傅里叶变换在大学物理电流信号中的运用

贾国荣, 张清梅

(1.山西农业大学 文理学院，山西 太谷030801；2.太原科技大学应用科学学院，太原 030024)

傅里叶变换是数学物理方法中一种变换方法，通常用来求解特定的微分方程。傅里叶变换在实际运用中发挥着重要作用[1-5]。傅里叶变换微信号光谱仪能精确测量分子的转动跃迁谱线，是量子化学和天文化学领域的重要实验工具[6]。傅里叶光学相干层析成像通过对干涉条纹的光谱信号进行探测，可以并行获取样品组织内部轴向信息[7-11]。将傅里叶变换应用到语音分析上，通过实验分析可以得出零相移滤信号器[12-15]。干涉仪投影轮廓术与傅里叶变换相结合，可以产生条纹正弦性好的干涉条纹，因此可以保证光源的优质性[16,17]。傅里叶变换方法对彩色图像在频域内进行降噪和增强处理，对彩色图像去噪具有良好的效果[18]。由此可见，傅里叶变换是一种重要的处理复杂问题的一种常用方法。

本文从高等数学傅里叶变换的定义出发[19]，将电流信号中常见的方形信号，锯齿信号进行傅里叶级数展开[20-21]，得出结论：复杂电流信号都能分解成许多一系列简谐电流信号的叠加。因此，可以用傅里叶变换对复杂电流信号进行频谱分析。

1 傅里叶变换定义

通过数学物理方法知识可知，假设存在一个以2l为周期的周期函数fl(x)，满足函数在区间[-l,l]上连续或只有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点，那么函数fl(x)在[-l,l]上就可以展开傅里叶级数。

用复数形式表达傅里叶级数展开式为:

(1)

其中

(2)

由此可以得出：假设函数周期为2l，则函数在自变量增长的过程中，函数值周期性的重复变化，假设自变量增加一个周期2l，则函数值就会重复变化一次，其中参数wn不连续地跳跃地取如下值：

(3)

其跃变间隔为

(4)

而对于非周期函数，表面上看似乎无法展开成傅里叶级数，但可以采用把非周期函数f(x)看成是周期函数fl(x)，周期由原来的周期2l扩展为2l→+，采用此方法把非周期函数f(x)展开成成傅里叶级数。此时

如果把式(1)写为三角级数，则为周期为2π的函数f(x)可以展开为如式(15)：

(5)

其中：

(6)

由此可见看出，对于一个函数f(x)，如果满足收敛条件，就可以把它进行傅里叶级数变换。

2 方形信号的傅里叶级数变换

方形信号是电流信号中的一个典型常见的信号，如图1所示，如果我们用数学函数f(x)来表示电流信号中的方形信号，通常可以写为：

图1 方形信号的数学表达函数
Fig.1 The mathematical function of square signal

设f(x)是以2π为周期的函数，在区间[-π，π]上的表达式为:

(7)

把f(x)进行傅里叶变换，则：

(8)

(9)

(10)

于是函数f(x)的傅里叶级数为

f(x)

(11)

因此可见，方形信号f(x)在一个周期内的图形可用下列的正弦信号的叠加来近似表达：

(12)

正弦信号的个数越多，越逼近于方形信号。它可以反映各种频率简谐信号之间振幅的相对大小，因此可以看出采用傅里叶级数展开的方法，对方形信号进行频谱分析是一种有效的方法。

3 锯齿信号的傅里叶级数变换

图2 锯齿信号的数学表达函数
Fig.2 The mathematical function of zigzag signal

锯齿信号也是电流信号中的一个典型信号形图，如图2所示，如果用函数f(x)来表示电流信号中的锯齿信号，可以表示为：

(13)

把函数f(x)进行傅里叶变换得：

(14)

而:

(15)

(16)

因此，锯齿信号的傅里叶级数展开为:

(17)

由此可见，采用傅里叶变换的方法，锯齿信号同样也可以展开成一系列的简谐信号叠加，从而对锯齿信号进行频谱分析。

4 结 论

本文从傅里叶变换开始讨论，对电流信号中典型的方形信号、锯齿信号进行傅里叶级数展开，得到此两种电流信号都可以由一系列的简谐电流信号叠加而成，由此可见，复杂电流信号也可以通过傅里叶变换，得到一系列的简谐电流信号，从而进行频谱分析。