恒定应力部分加速寿命试验的统计分析

龙兵,张忠占

(1.荆楚理工学院数理学院,湖北 荆门448000;2.北京工业大学应用数理学院,北京100124)

1.引言

随着科学技术的进步,出现了越来越多的高质量、高可靠性的产品.在正常条件下不容易得到这些产品的使用寿命,为了缩短寿命或加速性能退化,所有的测试单元或它们中的一部分都受到比通常情况更严酷的应力,该试验被称为加速寿命试验.如果只放一部分,那么这个试验叫做部分加速寿命试验.近年来已经有很多文献研究了加速寿命试验的统计分析问题.文[1]基于步进应力加速寿命试验模型,在逐步混合截尾样本下给出了Weibull分布中参数及加速因子的极大似然估计和区间估计.文[2]在逐步I 型区间删失样本下,讨论了k个应力水平的步进应力加速寿命试验,得到了失效时间服从指数型分布模型的参数估计,从四个标准出发给出了最优试验方案.文[3] 在产品的的寿命服从Burr XII分布时,基于步进应力部分加速寿命试验模型,给出了模型参数和加速因子的极大似然估计,并得到了参数的方差、协方差矩阵.文[4]在恒定应力部分加速寿命试验下,推导出了Weibull分布参数的极大似然估计,并设计出最优试验方案.文[5]在逐步II型混合截尾恒加寿命试验下,给出了指数分布竞争失效产品未知参数及可靠性指标的极大似然估计和贝叶斯估计.文[6]基于定时截尾样本,讨论了Pareto分布在恒定应力部分加速寿命试验下的最优方案.另外,文[7-12] 也研究了多种寿命分布的可靠性统计分析问题.

加速寿命试验的特点是把产品放在高于正常应力水平下进行试验,在获得失效数据后,利用产品寿命和应力水平之间的关系得到产品在正常应力水平下的寿命特征.实际上,产品寿命和应力水平之间的关系并不一定总是已知的.在这种情况下,可考虑部分加速寿命试验.部分加速寿命试验的统计分析不需要加速模型,它通过加速因子,将高应力水平下的寿命转化为正常应力水平之下,进而进行统计分析.近年来部分加速寿命试验已经被应用于可靠性统计推断中,在试验方案中一般采用定时截尾、定数截尾、逐步增加定数截尾和混合截尾等,对于这些传统的截尾试验,理论研究体系比较成熟,相关成果较多.

本文根据定时截尾和区间删失试验方案,提出一种新的寿命试验方案,在本文中被称为定时区间删失试验.基于试验样本对Pareto分布的可靠性问题进行统计分析,并进行了随机模拟.

2.基本假设和模型描述

在2个应力水平S0

(I)元件失效只由1个失效机理引起.

(II)在应力水平S0下,元件的失效时间服从Pareto分布,其分布函数、密度函数和失效率函数分别为

式中α,θ分别被称为尺度参数和形状参数.

(III)在应力水平S1下,元件的失效率函数为

式中λ(>1)是加速因子.

根据失效率函数和可靠度函数的关系,可得在应力水平S1下的可靠度函数为

进而,可得在应力水平S1下元件失效时间的分布函数和密度函数分别为

定时区间删失恒定应力部分加速寿命试验模型可描述如下：从n个具有上述失效时间的元件中,选取n0=n(1−r),(0

1)在应力水平S0下,观测得到m0个受试元件的失效时刻为t01≤t02≤··· ≤t0m0,这里m0为随机变量,且假设m0>0,此后每间隔一段时间进行1次观测,在观测时刻Tj发现有dj个元件在区间[Tj−1,Tj)(j=1,2,··· ,k)内失效.

2)在应力水平S1下,观测得到m1个受试元件的失效时刻为t11≤t12≤··· ≤t1m1,假设m1>0,此后每间隔一段时间进行1次观测,在观测时刻Tj发现有rj个元件在区间[Tj−1,Tj)(j=1,2,··· ,k)内失效.

定时截尾试验是可靠性分析中的一种重要寿命试验方案,它是把一批受试元件跟踪观测到预先设定的时间T0,其余没有失效的元件全部撤离试验,这样可以得到在T0之前失效元件的具体寿命数据和在区间(T0,+∞)内失效元件的个数.如果在T0时刻撤离试验的元件数所占的百分比较大,对估计的精度会产生较大的影响,而继续进行跟踪观测可能面临某种困难,有时甚至无法办到,如果可以进行间断观测这样就可以采用本文中的试验方案.与定时截尾试验相比较,就是把T0之后的一个区间删失推广到多个区间删失,所得到的观测信息更加准确,从而提高统计推断的精度.下面将基于这类样本进行统计分析.

3.极大似然估计

根据前面的模型和寿命试验方案,在应力水平S0下,忽略常量后失效样本的似然函数为

这里I(·)为示性函数.把(2.1-2.2)式代入(3.1)式得

在应力水平S1下,忽略常量后失效样本的似然函数为

把(2.6-2.7)式代入(3.3)式得

因此,同时在应力水平S0和S1下进行寿命试验,得到全似然函数为

由于L是关于α的单调递增函数,要使似然函数L的值最大,要取α= min(t01,t11),因此得到参数α的极大似然估计为

未知参数λ和θ的极大似然估计一般通过求解非线性方程组

得到,但计算较复杂,通常利用Newton-Raphson算法,可是在某些情况下该算法并不收敛,EM算法是处理缺损数据的一种较好方法,下面用EM算法来求参数的估计.

在应力水平S0下,记Y=(Y1,Y2,··· ,Yk),Yj=(Yj1,Yj2,··· ,Yjdj),且Yj(j=1,2,··· ,k)表示受试元件在区间[Tj−1,Tj) 内失效时刻构成的向量,由于没有具体的值,被视为遗失数据.同理,在应力水平S1下,记Z= (Z1,Z2,··· ,Zk),Zj= (Zj1,Zj2,··· ,Zjrj),且Zj(j=1,2,··· ,k)表示受试元件在区间[Tj−1,Tj)内失效时刻构成的向量.

根据条件密度公式,可以得到Yjl(l=1,2,··· ,dj) 的概率密度函数为

Zjl(l=1,2,··· ,rj) 的概率密度函数为

令V0= (t01,t02,··· ,t0m0),由V0和Y得W0= (V0,Y),则W0称为在应力水平S0下的伪完全数据,基于伪完全数据得到的似然函数为

把(3.7)式两边取对数得

令V1=(t11,t12,··· ,t1m1),W1=(V1,Z),则W1称为在应力水平S1下的伪完全数据,基于W1的似然函数为

对数似然函数为

同时在应力水平S0和S1下进行寿命试验,全似然函数为

对数似然函数为

E步：对(3.9)式求期望,得

M步：极大化Q(θ,λ),对Q(θ,λ)分别关于θ和λ求一阶偏导数,并令其为零可得

将方程(3.10)(3.11)联立,可解得

由于

因此

根据(3.12)式,则可得迭代公式

其中θ(s)为θ的第s次迭代值.利用(3.14)式,经过多次迭代可得到参数θ的最终估计值,记为.根据(3.13)式又可得参数λ的迭代公式

利用(3.15)式,经过多次迭代又可得到参数λ的最终估计值,记为ˆλ.

4.Fisher信息矩阵及置信区间

Fisher信息矩阵反映总体分布的一种特性,它反映总体模型本身所提供的信息量.在参数估计理论研究中,起到相当重要的作用.为了解决不完全数据样本下的参数估计问题,Louis提出了遗失信息原则用于计算Fisher信息矩阵,其基本原则为:

记η= (θ,λ),W=完全数据,X=观测数据,IW(η)=完全信息矩阵,IX(η)=观测信息矩阵,IW|X(η)=遗失信息矩阵,则有观测信息矩阵

在完全数据情形下计算得到完全信息矩阵为

遗失信息矩阵为

在应力水平S0下,Fisher信息矩阵在观测区间[Tj−1,Tj)计算为

在应力水平S1下,Fisher信息矩阵在观测区间[Tj−1,Tj)计算为

由于在大样本下参数的极大似然估计渐近服从二元正态分布,期望为(θ,λ),方差、协方差矩阵为IX−1(),这里IX−1() 是观测信息矩阵IX()的逆矩阵,且其中的α用极大似然估计量αˆ代替,于是有

因此,参数θ,λ的置信水平为100(1−γ)%的近似置信区间分别为

医学技术的发展让外科手术的治疗水平有了显著提升,但外科手术患者通常会因为手术治疗出现短暂的功能障碍,在缺乏家属和护理人员陪伴的情况下易出现安全事故,因而对于此类患者的护理工作应重点强化风险管理,分析识别可能产生的风险因素,以此展开针对性的护理工作。

这里U11和U22是方差、协方差矩阵的主对角线的元素,Zγ/2是标准正态分布的γ/2上分位数.

5.数值模拟

在这一部分将进行模拟研究,论证估计问题的理论结果.利用绝对值相对偏差(RAB)和均方误差(MSE)讨论了形状参数和加速因子估计结果的性质,这里

另外,得到了形状参数和加速因子的置信水平为95%的近似置信区间.模拟过程如下:

步1 给定n,r的值;

步2 给定参数(α,θ,λ)=(10,2,1.5);

步3 产生一个容量为n(n=n0+n1)且服从均匀分布U(0,1)的独立同分布样本U1,U2,··· ,Un,令

步4 给定观测点(T0,T1,T2,T3,T4)=(20,25,30,40,+∞),得到定时区间删失样本;

步5 基于上面得到的定时区间删失样本,分别利用(3.14)(3.15)式计算模型参数θ和λ的极大似然估计;

步6 把步3-5重复1000次,计算出参数的平均绝对值相对偏差和均方误差;

步7 在不同的n和r下,重复上述过程,相关数据列于表5.1中;

步8 给定α=5,θ=2,λ=1.8,确定观测点(T0,T1,T2,T3,T4)=(9,11,13,15,+∞),在不同的n和r下产生了12个定时区间删失样本,列于表5.2中;

步9 计算出参数θ和λ的点估计和置信水平为95%的近似置信区间,列于表5.3中.

表5.1 参数的绝对值相对偏差和均方误差

表5.2 定时区间删失样本

表5.3 参数的点估计及95%置信区间

表5.4 不同应力水平下可靠度的估计

从表5.1中可以看到,尺度参数α的极大似然估计非常接近真值,当固定n时,随着r的增加参数θ极大似然估计的相对偏差和均方误差逐渐增大.当r固定时,随着n的增加参数θ和λ的极大似然估计的平均相对偏差和均方误差都逐渐减小,这说明极大似然估计具有大样本性质.从表5.3中可以看到,参数真值都位于置信区间内部,随着样本量n逐渐增大,置信区间的长度相应变小.

在可靠性理论中可靠度函数的估计是一个重要的问题,在大多数实际应用和寿命试验中,如Weibull、Burr XII、Pareto和指数分布是相当合适的模型,已经有许多文献讨论了这些分布可靠度函数的估计问题.下面将给出Pareto分布可靠度函数的估计,根据(2.1)式和(2.5)式可以分别得到在应力水平S0和S1下可靠度函数的估计为

6.结论

由于很多元件有很长的使用寿命,在正常条件下通常需要很长的试验时间.因此加速寿命试验或者部分加速寿命试验能够在较短的时间内得到失效数据.在加速寿命试验时,很多情况下也涉及到截尾,本文根据定时截尾试验的弊端,提出了一种新的寿命试验方案,即定时区间删失试验.根据试验样本对Pareto分布进行可靠性分析,利用Monte Carlo模拟,从平均绝对值相对偏差和均方误差方面讨论了估计的性质.另外,在定时区间删失试验下,对其它多参数寿命分布的统计分析也是一个值得研究的问题.