重力加速度3种DIS实验设计方法比较研究

倪 敏 陈 舟

(上海师范大学数理学院,上海 200234)

生活中的很多现象是由万有引力造成的．万有引力的作用效果可以分为两部分,一部分为物体随地球做圆周运动提供向心力,另一部分就是重力．物体由于地球的吸引而受到的力叫做重力G,方向竖直向下．地球表面附近的物体受重力作用,地球重力作用的空间范围就是重力场．研究重力场主要是为了解决以下3个问题:(1) 借地球表面的重力值来研究重力位,了解地球形状;(2) 借局部的重力值来研究局部重力位的变化,研究地质构造、勘探矿床;(3) 借地球表面重力值的变化情况,研究地下物质分布和大地构造[1]．重力场模型在地球科学、空间科学、军事、大地测量等很多尖端科学领域都有广泛应用．

本文围绕重力加速度DIS实验测定进行了理论分析和实验研究．首先从重力加速度的理论值入手,计算出实验所在地的重力加速度．然后实验方面选用DIS仪器,设计了3种方法进行测量．通过将理论值与实验值进行比较,分析误差来源,并将3种方法进行比较,结合中学物理实验教学,培养学生的物理思维．DIS在实验方面有着很多传统实验所不具备的优势,同时DIS仪器在中学已逐步推广,因此本研究对物理师范生实验教学技能的培养和中学物理实验教学具有一定的参考价值．

1 理论计算

不同地区的重力加速度的数值通常是不同的,它主要受纬度和海拔高度等因素影响．

在高中阶段,讨论重力加速度时一般忽略地球自转,认为物体所受重力近似等于物体受到的万有引力,得到式中g′表示离地面高度为h处的重力加速度,g表示地球表面的重力加速度,R表示地球半径．因此重力加速度会随着离地球表面距离的增大而减小．如图1所示,由于地球自转,静置在地球表面的物体都会随之做圆周运动,向心力由万有引力的分力提供．设物体质量为m,转动半径为r,地球自转的角速度为ω,根据向心力公式F=mω2r,可知在角速度相同的情况下,随着半径的增大,向心力也会增大．根据相关资料,在海平面上,赤道处因地球自转导致的误差为0.53%,对结果影响甚微,因此在一般计算中可以忽略地球自转[2]．一般情况下,赤道附近重力加速度最小,越靠近南、北两极重力加速度就越大,最大值与最小值之差约为1/300[3]．因此重力加速度的大小与所在位置的海拔和纬度都相关．

(1)

(2)

图1 地球自转示意图

为了精确地给出实验所在位置的重力加速度,这里采用1980年国际大地测量与地球物理协会推荐的公式

gφ=9.780327(1+0.00530244sin2φ-

0.00000585sin22φ)(m/s2).

(3)

式中φ代表物体所在的纬度．式(1)称作正常重力公式,它建立在两个条件之上:(1) 地球是一个椭球且质量分布具有轴对称性;(2) 所在位置接近海洋面[4]．

大地测量学家在忽略重力加速度随经度变化的前提下,推导出重力加速度随高度的变化计算公式为[5]

0.0014437sin2φ)(s-2).

(4)

从而得到任意纬度、任意海拔处的重力加速度的理论值可表示为

gφh=gφ+gh.

(5)

上海位于北纬31°11.5′,平均海拔为2.8m左右,代入式(3)～(5),计算得到上海地区的重力加速度g≈9.79419m/s2．查阅资料,上海地区实测重力加速度为

g上海=9.794m/s2[6],符合理论计算．

2 实验原理

2.1 位移传感器法

2.2 光电门传感器法

(6)

每次实验可测得5个挡光时间,选取前两个和后两个进行处理,可得到两组实验数据．

2.3 力传感器法

物体在地球表面受到重力,用符号G表示,方向竖直向下．重力又可以用物体的质量和重力加速度的乘积表示,G=mg．因此重力加速度也可以用重力除以质量来表示,即

(7)

3 实验过程及测量结果

3.1 位移传感器法

图3 位移传感器法装置图

(1) 按图3放置实验仪器,打开DIS软件,选择通用软件;

(2) 选择“组合图线”,点击“添加”,设定x轴为时间,y轴为s1;

(3) 打开发射器电源开关,使发射器与接收器端口正对,数据调零．点击“开始”,使发射器做自由落体运动,得到s-t图像．实验结束,点击“停止”,关闭发射器开关(注意在下方垫上垫子,防止发射器摔坏);

(4) 选择“X缩放”,将图线在横轴上放大,选取自由落体部分的图像进行二次拟合,发现拟合图线与实验图线基本重合,表明位移与时间成二次方．对拟合图线求导,得到一条直线,即速度与时间成线性关系;

(5)对求导图线进行线性拟合,读出拟合图线的方程,如图4、图5所示,由此得到拟合图线的斜率为992.6(cm/s2),也就是实验时的重力加速度g=9.926(m/s2)．

图4 求导图函数线性拟合

图5 拟合图线的方程

3.2 光电门传感器法

图6 光电门 传感器法装置图

(1) 按图6放置实验仪器,打开通用软件,将光电门传感器接入数据采集器第一通道;

(2) 用刻度尺测量出挡光片空白部分和挡光部分的宽度L;

(3) 将间隔改为0.001s,点击“开始”,开始自动采集数据;

(4) 让挡光片通过光电门传感器做自由落体运动,记录5个挡光时间,点击“变量”添加变量t2,将t1第2和第5行的数据分别粘贴到t2的第1和第4行中,并重复此步骤4次;

图7 光电门传感器法实验数据

3.3 力传感器法

(1) 按图8放置实验仪器,打开通用软件,将力传感器接入数据采集器第一通道并调零;

(2) 用电子天平测出10个钩码的质量;

(3) 将一个钩码挂在力传感器的挂钩上,静止后点击“点击记录”,记录下F1,即钩码的重力G,输入钩码质量(单位kg);

(4) 将剩余钩码依次挂在前一个钩码下,重复步骤(4),得到10组实验数据,如图9所示;

(5) 根据数据做G-m图像,如图10所示,得到g=9.775m/s2,相对误差η=0.2%．

图8 力传感器法装置图 图9 力传感器法实验数据

图10 G-m关系图

4 测量结果分析与讨论

4.1 测量结果对比分析

重力加速度g的测量精确度直接影响着很多尖端科学的发展,为了准确测量重力加速度的值,物理学家们不断探索新的方法．就中学实验教学的要求来看,目前已有的实验条件符合中学物理实验教学的实际需求,而本文所阐述的三种实验方法,各有利弊,具体情况分析如下.

(1) 位移传感器法.

位移传感器法测得重力加速度g=9.926m/s2．相对误差η=1.3%.由于在实验中位移大小由位移传感器进行测量,因此必须保持位移传感器的发射器竖直下落,水平方向的移动或偏转会导致实验结果产生误差;其次,由于空气阻力的存在,发射器会受到向上的阻力,使实验结果偏小;第三,在实验过程中要自主选择物体做自由落体运动部分的曲线,因此选择的区域对结果也存在一定的影响．

(2) 光电门传感器法.

根据光电门传感器法实验结果,计算得到重力加速度g=9.697m/s2,相对误差η=1.0%．对于存在的误差,这里推测来源主要有以下几点.

a. 在理论推导中用到瞬时速度,但在实验中用平均速度代替瞬时速度,会引入一定的误差;

b. 释放挡光片的时候,操作不当导致在挡光过程中挡光部分的不等于L,从而产生误差;

c. 挡光片宽度、时间等相关参数的测量上由于仪器精度而依然存在一定的误差;

d. 由于空气阻力的存在,挡光片受到的合力小于mg,使测得的重力加速度值偏小．

(3) 力传感器法.

力传感器法中通过做图、线性拟合等,得到重力加速度g=9.775m/s2,相对误差η=0.2%．可以看出,用力传感器法测得的重力加速度需要测量质量和重力两个物理量,所得结果误差最小,究其原因,与之前的两种方法相比,其属于静态测量,避免了动态测量中操作及环境所带来的影响,其误差主要来源是仪器的精度所致．

对上述设计的3种DIS实验的测量原理、器材、方法及误差来源进行归纳和对比[7],如表1所示．

表1 重力加速度3种DIS实验测定方法的比较

综合以上3种实验方法,可以发现在测量方面,前两种实验方法分别用到位移传感器和光电门传感器,利用物体在重力作用下做自由落体运动来测量重力加速度．这两种方法都是动态测量．前者利用DIS系统,依靠电脑绘出自由落体的s-t图像,并对其进行曲线拟合、求导等,由计算机直接计算出重力加速度的数值,体现了现代科学技术在物理测量中的运用．后者改变了传统实验中瞬时速度不易测量的问题,使得整个实验更直观．这两种方法在操作上都需要一定的技巧,保证物体稳定地下落不发生偏转．第3种实验方法应用重力的定义,测量物体在静止时的重力和质量,避免了物体在运动过程中很多的不确定因素,原理简单,操作方便．因此在重力加速度的测定上,静态的力传感器法相对而言更精确．

4.2 教学讨论

从课堂教学来看,位移传感器法利用计算机作图、拟合图线等功能,充分结合图形,能直观地观察到物体做自由落体运动时的物理图像,了解物理图像的意义,弱化数学计算,让学生将更多的时间运用在物理公式、实验的理解上,培养学生的物理思维,增强学生数形结合的能力,但是求导、线性拟合等操作对于中学生而言在理解上有困难,教师要对学生多关注,落实物理思想,避免发生学生会操作但不理解的问题;光电门传感器法从定义出发,原理简单,实验过程形象直观,在公式推导、理解等方面更易被中学生所接受,便于让学生从定义的角度充分理解重力加速度的物理意义,但是用平均速度代替瞬时速度存在误差,必须要让学生理解能代替的原因及条件;静态的力传感器法相对动态方法而言,测量结果最为精确,此方法主要运用到力学的知识．前两种方法属于运动学,后一种方法属于动力学范畴,在实际教学中,将3种方法相结合,不仅可以让学生知道测量重力加速度的方法、角度不唯一,还可以让学生充分理解重力加速度在物理学中沟通了运动学和动力学,起到了桥梁的作用．

5 结语

DIS实验在中学物理教学中已经开始普及．对于物理量的测量已不仅局限于传统实验,DIS实验的便捷性、直观性已经使其逐步成为中学教学的主要实验手段．本实验中,DIS实验的优势已明显展露．首先,对于传统实验中不便于直接测量的瞬时速度,DIS实验利用短时间内的平均速度代替,近似测量;同时,DIS实验利用计算机对于数据强大的处理能力,充分体现了物理中s-t图像的意义与作用,自动利用设置好的公式对数据进行运算,降低了对于数学能力的要求．DIS实验相比传统实验,有着许多无法取代的优势,将会成为中学实验教学的主流．

本文设计的3种重力加速度测量方法各有所长,分别从动力学和运动学两个角度进行测量,同时对实验数据进行了简单的处理与分析,验证了结论的正确性．3种方法的综合使用,既能开拓学生思维,又能相互比较,让学生对重力加速度的测量和其在物理学中的地位有一个更深入的了解．