基于效用函数的长寿债券设计与定价模型研究

郑海涛 郝军章

（北京航空航天大学经济管理学院 北京 100191）

一、引言

近年来，随着我国经济实力的发展和人民群众生活水平的逐步提高，我国老年人口占全国总人口数量的比例在逐年提升。根据我国国家统计局2018年的统计数据显示，2018年我国人口从年龄结构上来看，60周岁及以上人口为24949万人，占总人口的比重为17.9% 。虽然中国的经济一直处于稳步增长的过程中，但是依然还未步入发达国家的行列，但是过早的步入老年化社会将会给国家和老百姓带来巨大的压力，形成中国未富先老、未备先老的人口结构新常态状况。因此，国家政府及老百姓必须依靠商业养老保险来保障未来老年人的生活水平，减轻政府的财政负担，也促进了我国保险行业的发展。而保险公司在设计和发型各类养老保险产品的过程中，也将面临越来越巨大的长寿风险。因此，在长寿风险常态化背景下，保险公司可以考虑通过发行长寿债券的方式来利用资本市场进行长寿风险转移，其设计和发行长寿债券不仅能够有效的增加保险行业的产品供给能力，同时长寿债券还可以成为保险公司连接资本市场的一个桥梁，对促进多元化的保险产品发展，丰富资本市场的繁荣有着重要的现实意义。此外，由于长寿债券与其他类型的债券及权益类金融资产的风险相关性很低，其有利于长寿债券投资者分散组合投资风险，保证稳健的投资收益。因此，保险公司设计和发行长寿债券可以将长寿风险通过资本市场有效的进行转移，为保险公司管理和经营长寿风险提供了更多选择和商业机会。

长寿债券与一般的金融衍生品和一般的债券有所不同，其是一种与死亡率挂钩的死亡衍生债券，其定价的方法也相对更为复杂。针对长寿债券的定价问题，国内外许多学者也进行了多个方面比较深入的研究，当今长寿债券定价最主流应用是王转换定价法，该方法是由Wang(2000)[1]首次提出了王转换定价法，其将金融市场的风险考虑到保险市场中，建立了在不完全市场下的长寿债券定价方法。Blake和 Burrows(2001)[2]设计了一种票息的给付依赖于死亡率指数的长寿债券基本结构，而通过购买市场上的长寿债券保险公司就可以对长寿风险进行套期保值。Wang (2001)[3]进一步的将扭曲概率分布引入了长寿债券定价中，通过王转换定价法设计了不完全市场中的长寿债券定价框架。Samuel Wills 和 Michael Sherris（2010）[4]设计出一种分层长寿债券，并将其运用到发达金融市场中来对长寿风险进行证券化以有效转移长寿风险，最后设计了长寿债券的结构和定价模型。Chen和Cummins（2010）[5]考虑将用于巨灾债券定价方法中的极值理论应用到长寿事件建模中，通过巨灾债券定价中使用风险立方方法对长寿债券进行定价，设计了一种长寿债券定价模型，计算了长寿债券的风险溢价。Yang等人(2011)[6]分析了运用连续Lee-Carter死亡率模型对多个国家的长寿风险进行证券化。余伟强（2006）[7]首先通过考虑死亡率期权设计了一种生存债券，提出了通过发行长寿债券等证券化方法管理长寿风险，并提议加快建立相应的二级交易市场以促进长寿风险证券化的发展。尚勤、秦学志等（2008）[8]针对中国现有的生命表中的基础数据，运用常用的王转换方法设计了一种长寿债券定价模型，并进行了仿真模拟。崔佳佳（2008）[9]通过使用等价效用准则方法对长寿债券进行定价研究，其认为长寿风险的证券化设计可以有效的对冲掉长寿风险，是一种管理长寿风险的有效手段。陈秉正和祝伟（2008）[10]设计了一些死亡率债券、死亡率期权及死亡率互换等与死亡率指数挂钩的衍生产品，并系统梳理了长寿风险管理方面的研究，在此基础上探讨了我国如何对长寿风险进行管理，及对风险管理金融工具的设计和定价提供一些策略。艾蔚（2010）[11]研究了国外的长寿债券的设计和死亡率证券的设计模式，探索了如何通过资本市场有效的对冲和转移长寿风险。谢世清（2011）[12]借鉴了国外长寿风险的管理模式，设计了四种长寿风险管理产品，包括长寿风险债券化产品、反向抵押贷款、附保证变额年金和长期护理保险，比较分析了这四种产品的特点和适用性，并为中国市场未来开发相关的长寿风险产品提供了一定的指导意义。艾蔚（2011）[13]分析了死亡率期货、长寿债券、死亡率互换等多种与死亡率挂钩的金融衍生产品的特点及适用范围，通过在资本市场上交易这些金融衍生产品可以有效的对冲长寿风险，灵活地调整保险公司的风险和收益。侯立平（2011）[14]研究了在长寿风险加剧的影响下如何积极的管理长寿风险，并建议政府推动死亡率指标的构建来帮助长寿债券的设计和发行，以通过资本市场有效转移长寿风险。谢世清（2014）[15]对国内外长寿风险的管理方法及衍生产品的研究进行了总结，并对比了长寿期权、债券与互换这类长寿衍生产品的结构及定价模型，为未来中国保险公司管理长寿风险提供了帮助。李梧铭，陈婉茜和尚勤（2015）[16]从国家、资本市场、人才和产品设计四个角度分析了中国建设长寿风险市场的必要性，表明中国实施长寿风险证券化是符合中国目前的国情，也是未来的发展趋势。

在长寿债券设计方面，国内外大多数的研究基本上都集中在通过Lee-Carter动态死亡率模型及王转换模型等方法进行理论上的定价，且未有文献从微观角度来分析发行长寿债券的保险公司和购买长寿债券的对冲基金之间的效用水平。而通过期望效用理论中的效用无差别定价方法可以从微观角度分析长寿债券的购买方和发行方的期望效用，从而提供了另外一种长寿债券的定价思路，可以对其进行进一步深入的研究。因此，本文提出采用发行长寿债券的方法来化解养老保险行业面临的长寿风险，并运用期望效用理论中的效用无差别定价方法，在综合比较寿险公司发行长寿债券与不发行长寿债券的期望效用结果，来确定长寿债券的合理均衡价格，作为长寿债券的定价依据。

二、长寿债券的模型设计

这一节，我们将讨论长寿债券模型设计的问题。首先，我们在一个离散时间的概率框架下讨论，模型包含两个重要的时间点0和T，即保险合同的开始期与保险合同的结束期。Ω = {ω1，…，ωx} 代表不同年龄段的人群购买一份保单可能发生长寿风险事件的集合，这里的长寿风险时间定义为被保险人在保单结束后存活了下来，即认为发生了长寿风险事件。长寿风险事件发生的概率为Tpx，这里的发生概率即为x岁人口存活到保单结束期的生存概率。E(·) 代表期望价值。S代表一旦长寿风险事件发生，即长寿债券发生违约后，对冲基金可以收回的一个本金回收比率。为了方便描述模型，首先介绍模型相关变量，详见表1。

表1 模型变量含义描述

（一）保险公司不发行长寿债券时的效用

保险公司是否发行长寿债券其取决于保险公司合同期结束后的最终期望收益。设0时刻为交易开始时刻，T时刻为交易结束时刻。在0时刻，π(X) 是x岁的人购买保险公司的保险用于承担长寿风险而支付的保单价值，此时保险公司将收取的保费连同保险公司的初始财富用于债券市场债券，即使用总财富W=π(X)+w去购买价值为W的零息债券，债券期为T，零息债券的年化收益率为r。在时期T时，保险公司将会受到面值为W(1+r)T的债券收益，并用于赔偿被保险人的长寿风险损失L。此时，保险公司在T时刻的最终财富为WT=W(1+r)T-L，对应的保险公司在此时获得的效用为：

（二）保险公司发行长寿债券时的效用

在这个部分，我们考虑保险公司在发行长寿债券情况下如何达到最终财富的期望效用最大化。这一部分与上一部分主要的不同在于此时保险公司可以通过发现长寿债券将一部分长寿风险转移到对冲基金公司那里，类似于之前的分析，在0时刻，保险公司从被保险人那里收到保费π(X)，然后保险公司通过将不同年龄组的长寿债券打包销售给对冲基金公司，获得补充的收入C。然后保险公司将保费收入与销售长寿债券获得的补充收入加总起来的总财富去债券市场购买总金额为B的零息债券，债券期为T，零息债券的年化收益率为r。在T时刻，保险公司将从债券市场收获金额为B(1+r)T的总财富，其中的一部分用于赔偿被保险人的长寿风险损失L。此外，保险公司还需要支付对冲基金长寿债券到期时候的本息和Y，长寿债券的面值为C，票面利息为r'=SHIBOR+E，E为超额收益率。若一旦发生长寿风险事件，即长寿债券发生违约后，对冲基金只可以按照一个总收益回收比率S收回本息SC(1+r')T。此时，保险公司在T时刻的期末最终财富其满足以下的概率分布函数：

对应的保险公司在此时获得的效用为：

此时，保险公司可以通过最大化期望效用函数来确定最优的长寿债券价格C，即

通过求解上述方程即可得到长寿债券的最优定价结果C。此时，对冲基金获得的总的期望效用为：

三、均衡价基格于效用函数的长寿债券

在这一章，我们将引入具体的效用函数，分析在效用函数确定的情况下保险公司是如何通过效用方程来确定最优的长寿债券均衡价格。

一般情况下，我们假设认为保险公司是风险厌恶，本文采用Gerber和Pafum(1998)[17]、Pantelous和Passalldou (2017)[18]在论文中所使用的模型假设，选择最为简单的二次效用函数作为保险公司进行决策的效用函数，而且二次效用函数通常被用来逼近更为复杂的效用函数。在一般的均值方差分析框架下，二次效用函数也具有一定的优越性，但是在社会实践中，由于二次效用函数是绝对风险厌恶增加的，二次效用函数的运用并不是那么广泛。在本文下面的例子中，在不失一般性的情况下，我们假设二次效用方程为如下表达形式：

保险公司在T时刻的期末最终财富的概率分布可以变形为：

对上述期望效用函数进行求导，以得到长寿债券的最优定价结果C，即：

因此，在无套利的市场假设前提下，当保险公司使用二次效用函数作为决策方程时，可以通过计算发行长寿债券时，当期望效用函数达到最大化时的长寿债券价格C作为保险公司对长寿债券的最后定价。

四、长寿债券定价的数值实验

在这一节中，我们将运用中国人身保险业经验生命表（2010-2013）死亡率数据对上述所设计的长寿债券期望效用无差异定价方法进行一个数值实验，分析和评价该方法对长寿债券定价结果的合理性和可行性。

首先，本文先对保险公司销售的寿险产品进行设计。基于简化分析的角度考虑，本文选择最为普通和常见的期末付定期生命年金作为保险公司为养老者对抗长寿风险而销售的保险产品。保险合同为一期期限为10年，保险人购买保险合同的购买年龄范围为36岁至80岁，这里设此年金保险产品每期期末给付金额为1，则n期期末付定期生命年金的精算现值随机变量为X，而净趸缴保费π(X)是精算现值在死亡分布上的期望。假设保险合同的开始期为2022年年初，则一期合同的结束时间为2031年年末。此外，在此考虑保险公司的保险产品价格为公平定价定出的净保费，因此保费定价过程中的折现率等于保险公司在债券市场购买十年期的零息债券所获得的预期收益率r。这里假设十年期的零息债券的年化收益率为8%，即保险公司在债券市场的保费投资预期收益率r=8%。而保险公司发行长寿债券时，假设承诺给对冲基金的长寿债券利息率r’=SHIBOR+E=10%。当长寿债券发生违约风险时，假设对冲基金可以获得总收益的回收比率S=80%，二次效用函数的参数设为a=0.5。

此时，可以求出不同年龄结构下保险公司发售的期末付定期生命年金的净趸缴保费价格π(X)、保险公司在不发行长寿债券且未发生长寿风险赔付时和发生长寿风险赔付时在债券市场投资零息债券一期后的总投资财富（含本金）分别为W(1+r)和WT=W(1+r)-L、保险公司在不发行长寿债券时且未发生长寿风险赔付时和发生长寿风险赔付时得到的最终收益效用分别为u[W(1+r)]和u(WT)、保险公司在不发行长寿债券时和发行长寿债券时一期后投资收益的总期望效用分别为、保险公司在发行长寿债券且发生长寿风险赔付时和未发生长寿风险赔付时在投资一期后给付完对冲基金收益后的最终财富分别为、保险公司在发行长寿债券时且发生长寿风险赔付时和未发生长寿风险赔付时得到的最终收益效用分别为、二次效用函数下令保险公司期望效用最大化的长寿债券价格为C。具体结果见图1～3：

图1给出了保险公司根据精算定价公式计算出了36～80岁1期期末付定期生命年金的净趸缴保费价格。从图中可以看出，随着年龄的增大，定期生命年金的趸缴保费价格在下降，这是因为随着被保险人年龄的增大，其死亡的概率在不断增加，生存的概率不断下降，则保险公司面临的长寿风险在不断降低，即保险公司赔付长寿风险的概率也随之降低，因此应当给予年龄越大的被保险人提高越低的保费价格，即保证了精算定价的公平与合理性。

图2给出了保险公司根据期望效用最大化理论确定出的36～80岁年龄段不同的长寿债券价格。从图2的趋势可以看出，随着被保险人年龄的增长，其对应发行的长寿债券的价格是在下跌的。这是因为当被保险人年龄很低时，其死亡概率很低，存活概率就越高，此时发生长寿风险的概率越高，即债券违约的概率很高，进而其收益率就很低，因此长寿债券的价格会很高。随着被保险人年龄的增大，其死亡概率也会越来越高，存活概率变低，即发生长寿风险的可能性变小，此时长寿债券违约的风险也就变小，对应的长寿债券的收益率就很高，因此长寿债券的价格相应越便宜。通过效用最大化条件下确定出来的长寿债券价格是合理的。

图1 保险公司期末付定期生命年金净趸缴保费定价

图2 效用最大化条件下的长寿债券的定价结果

通过图3的结果可以看出，不发行长寿债券条件下保险公司1期后的投资收益及效用要明显小于保险公司发行长寿债券时获得的收益与效用。这是因为保险公司通过发行长寿债券从资本市场获得更多的资金并在债券市场进行投资而获得超额收益，从而获得更高的效用。通过二次效用函数计算出来的保险公司发行长寿债券与不发行长寿债券的总效用结果可以看出，随着被保险人年龄越大，保险公司的总的期望效用呈现一个上升的趋势，这是因为被保险人年龄越小，其死亡概率越小，存活概率越大，即长寿风险越大，此时保险公司可以获得的期望效用就越小，反之，当被保险人年龄越大，死亡率就越大，其发生长寿风险的概率就越低，对于支付的定期生命年金的金额就会降低，相应的获得的期望效用会增加。而在发行长寿债券时，在36～40岁年龄段出现保险公司的总期望效用下降的情况，这可能是由于此时这个年龄段人口死亡率出现了一个改善情况，导致了中年人的死亡概率出现了下降，进而导致了长寿风险出现了一个局部年龄段的增加，从而降低了保险公司在这个年龄段人群中获得的期望效用。而且相比较不发行长寿债券的情况下，保险公司发行了长寿债券，获得了更多的资金杠杆去进行债券投资，也就更加剧了这种局部长寿风险带来的效用损失，其36～40岁之间的效用跌幅更为明显。在此长寿债券发行价格的情况下，保险公司发行长寿债券得到的总的期望效用始终大于保险公司不发行长寿债券得到的总的期望效用。因此，从期望效用最大化理论分析出发，在不同年龄段下保险公司应当按照期望效用最大化的定价结果为长寿债券进行定价，在此定价结果下，保险公司发行长寿债券可以获得更高的期望效用，是合理的。

图3 保险公司是否发现长寿债券的总期望效用图

五、结 论

长寿风险是人寿保险和养老金产品中的关键风险因素，尤其是对于存续期较长的保险年金产品，比如养老金产品发行人面临的长寿风险暴露，具体表现为养老金领取人群的死亡率改善比发行人进行养老金定价时预期的速度更快，进而造成更多的风险赔付。应对不能通过增加规模对长寿风险进行风险分散的问题，考虑引入其他外部工具来解决，如将长寿风险转移到保险以外的金融市场。

本文提出采用发行长寿债券的方法来化解保险养老行业面临的长寿风险，研究了保险公司与对冲基金交易长寿风险的期望效用问题，并从保险公司发行长寿债券的角度出发，基于传统的无差异效用定价方法对保险公司发行的长寿债券进行定价。在模型中，我们假设不设计动态交易与预算约束，保险公司的效用函数选择二次效用函数，最终通过求解保险公司的效用最大化条件得出保险公司发行长寿债券的最优价格。最后，利用数值实验阐明了模型和结果的有效性。研究结果表明，保险公司发行长寿债券，不仅可以有效的让保险机构的长寿风险得到转移释放，还可以提高保险公司在资本市场的收益和期望效用。对于对冲基金公司而言，长寿债券可以作为他们多资产投资组合中的风险资产中的重要组成部分，当长寿债券价格处于一个合理水平时，购买长寿债券可以为对冲基金公司带来更高的投资收益与更好的期望效用。