论高中数学解题中构造法的运用

摘要：构造法是求解高中数学问题常用方法之一，其能更加直观便捷地解决一些复杂的数学问题。本文就构造法定义进行简单分析，阐述其特征与研究价值，在此基础上对如何利用构造法解决高中数学问题进行实际应用。

关键词：高中数学 构造法 直观 实际应用

在高中数学解题中应用构造法，不仅可以培养学生逻辑思维，还能够提高学生解题效率，为学生树立学习信心。因此在日常解题中，应该重视构造法应用，通过构造法，将复杂问题简单化，进而提高学习效率，提高解题质量。本文就高中数学解题中构造法的运用进行分析。

一、构造法的特征及研究价值

构造法，是指根据数学问题中已知条件，构造出与之相关的数学结构，将问题中未知量转变为已知内容[1]。其特征在于构建已知与未知，问题与结论之间的联系，在一定程度上，将比较模糊的关系变得清晰起来。利用构造法可以将复杂的问题简单化，提高学生学习效率。在解题过程中，学生主要利用数形结合或者是图形的方式表示已知量，在此基础上进行解题。此外构造法在函数、方程式、不等式等各个方面都可以应用，可以将复杂的问题简单化，对学生思维模式和学习能力培养，具有促进作用，有效提高学生的创造性思维和发散性思维。

二、高中数学解题中构造法的实际应用

（一）构造函数

高中数学函数问题，被认为是比较复杂也相对较难的学习内容，应用构造函数，不仅可以理清学生解题思路，也可以提高学生函数学习能力。在函数学习中，学生不仅需要掌握函数基础知识，同时需要培养其数学思维。对于我们而言，在函数学习中，数学思维十分重要，是解题的关键。在函数问题中，利用构造法解题，不仅可以将抽象的问题直观化，同时能够降低问题难度，提高学生解题效率。

例如，设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），且2f（x）+xf（x）>x，2证明不等式f（x）>0在R上恒成立。

解析：从直观上观察，条件与结论之间几乎没有联系，故采用构造函数法。构造函数g（x）=x2f（x），可知g（x）与f（x）正负一致，其导函数为g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]。当x=0时，带入已知条件中，可得f（x）>0;当x<0时，已知条件可转换为2f（x）+xf（x）=■>x2，可推出g′（x）<0，即函数g （x）单调递减，故在x<0时，g （x）>g（0）=0，所以f（x）>0;当x>0时，已知条件可转换为2f （x）+xf'（x）=■>x2，可推出g′（x）>0，即函數g（x）单调递增，故在x>0时，g（x）>g（0）=0，所以f （x）>0。综上所述，在R上f （x）>0。

（二）构造方程

在高中数学学习中，无论是函数问题还是几何问题，在计算过程中，都离不开方程的应用，利用已知条件和相应的数量关系去构造出与结论相关的辅助方程，可以建立起未知量与已知量之间的联系。通过分析所构造辅助方程的性质来解决原问题，使解答更加简洁清晰。

例如，已知a，b，c均为实数，且a+b=4，2c2-ab=4■c-10，求ab、c2的值。

解析：因为a+b=4，ab=2c2-4■c+10，将a和b看作是一元二次方程的两个根，可以构造辅助方程：x2-（a+b）x+ab=0，将条件带入可得到：x2-4x，+2c2-4■c+10=0将其转换为（x-2）2+2（c-■）2=0，故（x-2）=0，（c-■）=0，由此可以得出c=■，进而得到ab=4、c2=3。

（三）构造几何图形

高中数学中，图形问题应用比较广泛，利用图形可以将复杂的数学问题以直观的方式呈现出来，使问题更加形象具体，进而提高学生学习效率[2]。在数学问题中利用图形解题，不仅可以培养学生思维能力，也可以培养学生空间想象能力。在数学学习中，利用构造几何图形法进行解题，可以将代数问题转化成几何内容，然后利用几何内容基础知识进行解题。在数学问题中灵活应用构造几何法，把实际问题中的条件及其相应的数量关系直观地体现在图形上.使复杂的代数问题转换成简单的几何问题，增加了解题的直观性，可以提高学生解题效率，提高解题质量。

例如，证明■+■>a（a>b>0）。

解析：由题中的a>b>0，以及平方差关系，容易想到构建一个直角三角形ΔABC，令斜边AB=a，直角边BC=b，∠C=90°，则有另一条直角AC=■。因为a>b>0，所以2ab-b2>b2。根据三角形两边之和大于第三边，可知■+■>■+b>a，证明完毕。

（四）构造情境

在解决高中数学问题时，也经常根据对实际问题的理解构造出一种真实的情境，并运用所构造的情境进行解题。作为一种比较抽象的思维方式，这需要学生通过日常的学习和训练，积累解题经验，强化对基础知识的学习和理解，对整个知识体系有较强的观察力。

例如，已知a，b，c，x均为实数，且a<b<c，求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值？

解析：|x-a|所表示的数学含义是，在数轴上，x到a的距离，那么问题所要求解的就是，在数轴上有a，b，c三个点，再确定一点x，到这三个点的距离之和最小。画一条数轴，根据大小关系确定a，b，c三点的位置，可以很直观的看出，只有当x与b重合时，距离之和才最小，最小值为c-a。

此外，在解决数学问题时，还可以利用构造等价命题及实物模型来简化复杂问题，降低解题难度。因此在日常学习中，应该重视构造法应用，通过灵活应用构造法，以此提高学习效率，提高做题质量。

三、结语

总而言之，在数学学习中，构造法应用比较广泛，学生在学习过程中应用较多的一种方法。在日常学习中，学生应该重视基础知识学习和积累，根据问题和学习内容，可以灵活应用解题方法，通过这种方式提高学习效率。因此，在日常学习中，学生应该重视解题方法应用，以此培养自身综合素质，为日后学习和发展奠定基础。

参考文献：

[1]李正臣.高中数学解题中应用构造法之实践[J].科学大众（科学教育），2018，（02）：34.

[2]贾一鸣.构造法在高中数学解题中的应用[J].学周刊，2018，（01）：94-95.

（作者简介：杜昕宸，河北正定中学，高中学历，研究方向：数学方向。）