融入历史文化促无理数教学

蒙显球

[摘   要]利用无理数蕴含的历史文化进行教学，不仅让学生体验无理数的发现过程，而且理解无理数概念的内涵，掌握无理数概念的外延，特别是感受和谐之美以及图形之美，实现情感目标.

[关键词]无理数;数学;概念

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0009-02v

无理数教学是初中数学教学中非常特别的一节课.无理数是数的一次扩充，无理数概念是数的概念的重大突破.無理数艰难的形成过程表明，无理数概念是数的教学难点之一，它不仅是有理数的扩张，也使人们加深了对数的认识，而且还是数的观念的更新，直接影响数学观的培养.利用无理数蕴含的历史文化进行教学，不仅让学生体验无理数的发现过程，而且还能帮助学生理解无理数概念的内涵，掌握无理数概念的外延，让学生感受和谐之美以及图形之美，实现情感目标.

一、回味无理数的发现过程

古希腊有悠久的历史，产生了无理数.不可公度量的存在昭示无理数的存在.通过勾股定理得到[2]，通过与无理数的趣闻轶事的对比，体验无理数的意义，这其中浸润着数学家许多的无奈.对无理数的认识，西方始于勾股定理.毕达哥拉斯的信徒希帕索斯发现了单位直角边的直角三角形的斜边为[2]，并证明了[2]不是整数或分数，即不是（有理）数.这与古希腊只有整数、分数，即“万物皆数”（有理数）的数的观念不合.

当时，总觉得存在不可公度的量，但并没有意识到这是数，即后来所指的无理数.

二、理解无理数概念的内涵

古希腊希帕索斯的[2]不是有理数的证明，说明无论用什么单位去度量[2]，都是量不完的，写出来就是无限不循环小数.我国数学家刘徽也遇到无限小数，其中之一就是无限不循环小数.对数的开方，刘徽的《九章算术》中提到：“若开不尽者，为不可开，当以面命之.”“面”即是开方不尽所形成的无限小数.对无理数而言，依刘徽的做法，就只能“求其微数”，也就是用十进制小数来无限逼近它.

很早的时候已有平方表、立方表，同时也有了平方根表、立方根表.开方术在我国古代是重要的方法，《九章算术》中记载了此方法.中国的开方术也会产生无理数.如x2 = 2，于是，[2]就是2的算术平方根.[2]是多少？通过古代的开方术，开方的结果却是小数点后面的数字是无限不循环的，没有规律，没有循环节，[2]=1.41421356237309504880…是无限不循环小数……像[2]这样无限不循环小数，不是有限小数，也不是无限循环小数，即是无理数.从开方的结果中可了解到，有些小数是无限不循环小数，其实这就是无理数的本质.像无理数[2]这样，既不是有限小数，也不是无限循环小数.人们对无理数的认识也源于开方.像[2]这样的无限不循环小数有很多，如[3、5、7]等.

无限不循环小数不可能写成整数比的形式，英语单词“比”的无理、整数比两种含义之一的“无理”就成为无理数的概念.于是，无理数名称采用后就将错就错，一直错下去.这是数学历史上一大有趣的现象.

三、了解无理数概念的外延

丰富对无理数的认识，有利于学生对无理数概念外延的掌握.除了开方得到的无理数外，还有π也是数学中最基本、最重要、最神奇的无理数，也是初中生最早认识的无理数，只是第一次被认识到是无理数.对无理数π的认识源于圆的周长、面积的学习，认识到，常数π是圆的周长与直径的比值，它来自于古希腊单词“圆”的第一个字母π.学生学习后发现，很久很久以前，人类用3作为圆周率的近似值，离现在4000年，巴比伦计算[π=318=3.125].古埃及纸草书上记载，直径为9的圆周长大约等于边长为8的正方形周长，由此得到圆周率[π≈25681=3.1604].通过学习认识到，数学发展了，古希腊人阿基米德、我国的祖冲之计算的圆周率π的位数比以前更多了.牛顿通过计算圆周率去消遣，随便一算，将圆周率算到小数点后十五位.计算圆周率近似值越精确，小数点后的位数则越长，人们对它的认识越深刻.

黄金分割数0.618……是人类发现的另一种最早的无理数，兔子的繁殖、植物的生长、许多建筑、人们审美都遵照这一规律.

四、品味文化之美，培养积极情感

追溯无理数蕴含的历史文化，丰富它的内涵，培养学生积极的数学情感.无理数的符号展示数学之美，抽象的根号体现数学的简洁美.根号演变是有故事的.拉丁文radix（根）或英文root（根）的字头r被数学家斯蒂文等人创造性地进行变形，变为符号“√”，用于表示平方根;为避免混淆，笛卡尔巧妙地在√上面添上一横线“——”，得到平方根符号“[]” ，起到括号作用.好简便！符号“[]”巧妙、简洁、漂亮.

特别是人们对圆周率的认识沉淀了许多的趣闻轶事.我国著名的桥梁专家茅以升记忆圆周率，用于锻炼记忆力，曾激励许多爱好者背诵圆周率.有些人列举出圆周率小数点后一千位，变为祖冲之的心路历程，也有好事者对圆周率π=3.1415926535897932384626……编制成一故事，并撰写了一段顺口溜.

私塾先生喜欢上山去找和尚喝酒，总是要求学生背诵圆周率.圆周率小数点后面小数位数太长，不好记忆，学生苦不堪言.后来，有位聪明的学生想出了巧妙的方法，将圆周率小数点后的数字与老师上山喝酒的情景联系起来：山巅一寺一壶酒（3.14159），尔乐苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒杀尔（932），杀不死（384），乐尔乐（626）.此故事有地点、有人物、有事件、有结果.

体验阿基米德螺线的数学之美.由开平方得到的线段形成的折线让人体验到曲线美.对边长为1的等腰直角三角形，利用勾股定理能得到斜边为[2].在作出长为[2]的线段基础上作线段[3]……再作线段[4，5，6…]，其中有无理数，也有许多有理数，但可构造出如图1所示的螺旋图形，恰如螺线般，于是，称之为阿基米德螺线，图形极其精致、漂亮、入眼.

从无理数黄金比中体验到几何图形美.自古以来，数学家就创造数学美、欣赏数学美.古希腊数学家欧多克斯首先对线段进行黄金分割，黄金分割比为[5-12≈0.618].相邻顶点连接得到的等腰三角形底与腰长的比为黄金比.勾股定理被开普勒比作金子，黄金分割比堪称珠玉.人类自古就有爱美之心，画家达·芬奇的作品体现黄金比原则.许多图形与黄金比有关，尽显图形美.

长和宽之比等于黄金比的黄金矩形，如图2，在黄金矩形中截出一正方形后，剩下的矩形仍然是黄金矩形，如此下去仍是.若对正方形画四分之一个圆，于是得到等角螺线.黄金矩形比例协调，螺线极为圆润漂亮.还有，腰和底之比为黄金比的黄金三角形，短轴与长轴之比为黄金比的黄金椭圆等，黄金图形和谐优美，赏心悦目.

[   参   考   文   献   ]

[1]  张景中.从[2]谈起[M].北京：中国少年儿童出版社，2004.

[2]  易南轩，王芝平.多元视角下的数学文化[M].北京;科学出版社，2007.

[3]  陈仁政.说不尽的π[M].北京：科学出版社，2005.

[4]  王青建.数学开心辞典[M].北京：科学出版社，2008.

[5]  张映姜.领悟数学思想   体验数学美[J].数学教学研究，2000（3）：6-7.

（责任编辑 易志毅）