一道考题的分析与思考

袁晓

摘 要：高考是试金石，是风向标。高中数学课程教学的开展，应紧扣高考分析，以把脉高考走势、明晰高考趋势，为教学的组织开展提供方向。以2018年浙江高考题为例，分析了高考题目的设计特点以及解题思路，为数学教学的优化与调整，提供若干建议，推动高中数学的教学改革。

关键词：浙江；高考；数学考题；分析；建议

高考是“风向标”，是教学构建的重要依据。数学作为高中课程体系中的重要课程，有效数学教学的实现应注重学生创新思维能力的培养，突破思维禁锢，实现有效学习。近年来，浙江高考数学题型相对稳定，但灵活性、考查面增强，对学生的“学”与教师的“教”有了更高要求，强调拓展思维视角，以开放式多元化的教学空间，培养学生发散思维能力。从近几年的高考题型来看，知识点稳定，但考查方式与结合点更加灵活，对学生数学综合素质的考查更多。

（2018·浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上。请解答：

（I）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（II）若P是半椭圆x2+ =1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围。

题目信息量不大，考查的知识点比较单一，但在题目的设计中，更加强调对学生发散思维的考查。面对“垂直”证明，很多学生无从下手；对于三角形面积的求算，学生感觉过于复杂。实质上，整个题目的设计层面分明，且从常规知识中寻求新的知识亮点，让学生不拘于知识的理解，同时也要注重创新思维能力的培养，实现对知识的灵活应用。为此，通过对问题的解答分析，我们可透视该题设计的新颖性，题目不难，但想快速准确的解答，要求学生有扎实的功底。

问题（I）的分析及解答

分析：问题设计巧妙，若思维不发散，学生很容易陷入困境，处于无从下手的状态。一些学生选择用“勾股定理”“三角函数”等方式，试图解答问题（I）。但实践证明，这些方法的运算量较大，且比较繁杂，“垂直”关系的建立比较难，不适合高考题目的解题思路。实质上，学生把问题复杂化了，在该问题的解答中，学生应从“数量关系”入手，而关系的建立可以基于“韦达定理”。这一连串的思考切入，是快速解答问题的重要思路，也是化繁为简的重要方向。

解：设P（x0，y0），A（ y12，y1），B（ y22，y2），

因為PA，PB的中点在抛物线上，

所以y1，y2为方程（ ）2=4·

即y2-2y0y+8x0-y02=0的两个不同的实数根，

所以y1+y2=2y0则PM垂直于轴。

从解答可以发现，问题（I）的证明十分简单，抓住数量关系的建立，通过韦达定理的应用，实现了有效证明。因此，题目的“新”在于巧妙设计，要求学生善于思考，从不同的思维视角，实现高效、正确的数学解答，这是日常学习及训练中，所需具备的思维能力，实现有效学习。首先，教师的“教”要立足知识面，引导学生发散思维，突破传统思维所形成的禁锢，这是实现问题快速有效解答的基础；其次，学生的“学”要多元化，能够从知识的串联中，解答数学问题，这也是当前高考综合性数学题目的设计特点；再次，学生在日常学习中，要善于知识的总结归纳，懂得从不同的思维角度，实现对数学问题的有效解答，培养解题技巧。

问题（II）的分析及解答

分析：该问题的设计具有开放性，在问题的解答时，要大胆假设，构建数量关系，为三角形面积的求算创设条件。在运算中，S△PAB= PM·y1-y2的建立尤为关键，这是明确求算方法，建立三角形面积关于“x”方程式的重要基础。为此，学生在整个求算过程中，PM·y1-y2求算是关键，要求学生不要“嫌麻烦”，动手计算、化简，这是解题基本要求。实质上，“方法”“方向”对了，运算量都不会很大，在于学生能否善于大胆尝试，懂得从繁杂的思考中跳出来，通过建立数量关系，实现对问题的快速解答。高考题目的设计讲究能力的考查，过于复杂的运算不多，注重学生的思维能力。

解：由（Ⅰ）可知y1+y2=2y0，y1y2=8x0-y02，

所以PM= （y12+y22）-x0= y02-3x0，y1-y2=2 ，

因此，△PAB的面积S△PAB= PM·y1-y2= ，

因为x02+ =1（x0<0），所以y02-4x0=-4x02-4x0+4∈[4，5]，

因此，△PAB面积的取值范围是[6 ， ]。

问题（II）看似复杂，但整个解答过程却很简单，问题求算的技巧性较强，要求学生要善于建立数量关系，通过面积公式的求算转换，建立关于x的一元二次方程式，为三角形面积的求算创造了条件，形成关于面积的数量范围。很大部分学生嫌麻烦，在建立面积求算公式之后，对于PM·y1-y2的求算不熟悉，且日常学习训练不到位，以至于解题遇到阻力，影响解题效率。因此，教师在日常课堂教学的过程中，一方面要强化基础知识的巩固学习，另一方面也要注重知识的拓展应用，让学生熟悉不同题型下的知识设定，以便更好地应对高考不同题型，有效解答数学问题。

总而言之，高考题型的分析，是把脉高考命题走向、构建高效教学课堂的重要基础。高中数学教学的优化与调整，应主动适应新高考环境，通过高考题型的分析与研判，转变教学思维、拓展教学面，以更好地提高教学质量。浙江高考题型“新旧”结合，即基础知识与创新应用的有效融合，对学生数学能力的综合考查增强，在日常教学中应强化教学构建，适应教学改革发展环境，促进有效数学教学的实现。

参考文献：

[1]王华民.有效追问，促学生理解数学，教学生学会思考[J].中国数学教育，2017（1）.

[2]林振东.论新课程背景下高中数学有效教学的策略[J].课程教育研究，2014（7）.

编辑 杜元元