基于QR法建模的结构非线性抗震分析方法

谢 丙 旭

(华北水利水电大学土木与交通学院，河南 郑州 450000)

0 引言

众所周知，地震灾害是一种能够直接给国家与人民生命财产安全造成重大损失的自然灾害,并且它一般发生的很突然,所以结构非线性抗震分析尤其是大型复杂结构的非线性抗震分析就显得尤为重要。结构非线性主要是包括几何非线性和材料非线性。在大型复杂结构设计及施工中往往需要必须综合考虑其双重非线性才能确保工程结构的经济性及适用性。

当前，国内外对结构的非线性分析几乎都是选用的基于几何非线性理论、经典本构关系及有限元分析方法建立的非线性有限元法。此法对结构非线性分析有很大贡献，但仍然存在较多问题，如:

1)有限元法是一种网格法，通过它来分析大型复杂结构的非线性问题经常会带来极大地阻碍，有时甚至得不到正确解；

2)该方法数值计算量太过巨大，迭代速度太慢；

3)应力—应变关系受流动法则影响巨大，难以得出真实解。

因此，通过非线性有限元分析的方法并不是一个合理的方法。由秦荣所提出的基于QR法建模并通过样条加权残数法来建立地震反应分析的方法就是一种能够解决上述问题的分析方法。下面将着重就这种方法的求解过程进行阐述。

1 QR法建模

(1)

采用弹塑性应变理论和变分原理可得结构非线性地震反应模型。

(2)

[K]=[K0]+[K1]+[K2]

(3)

利用非线性QR法建模，则[K0],[K1],[K2],[C],[M]及{f}的形式为:

(4)

故由式(2)可得：

(5)

2 样条加权残数法求解

对时域[t0,tm]进行样条离散化，即：

这时，同学们才小声议论，并陆续举报：“白虎队”成员小王在班上扯女生头发，小曹拿别人东西不还，小黄和值日生“叫板”，小但总在放学路上欺侮同学，小胡经常逼迫别人叫他“老大”……做错事不可怕，可悲的是他们似乎并不知道自己错在哪里。

则动力反应向量可定义为:

(6)

如果t=tj,{X(tj)}={X}j，则:

(7)

将式(7)代入式(2)，可以推出残数方程:

(8)

由样条加权残数法可得:

(9)

其中，W(t)为权函数。将式(8)代入式(9)可得:

H1aj+1+H2aj+H3aj-1+Pj=0

(10)

则可得递推公式，即：

(11)

由上述可知，通过上式求出aj+1,aj及aj-1的值后，即可通过式(7)求出结构的地震反应向量。

上述方法采用了递推计算，是条件稳定算法；如果Δt≤0.55T,则可以认定该算法是稳定的。

上述求解方法的具体步骤可以总结如下：

1)建立结构动力模型，详见式(2)；

3)求t0时刻的应力反应σ0及恢复力F0；

4)通过式(10)求参数向量a2的值；

6)求出结构应力反应σ1及恢复力F1的值；

3 结语

本文对一种结构非线性抗震分析方法的主要过程进行了探讨。这种方法是基于QR法建立结构动力模型而提出的。