成立,此时∠1 与∠2 是过反射点的切线与光线路径所成的角.

图6

图7

这是大家所熟知的物理现象,早在古希腊时期赫伦就发现了这个最小原理.我们可以用数学的方法证明,当入射角等于反射角时,光线的传播路径是最短的.或者说,它等价于这样一个初中数学问题：如图8,平面上,点F1,F2在直线l的同侧.在直线l上找一点P,使得PF1+PF2的值最小.

图8

利用几何图形的轴对称性质容易找到满足条件的点P.作点F1关于直线l对称的点F′1,连接F′1F2交l与点P,P即为所求的点(如图9).因为直线l是F1F′1的垂直平分线,所以PF1=PF′1,则PF1+PF2=F′1F2.在直线l上任取不同于P的点R,由三角形三边关系知,RF1+RF2=RF′1+RF2＞F′1F2.因此,PF1+PF2为最小值,且容易得到∠1=∠2.

图9

图10

令这个最小值PF1+PF2=2a,如果满足这个等式的点P不限定在直线l上,可以在平面上自由移动,则点P的轨迹是以点F1,F2为焦点的椭圆,如图10.显然,直线l是椭圆的一条切线.如果l与椭圆相交,则落在椭圆内部的直线l的点R满足RF1+RF2＜2a,与前面的证明结论矛盾.从而得到椭圆的一个几何性质：椭圆上任一点与焦点的两条连线,与在该点处的切线所夹的角相等.联系到光学定律,这个性质对应的光学解释为：从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后都汇聚到另一焦点上.

2.双曲线的切线性质

受上述椭圆的切线性质及其光学解释的启发,运用同样的方式可以证明双曲线的切线性质.如图11,平面上,若点F1,F2在直线l的两侧.在直线l上找一点P,使得|PF1-PF2|的值最大.

图11

同理,作点F1关于直线l对称的点F′1,延长F2F′1交l与点P,P即为所求的点(如图12).因为直线l是F1F′1的垂直平分线,所以PF1=PF′1,则|PF1-PF2|=F′1F2.在直线l上任取不同于P的点R,由三角形三边关系知,|RF1-RF2|＜F′1F2.因此,|PF1-PF2|为最大值.延长F2P,有∠1=∠2.

令这个最大值|PF1-PF2|=2a,如果满足这个等式的点P不限定在直线l上,可以在平面上自由移动,则点P的轨迹是以点F1,F2为焦点的双曲线,如图13.显然,直线l是双曲线的一条切线.如果l与双曲线相交,则落在双曲线内部的直线l的点R满足|PF1-PF2|＞2a,与前面的证明结论矛盾.从而得到双曲线的一个几何性质：双曲线上任一点的切线,平分这个切点与两个焦点连线所成的角.这个性质对应的光学解释为：从双曲线一个焦点发出的光经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.

图12

图13

3.抛物线的切线性质

如图14,在平面上,给定一条直线a和直线外一点F,点D在直线a上,直线l是线段DF的垂直平分线.在直线l上找一点P,使得PD=PF,且PD⊥直线a.

图14

显然,过点D作直线a的垂线与直线l相交,焦点即为所求的点P(如图15).由垂直平分线的性质可知,PD=PF,且∠1=∠2=∠3.在直线l上任取异于P一点P1,过点P1作P1R⊥直线a交于点R,则P11F,否则直线l将垂直于两条相交直线DF,RF,矛盾.所以点P是直线l上唯有满足条件的点.

如果点D取遍直线a上的点,即满足条件的点P不限定在直线l上,则点P的轨迹是一条以F为焦点的抛物线(如图16).由前面的讨论可知DF的垂直平分线l恰是抛物线在点P处的切线,且∠1=∠2.从而得到抛物线的一个几何性质：抛物线上任一点的切线,平分切点与焦点及定直线垂足连线所成的角.对应的光学解释为：从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的轴.

图15

图16

四、总结与进一步的探究

从前面的探究中发现,数学可以解决现实生活和自然界中的许多问题.

反过来,物理科学也能给予数学教学启示,帮助寻找解决数学问题的方法[4].当然,此类教学探究需要教师对数学的内部结构及其与物理学科之间关系进行深入的剖析,形成对数学教材整体知识结构的把握,才能看透本质成就别样的教学.

仅借助于平面几何中轴对称图形的性质和光的反射定律,就能直观形象地证明圆锥曲线的光学性质.而证明过程又恰好能解释物理和自然界中的一些光学现象.事实上,对于圆锥曲线的光学性质还可以给予物理的力学解释.当多个力作用于一个物体最终达到平衡状态时,各个相反方向的力大小相等,这是大家所熟悉的力学原理.从这个角度也可以证明圆锥曲线的光学性质并解释力学现象.有兴趣的同学可以在课后沿着这一思路继续探讨.