结构化学习因“变式”而精彩

朱俊华，吴玉国

（1.淮安市天津路小学，江苏 淮安 223005；2.南京市游府西街小学，江苏 南京 210002）

结构，就是事物各个组成部分的搭配和序列。皮亚杰在《结构主义》一书中强调：结构也叫一个整体，一个系统，一个集合，是一个心理系统或整体。[1]小学数学结构化学习，主要指儿童在已有知识与经验的基础上，借助教师对数学概念的结构化理解与分析，经历个性化的认知过程。显而易见，数学概念的结构化理解和分析是结构化学习的重要途径。

在课堂教学中，我们常常会利用变式教学来帮助儿童实现数学概念的结构化理解。变式教学就是不断变换数学概念的表征方式和表现形式，从变化中找寻不变的本质，揭示数学概念的深刻内涵，进而帮助儿童建构概念。[2]变式教学的本意在于帮儿童多视角、多层次、多维度理解概念，不断丰富和建立概念的表象，从而实现儿童认知结构的不断完善。下面笔者以“认识分数”一课为例，谈谈小学数学结构化学习的变式教学。

一、横向变式，多视角理解概念本质内涵

美国认知心理学家布鲁纳指出：“掌握事物的结构，就是允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它。简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式特征的概括，是对一类数学对象的本质属性的反映。而要让学生理解抽象的数学概念就需要诸多关联的元素进行意义的建构。

横向变式，就是在具有某类型的特征或者某一特定的范围要改变外在形式，而数学概念的本质并不因为形式的变化而改变。简单说就是通过不同角度对比材料的分析，帮助学生深刻理解概念深刻内涵。变式教学有时来自教师的预设，有时源自课堂上学生的生成资源，尤其是后者如果利用巧妙就能起到事半功倍的效果。

教学“认识分数”时，在操作探究环节，教师引导学生拿一张正方形纸折一折，并把它的二分之一涂上颜色，再和同学交流。汇报时，同学们出示了几种不同的折法（参见图1），教师借机把这些作品展示在黑板上，并组织讨论：（1）每一种涂色部分都能表示这张纸的二分之一吗？（2）为什么折法不同，涂色部分的形状也不同，都能表示这张纸的二分之一呢？（3）除了这些折法，还有没有其他折法也能表示这张纸的二分之一，一共有多少种？这些问题瞬间引起了同学们的兴趣，大家积极讨论，有些小组还针对某个问题进行了积极的争辩。

图1

教师通过活动、实物、图片、语言、情境等形式对概念进行外在表征，其目的在于丰富学生的感知，理解二分之一的深刻内涵。开展折纸活动，目的并不是为了展示折法多样化，更不是看谁折得有创意。展示各种不同的折法是为了引导学生理解：为什么折法不同，都能用二分之一表示？最终学生会发现，这些折法虽然不同，但是相同的是都把这张纸平均分成两份，表示其中的一份，就得到这张纸的二分之一。而当学生还能够自己用语言表征的话，他们对于二分之一的理解也就更丰富、更深刻了。这样的变式，是基于学生的认知基础（分蛋糕的经验），充分利用认知冲突（为什么折法不同都能得到二分之一呢？），逐渐将分数概念的理解从模糊走向清晰，从单向走向综合。同时还培养了他们的辩证思维、发散思维、聚合思维和创新思维。

二、纵向变式，多层次揭示概念本质属性

在教学中用不同形式的直观材料或事例说明概念的本质属性，或变换概念的非本质特征以突出本质特征，使学生理解概念的实质内涵，辨别其非本质特征，从而建构概念。这也符合皮亚杰（J.Piaget）的观点：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而且这种建构始终是完全开放的……这种结构或者正在形成‘更强的’结构，或者再由‘更强的’结构来予以结构化。”[3]在小学数学概念教学中，结构化学习主要通过元素的关联联结来实现，元素关联就是教师在掌握知识的发展结构后，对教材内容进行分解和重组，不断变化表征形式，促进概念的纵向关联，实现概念的自主建构。

比如，教学“认识分数”时，核心概念就是二分之一的意义建构。如果只是按照教材通过分蛋糕的活动理解二分之一显然是不够的，学生理解起来也不深刻。但是，让同学们在经历“分蛋糕（物体）”认识二分之一后，再开展表示出一个正方形（图形）、一根一米长的绳子（计量单位）、一瓶果汁等的二分之一的数学探究活动，并且让学生边操作边思考以下问题：（1）怎样得到一个物体的二分之一？（2）谁是谁的二分之一？（3）为什么平均分的对象不同，却都可以得到二分之一这样的分数？如此教学，学生对于二分之一的了解便会更加全面，理解也会更加深刻。其实，提供给学生的活动素材越丰富，概念建立的表象就越丰富，儿童的认知结构也就越完善。这样的“变式”教学也为学生三年级下学期“一个整体的几分之一”和五年级“分数意义”的学习奠定了基础。

直观形象、具体可感的事物、图形、计量单位的辅助理解，有益于学生的结构化思维由操作水平走向分析水平，由具象走向抽象，由外延走向实质。当然，我们提供给学生操作的图形时，还可以继续变换外在表征形式：既有同一小组内大小、颜色不同的正方形，也有各组间大小、形状、图形都不同的图形（如长方形、等边三角形、平行四边形等）。这样的操作给了学生充分比较、思考、交流、辨析和争论的机会，最终实现分数概念本质的意义建构。

三、正反变式，多维度完善儿童认知结构

美国认知心理学家奥苏贝尔指出：“当学习材料本身具有逻辑意义，而学习者认知结构中具备适当的知识基础，那么这种学习材料对于学习者就构成了潜在的意义。”如果我们提供给学生的学材本身具有一定的结构，那么知识发展结构和儿童的认知结构就会形成联结，对概念的理解也就能由内而外地形成结构。长此以往，儿童的结构化思维也就能逐渐形成。[4]

正反变式：一是属于概念的外延集合的变式，称为正例变式；二是不属于概念的外延集合的变式，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式。[5]尤其是在练习巩固阶段，我们要用好反例变式，帮助学生“由反知正”，实现对概念理解的再巩固。

在“认识分数”的练习环节，为了能让学生真正理解分数的意义，我们经常会设计如下练习（参见图2）：哪个图形里的涂色部分是四分之一，在（ ）里打“√”。当学生做出选择后，教师进而追问：为什么第一、第二、第四幅图的涂色部分不是四分之一？讨论得知，第一幅图并没有平均分，所以其中的一份不能用四分之一表示；第二幅图把正方形平均分成了5 份，每份应该是它的五分之一，并非四分之一；第四幅图虽然平均分成4 份，但是不是表示其中一份，所以也不能用四分之一表示。这样的反例变式，其实是分别抓住了分数概念的核心，第一幅图显然是强调“平均分”，第二幅图是强调“平均分的份数”，最后一幅图则是强调分子是“表示这样的几份”。他们各有侧重，同样达到强调分数内涵的目的。

图2

有时为了巩固分数的概念，我们也会出这样的判断题：把一张圆纸片分成4 份，其中一份占它的四分之一。学生的回答截然不同，此时，教者并未做出评判，而是组织学生进行辩论。这时，提供给同学们一些圆形纸片，分别让不同观点的同学证明自己的判断。认为正确的一方潜意识地把这张圆纸片进行“平均分”，而此时，另一方同学提出异议，并折出“非平均分”的情况，全班同学恍然大悟。其实，这样的教学展现了动态正反变式，教师不急于做出评判，是给全体同学思辨的机会，辩论的过程更是对分数核心要素“平均分”的内化和巩固。

教育心理学家认为：概念的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于鉴别的信息。[6]教学中，教师要善于设计正反变式的素材给学生，给予他们辩论的机会，因为辩论不仅培养他们语言表达和逻辑思维能力，还有助于提高学生的批判性思维能力。

总之，结构化学习是以变式来理解数学概念的内涵和本质，在知识的关联中培养儿童的结构化思维。变式，有利于儿童概念的自主建构，有利于概念的本质理解。只有通过表征形式的不断“变化”，才能让儿童感受和理解概念本质的“不变”，从而促进儿童对概念的整体认知，促进儿童认知结构的螺旋上升！▲