离散数学内容的授课顺序探讨

郑艳梅，芦碧波

（河南理工大学 计算机科学与技术学院，河南 焦作 454000）

0 引言

离散数学课程作为计算机相关专业的核心课程，在专业课程体系中起着重要的理论支撑作用，承担着奠定学生专业课知识基础的使命[1-3]。离散数学作为一门较为成熟的课程，市面上存在着大量的教材。纵观各教材，存在如下特点：①教材内容不一致，这应该源于不同作者对计算机行业发展所需数学知识理解的不同[4]。②内容的前后顺序多样化，这可能是因为作者认为离散数学各部分内容相对独立[5-6]，或者基于对先导基础和后续进阶的不同理解。虽然不同的讲授顺序均能完成授课任务，但是若深究他们的内部联系，实质上可以通过成组比较分析相关内容，较为合理地安排离散数学内容的前后顺序。

1 离散数学内容的设置顺序分析

在分析比较离散数学教材的内容顺序时，我们采用与文献[4]一致的教材样本，围绕14部教材[7-20]（其中10部中文教材、4部英文教材），对数理逻辑、集合、关系、函数、图论、代数系统等6块离散数学的核心内容展开探讨。 文献[7]未包含集合内容，文献[8]未包含函数内容，文献[9—10]未包含代数结构内容。这4部教材由于未能全面覆盖上述6部分核心内容，在后续分析时予以舍弃，而仅对剩余的10部教材进行分析。

经分析整理可归纳出5种内容顺序（见表1）。为突显排序效果，我们将代数系统与布尔代数统一为代数结构。表1中的顺序仅表示内容设置的先后顺序，不代表章节序号，比如数理逻辑大都分为命题逻辑、谓词逻辑两章来讲[11-14]，或者合为一章[15-16]，也存在分为多章情形[17-20]。阴影标示部分为相邻类型间的排序差异，5种内容排序体现在如下4组内容的联系与先后顺序上：①图论与代数结构；②集合、关系与函数；③集合与数理逻辑；④数理逻辑与代数结构。

表1 离散数学内容的不同排序

2 图论与代数结构

所谓代数系统，即为由非空集合和该集合上的若干个运算而组成的系统[14]。这个集合可能是自然数、实数、多项式、矩阵、命题、图等，相应的运算可能为加、减、乘、除、与、或、非、交、补。以笔者实际教学经验，代数系统源于抽象代数，在离散数学的内容中，它将数理逻辑、集合、关系、图论等这些看似散乱、没有规律的内容，在更高的维度上进行统一和归纳概括。对于代数结构，其他5部分内容是以实例形式存在的。比如，在学习交换律时，笔者先引入通俗易懂的整数集合上的加法和乘法，然后介绍此定义，最后抛出问题：在离散数学课程中，你学过哪些运算是可交换的，并简述理由？如此授课效果甚佳，一方面介绍了新知识，同时也以代数结构的内容为线索对前序章节进行总结。更进一步来说，在判断一个偏序集是否为格或为布尔代数时，通常会用到哈斯图，所以图论在前、代数结构在后较为合理。

3 集合、关系与函数

关系是集合中元素之间的某种相关性[14]，因此关系定义在集合之上，没有集合也就没有关系可言。而函数是一类特殊的二元关系，可作为相对抽象的关系的具体化。可以说集合是关系的基础，函数是关系的具体化。

集合与函数在离散数学这门课程中，其重要地位经常被授课教师忽视，误将其当作已知知识，理所当然认为该部分无需再讲。实际上，在本课程中学生需要在更高的高度上来认识集合和函数。在高中阶段，学生仅仅是在使用集合、函数相关概念，仅将其作为进一步学习的工具，但是对于他们的由来从未细究过。

关于集合，授课教师一方面需要复习集合相关概念、集合间的运算、排斥相容定理等内容。更为重要的，是要让学生从谓词逻辑的角度来理解集合相关概念，点出常用的集合定义方法——谓词逻辑式，并需要用到真值的真假概念，同时也需要将集合的交、并、差、补等概念与数理逻辑中的析取、合取、否定等概念建立起联系[4]。

关于函数，一方面，需要学生认识到函数是关系的特例，是关系内容的结尾。另外，在后续章节包括关系、图论、代数系统部分均需用到函数的单射、满射以及双射性质。在此，笔者建议采用与关系相关的实例进行教学，授课1个学时，对关系部分相关内容进行结尾。

对于三者的顺序，以笔者经验，按照“集合—关系—函数”的顺序展开较为合理。先介绍作为关系必备知识的集合相关内容，然后引出核心内容——关系，最后介绍一类特殊的二元关系——函数。在关系之后介绍函数，一方面复习高中阶段学习过的有关函数的概念以及性质；另一方面将函数作为关系的特例，讲解若干以关系形式呈现的函数实例。这样既能加深学生对关系这个相对抽象的概念的理解，同时也让学生在更高层次上理解函数的由来。

4 集合与数理逻辑

关于数理逻辑与集合的两种先后顺序均有其合理之处。在介绍谓词逻辑中量词相关内容时，需频繁使用集合的交、并运算。另外，虽然学生在高中阶段已学过集合相关概念以及运算，但是在离散数学课程中，不但要求学生会使用集合这个工具，还需理解谓词逻辑可以作为集合的表示形式之一，集合是由谓词进行定义的，这是新增内容。以笔者实际教学经验，由于数理逻辑中所使用的集合相关内容均为高中已学知识，因而，数理逻辑在前、集合在后的顺序较为合理。或者，将集合论相关内容穿插在数理逻辑中进行介绍，在介绍完谓词逻辑概念后，先介绍集合论相关内容，接着介绍量词。这样在知识的先后顺序上可能更为合理，可作为类序II的改进类序II'，即“数理逻辑谓词—集合—数理逻辑量词—关系—函数—图论—代数结构”。如此安排使得学生暂停用时相对较长的数理逻辑内容学习过程，转而学习集合内容，其所带来的新鲜感也能减轻学生的学习疲劳，但是有破坏数理逻辑整体性的嫌疑。

5 数理逻辑与代数结构

对于离散数学所包含的6块核心内容，学生已能够进行函数、集合的相关运算，也已知晓交换律、结合律、分配律，但对于其定义和来源知之甚少，同时，对数理逻辑、关系、图论、代数系统还是零基础。

基于这一现状，授课教师可以先介绍数理逻辑内容，在讲授命题逻辑时会用到交换律、结合律、分配律等各种性质，另外，在集合、关系和代数结构也会更新学生对于包括交换律、结合律、分配律在内的各种性质的认知。由此得出，数理逻辑在前、代数结构在后，甚至将代数结构放在课程的最后来讲，最为合理。

6 关系与图论

虽然所罗列的教材均以关系在前、图论在后的顺序介绍相关内容，但是在实际教学中，他们互为对方的基础知识。一方面图论是关系的表示和运算工具，借助有向图实现二元关系的表示、幂运算、三种闭包运算（自反闭包 、对称闭包、传递闭包），构造等价关系所对应的关系图以推导其等价类，构造哈斯图表示偏序关系等。另一方面，所谓图也即为边、顶点间的二元关系，不同的二元关系构成了不同的图。

若先介绍关系，则需要在介绍关系内容之中（关系的定义之后、关系的表示之前），补充图的基础知识，包括图的作用、图的生成、有向边、路径、连通性等相关概念。若先介绍图论，则需要在介绍有向图的定义之前，补充二元关系的定义，且在内容上仅围绕图论知识来讲，不能展开讨论其与关系相关内容之间的联系。在后续介绍关系内容时，再详细讲述。

以笔者实际教学经验，可以考虑关系在前、图论在后的顺序。在讲授关系相关内容时，将学生的注意力集中于关系相关内容，仅在必要处有针对性地插入图论相关内容。由于所需图论内容较为简单，学生理解起来并不费力，如此安排一方面保证了关系内容的连贯性和完整性，同时也为后续的图论内容完成了实例引入，使得学生学习图论相关内容时能达到事半功倍的效果。

7 结论

基于前述的讨论，可以发现类序II较为合理，该顺序一方面能较好地保证前续和后继的关系，同时还能保证前后内容的连贯性，能起到事半功倍的效果。如果教师能够很好地把控授课节奏，也可以考虑如类序II'，它是类序II的改进版本。笔者在实际教学中对上述两种类序均进行了尝试，就个人经验而言，依照类序II'进行授课效果更佳。