轨道误差对空间站高精度时间比对的影响分析及修正方法

刘音华，李孝辉

(1. 中国科学院国家授时中心，西安 710600；2. 中国科学院大学，北京 100049)

0 引 言

随着科技的发展，纳秒级的时间比对精度已经不能满足许多基础前沿研究的需要[1-3]，例如精细结构常数测量、引力红移测量、深空探测等基础研究领域，对时间比对精度的要求已到几十皮秒甚至皮秒量级。目前理论上可实现的最高性能的时间系统为欧洲空间原子钟组(Atomic clock ensemble in space,ACES)计划和我国的载人航天空间站时频柜，下文把两个系统统称为空间站。因为空间站在微重力环境中，地球重力与轨道运动的离心力相互抵消，原子冷却温度更低，原子钟的频率稳定性较地面钟更优。两个系统的空间原子钟秒级稳定度均优于10-13[4-7]。各大国耗巨资建设空间站一方面是为了开展高精度的基础物理实验，另一方面为了高精度的科学应用[5,8]。其中很重要的一项科学目标是实现空间站对地面的超高精度时间比对，利用微波链路的时间传递比对不确定度预期指标是优于100 ps[5]。

空间站运行在近地环境下，轨道高度大约为400 km，轨道倾角在40°～50°之间。空间站上搭载全球导航卫星系统(Global navigation satellite system,GNSS)接收机，用于实时提供空间站轨道信息[9-13]。随着全球卫星导航系统的建设与发展，目前GNSS接收机定位精度已达到分米甚至厘米量级。文献表明，GPS接收机曾搭载在地球低轨飞行器上，提供了10 cm量级高精度的轨道位置服务[14-18]。但是，即使是10 cm的空间站轨道误差，对单向时间比对造成的误差约为300 ps，和100 ps甚至几十皮秒的时间比对精度目标相差甚远。ACES项目和我国空间站都规划建设微波双向时间比对链路，利用双向时间比对的方法来减少空间站轨道误差的影响，实现优于100 ps的时间比对精度。但是空间站双向时间比对方法的应用具有两方面的局限性，一方面双向时间比对要求地面站既能接收空间站的时间比对信号，同时还要具备向空间站发送信号的能力，对地面设备要求较高；另一方面，为了降低轨道误差的影响，双向时间比对要求空间站在接收到地面信号后立即发送空间信号，该策略限制了空间站与多个地面站之间同时进行双向时间比对。因此，双向时间比对方法只适用于少数站点的高精度时间比对。而空间站共视时间比对方法，并不限制地面用户的数量，且地面站只需单向接收空间站的时间比对信号即可，是一种可以把空间站推广使用的高精度时间比对方法。对于利用空间站进行共视时间比对的用户来说，由于空间站轨道太低，轨道误差的抵消程度远远低于导航卫星，空间站对两个地面站的轨道误差甚至被组合放大。因此，需要寻找空间站轨道误差的修正方法，把时间比对的精度提高至几十皮秒量级，满足基础前沿研究的需要，也符合空间站的建设初衷。

由于国内外空间站的高精度原子钟系统和微波时间比对链路还处于建设阶段，空间站高精度时间比对研究方面的文献较少。本文率先开展空间站共视时间比对中轨道误差的抵消策略，首先从理论上分析了空间站轨道误差对单向和共视时间比对的影响，并结合仿真数据给与论证。然后提出了一种适用于两个地面站利用空间站来进行高精度时间比对的轨道误差修正方法，论述了该方法的原理。最后通过仿真试验校验了该方法的有效性，能够实现两个地面站间几十皮秒精度的时间比对。

1 空间站轨道误差对单向时间比对的影响

根据空间站单向时间比对公式，可以推导出空间站轨道误差对单向时间比对的影响公式，如式(1)所示。

(1)

式中:dΔTAS为地面站A与空间站之间的钟差，ρSA为空间站和地面站之间的距离矢量，dXS为空间站的轨道误差矢量，αSA为空间站轨道误差矢量与空间站和地面站之间的距离矢量之间的夹角。

从式(1)可以看出，空间站轨道误差对单向时间比对的影响大小与轨道误差的绝对大小和其与空间站到地面站视线之间的夹角的余弦值相关。如果轨道误差矢量与视线方向相同，则轨道误差完全作用于时间比对，如果|dXS|=0.1 m，则轨道误差引起的地面站与空间站单向时间比对的误差也为0.1 m，即300 ps。

结合空间站1天的运行轨道，把空间站在径向(R)、切向(T)和法向(N)三个维度的轨道误差均设置为0.1 m，地面站设置为西安，对轨道误差对单向时间比对的影响进行仿真，轨道误差引起的时间比对误差仿真结果如图1所示。图1中,横坐标是1天的秒累计数，纵坐标为轨道误差导致的空间站与西安进行单向时间比对的误差。从图1可以看出，R,T,N三个方向各0.1 m的轨道误差引起的西安单向时间比对误差最大达到600 ps左右，引起的一天内时间比对误差波动范围可到900 ps左右。在一个可视轨道周期内轨道误差引起的时间比对误差波动可达近700 ps。空间站一个轨道周期的平均可视时间大约为400 s，在400 s的观测时段内由空间站轨道误差造成的单向时间比对误差波动达到700 ps。

图1 RTN 0.1 m轨道误差引入的单向时间比对误差(西安)

同理，对上海与空间站进行单向时间比对仿真，由R,T,N三个方向各0.1 m的轨道误差引起的上海单向时间比对误差如图2所示。

从图2可以看出，R,T,N三个方向各0.1 m的轨道误差引起的上海单向时间比对误差最大也达到600 ps左右，引起的一天内时间比对结果的误差波动范围也为900 ps左右。在一个可视轨道周期内轨道误差引起的时间比对误差范围也可达到将近700 ps。上海和西安的仿真结果几乎一致。因此可知，轨道误差对空间站单向时间比对的影响是巨大的，如果不引入轨道误差的修正方法，不可能实现100 ps的时间比对精度。

图2 RTN 0.1 m轨道误差引入的单向时间比对误差(上海)

2 空间站轨道误差对共视时间比对的影响

根据空间站单向时间比对公式，可以推导出空间站轨道误差对共视时间比对的影响公式，如式(2)所示。

(2)

式中:dΔTAB为地面站A与地面站B之间的钟差，ρSB为空间站和地面站B之间的距离矢量。

假设地面站A与地面站B到空间站的几何距离相等且为轨道高度h，ρAB为两个地面站之间的基线向量，则可以得到以下的关系式。

(3)

因此可知，空间站轨道误差对共视时间比对的影响与空间站轨道高度、两地面站之间的基线长度和轨道误差本身的大小有关。空间站的轨道高度大约为400 km，如果两地面站之间的基线长度大于400 km，空间站轨道误差会得到放大。利用空间站进行远距离的共视时间比对，基线长度一般都会大于轨道高度。对于基线长度为2000 km的共视时间比对，轨道误差按0.1 m估算，其对两地时间比对的影响大约为1.5 ns，这对精度为100 ps量级的时间比对来说影响是巨大的。

空间站轨道误差对共视时间比对的影响还可以采用式(4)表示。

(4)

从式(4)可以分析出，如果空间站与地面A站之间的矢量与切向和法向之间的夹角余弦值与空间站与地面B站之间的矢量与切向和法向之间的夹角余弦值符号相反，式(4)右边第二、三项误差得到放大，那么空间站的轨道误差对共视时间比对的影响可能被放大，如图3所示，S代表空间站,A,B代表两个地面站，SA与切向T、法向N之间的夹角余弦和SB与切向T、法向N之间的夹角余弦符号相反，这两个方向的轨道误差被放大。对于地球上的观测站来说，一直都在轨道切平面的同侧，地面站视线与径向R之间的夹角余弦一直同号，可以不考虑。因此，由式(4)可以粗略推出R,T,N三个方向各0.1 m的轨道误差引起的共视时间比对误差也会达到百皮秒量级。

图3 轨道误差对共视影响被放大时的示意图

结合空间站1天的运行轨道，把空间站在R,T和N三个维度的轨道误差均设置为0.1 m，地面站设置为西安和上海，对轨道误差对共视时间比对的影响进行仿真，轨道误差引起的共视时间比对误差仿真结果如图4所示。

图4 RTN 0.1 m轨道误差引入的共视时间比对误差

从图4可以看出，R,T,N三个方向各0.1 m的空间站轨道误差对西安和上海的共视时间比对造成的影响最大可为600 ps，引起的共视时间比对误差波动范围也达到了600 ps左右。

因此，通过上述理论分析和仿真试验均可以看出,轨道误差对空间站共视时间比对的影响是巨大的，要想实现100 ps以内的时间比对精度必须寻找合适的修正方法。

3 地面站间时间比对空间站轨道误差的修正方法

3.1 空间站轨道误差修正方法

由上述分析可知，空间站轨道误差无论是对单向时间比对还是共视时间比对来说影响都是巨大的，空间站轨道误差是限制其用于超高精度时间比对的瓶颈。不论是我国的载人航天空间站还是欧洲的ACES计划，目前都处于建设初级阶段，还没有真正应用于时间比对领域。因此，亟需研究出合适的轨道修正方法，赶上载人航天系统建设步伐，更好地服务于高精尖的科学研究。

由式(4)可知，如果空间站与地面A站之间的矢量与轨道R，T，N三个方向之间的夹角余弦值和空间站与地面B站之间的矢量与R,T,N三个方向之间的夹角余弦值符号分别相同且大小分别相当，则式(4)右边三项误差基本能够得到抵消，轨道误差对两个地面站之间的时间比对的影响几乎为0，这样就能满足超高精度时间比对的要求了。因此，需要寻找到满足这种空间位置关系的两个地面站的观测时刻。

本文采用式(5)作为判决条件，来寻找能抵消空间站轨道误差对两个地面站间时间比对影响的观测时刻。

F= |cosαSA-cosαSB|+|cosβSA-cosβSB|+

|cosγSA-cosγSB|≤H

(5)

式中:F为判决因子，H为判决门限，通过判决门限来调整轨道误差对两个地面站间时间比对的影响量。如果空间站在R,T,N三个方向轨道误差均小于0.1 m，H设置为0.03可以使轨道误差对时间比对的影响小于10 ps，H设置为0.1可以使轨道误差对时间比对的影响小于30 ps。需要注意的是，H并不是越小越好，H越小，满足式(5)限制条件的两个地面站的观测时刻越少，两个地面站能进行时间比对的时刻越少。因此，需要综合权衡来设置适当的判决门限。

结合空间站1天的运行轨道，把空间站在R,T,N三个方向的轨道误差均设置为0.1 m，H设置为0.03，地面时间比对站点设置为西安和上海，采用式(5)进行两个地面站的观测时刻筛选，满足要求的判决因子如图5所示。图5为三维坐标图，x轴和y轴分别表示西安和上海一天的秒累计数，z轴表示判决因子F，无量纲。从图5可以看出，西安在46000 s附近、上海在39800 s附近与空间站的位置关系满足式(5)的限制条件，西安在46000 s附近、上海在40100 s附近与空间站的位置关系也满足式(5)的限制条件，西安在52000 s附近、上海在40050 s附近与空间站的位置关系也符合条件。

在满足图5的轨道误差对消条件时，对西安和上海进行基于空间站的时间比对仿真，残余的轨道误差如图6所示。图6显示的轨道误差的残差小于10 ps，远远小于图4所示的轨道误差影响量，利用该方法有望实现几十皮秒量级的地面站间的时间比对精度。

3.2地面站间的时间比对策略

式(5)所示的轨道误差修正方法可以帮助寻找到两个地面站利用空间站进行高精度时间比对的观测时刻，但从图5可以看出,两个地面站并不同时满足条件，不能直接对两地通过单向时间比对获得的地面站与空间站的钟差进行相减来计算两个地面站间的钟差。例如，地面站A在t1时刻与地面站B在t2时刻与空间站的位置关系满足式(5)的判决条件，不能直接利用钟差ΔTAS(t1)和ΔTBS(t2)相减来计算A,B两地的钟差。因为两个原子钟之间的相对频率偏差会使其相位偏差随着时间发生变化，进行时间比对的两个原子钟必须同时获取观测量进行比对才有意义。因此，必须获取同时刻的地面站与空间站的钟差ΔTAS(t1)和ΔTBS(t1)，或者ΔTAS(t2)和ΔTBS(t2)才能计算A,B两地的钟差ΔTAB(t1)或者ΔTAB(t2)。

由于需要进行几十皮秒超高精度时间比对的原子钟都具有很好的频率稳定性，一般秒级稳定度优于1×10-13量级，天稳定度优于1×10-15量级，老化系数的影响可以忽略不计。因此，可以采用一次多项式对地面站与空间站的钟差进行建模，获取其线性变化系数。钟差模型可以表示为式(6)。

ΔTAS(t)=a+b×(t-t0)

(6)

式中:a为常数项，b为一次项系数，t0为模型起点，单位为s，模型参数可以通过采用最小二乘法进行多项式拟合获得。

(7)

通过式(8)来计算A,B两地的钟差，即进行两地的时间比对。

(8)

ΔTAB(t2)的计算误差可以用式(9)表示。

ε(ΔTAB(t2))=(εorbit(ΔTAS(t1))-εorbit(ΔTBS(t2)))+

(εelse(ΔTAS(t1))-εelse(ΔTBS(t2)))+εmod

(9)

式中:εorbit(ΔTAS(t1))和εorbit(ΔTBS(t2))分别为两地在t1和t2时刻计算地面站与空间站钟差时的轨道误差，εelse为除轨道误差以外的其它误差，εmod为利用式(6)进行钟差建模引入的误差。由于地面站在t1时刻与地面站B在t2时刻与空间站的位置关系满足式(5)的判决条件，则式(9)右边的第一项轨道误差已经被修正。如果空间站在R,T,N三个方向的轨道误差均小于0.1 m，H设置为0.03，则轨道误差修正后的残差小于10 ps。

4 仿真校验

为了检验上述空间站轨道误差修正方法的有效性，开展了地面站间时间比对的仿真试验。

4.1 西安上海时间比对仿真

首先进行西安和上海的时间比对仿真试验，时间比对基线长约1300 km。西安原子钟的秒级稳定度设为10-13，天稳定度设为10-15，上海原子钟的秒级稳定度设为4×10-15，天稳定度设为10-17，H设置为0.03，空间站在R,T,N三个方向的轨道误差均设为0.1 m，误差矢量绝对值为0.17 m，观测量的噪声方差设置为1 ps。电离层延迟的仿真利用IGS网站发布的垂直电离层电子含量网格文件，电离层延迟的解算采用双频观测量组合计算方法。对流层延迟利用Saastamoinen模型建模仿真，气象参数仿真条件：温度T=298 K，气压P=1 bar，水汽压e0=0.5 bar。

利用上述方法进行空间站轨道误差修正后，西安和上海的时间比对误差如图7所示。从图7可以看出，两地时间比对的绝对误差小于20 ps，远优于100 ps的预期指标。

对比图7和图6，发现最终的时间比对误差较轨道误差修正后的残余误差在量值上要大，主要原因有两方面。一方面是观测量噪声引起的时间比对误差，包括双频观测量组合导致的电离层延迟计算误差。另一方面，式(7)所示的钟差建模是利用空间站与地面站的单向时间比对解算钟差进行的，该钟差包含有原始的空间站轨道误差，所以会带来一定的建模误差。尽管轨道误差对单向时间比对的影响在几百皮秒量级，巧妙的是本方法仅仅通过建模获取钟差的线性化变化参数，即使钟差解算值误差较大，但建模误差导致的最终时间比对误差却远远小于原始轨道误差带来的影响。所以，利用本文提出的轨道误差修正方法才能实现几十皮秒精度的地面站间时间比对。

4.2 西安长春时间比对仿真

为了检验上述仿真结果的正确性和普遍性，把地面观测站设置为西安和长春，时间比对基线大于2000 km。西安原子钟稳定度仿真指标保持不变，长春原子钟的稳定度指标降低至普通原子钟的指标，秒级稳定度设为5×10-12，天稳定度为3×10-14。判决门限H仍设置为0.03。空间站在径向方向的轨道误差设为-0.09 m，切线方向的误差设置为0.07 m，法向方向的误差设置为0.1 m，误差矢量绝对值为0.15 m。观测量的噪声方差设置为1 ps。大气延迟的仿真条件和方法不变。利用本方法进行空间站轨道误差修正后，西安和长春的时间比对误差如图8所示。

由图8可知，西安和长春时间比对的绝对误差小于40 ps，优于100 ps时间比对指标，验证了本方法在修正空间站轨道误差的有效性，结合钟差建模外推，完全可以实现精度优于100 ps的地面站站间的时间比对要求。

5 结 论

本文通过开展空间站轨道误差对时间比对的影响分析，发现空间站轨道误差对单向和共视时间比对的影响均在几百皮秒量级，轨道误差是实现100 Ps以内时间比对精度的主要障碍。本文提出的空间站轨道误差修正方法能有效降低轨道误差对两个地面站间时间比对的影响，仿真结果表明，该方法能实现几十皮秒量级精度的时间比对，比对基线可达上千千米，适用于地面站间超高精度的远距离时间比对。