基于改进BESO算法的集材绞盘机卷筒优化设计

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(福建工程学院 福建省汽车电子与电驱动重点实验室，福建 福州 350118)

林业机械不断向轻量化、高效率方向发展，摩擦卷筒作为林业绞盘机的重要动力部件，直接影响着林业绞盘机的工作效率及性能，因此，对摩擦卷筒进行进一步优化很有必要[1]。国内外学者对此已开展了一系列研究: Usabiaga等[2]在分析卷筒直径对钢丝绳影响的基础上，对卷筒直径进行优化设计；罗健康等[3]基于有限元方法，针对卷筒壁厚进行了优化设计；聂金宁等[4]采用微积分与有限元仿真分析相结合的方法，研究卷筒在不同载荷条件下的应力状态，并对卷筒进行了优化设计；吴传宇等[5]借助有限元分析软件对摩擦卷筒进行了分析与改进；张嘉璐等[6]基于有限元方法，对抛物线形和双锥形摩擦卷筒结构形式进行了应力及形变分析。以上研究仅对摩擦卷筒进行了结构分析或尺寸参数优化设计。为了得到力学性能更加良好的结构，拓扑优化成为了最常用的设计方法[7]。张小珍等[8]基于Optistruct软件，以摩擦卷筒体积最小为优化目标，对摩擦卷筒进行了拓扑结构优化，但得到的优化结果边界不清晰。本文尝试利用一种改进的拓扑优化方法对摩擦卷筒进行优化设计。

常见的拓扑优化方法有水平集方法、均匀化方法、SIMP方法[9-10]、渐近结构优化方法(BESO)、独立连续映射法(ICM)、移动可变形组件法(MMC)等。BESO方法具有边界清晰、易于实现的特点，但实际应用中仍存在灵敏度推导繁琐复杂[11-12]、删除单元导致的数值奇异[13-14]、基于准则法优化时性能难以评价等一些问题[15]。针对这些问题，本文尝试改进基于von Mises应力的双向渐进结构拓扑优化方法，并将其应用于林业绞盘机摩擦卷筒的轻量化设计。

1 基于米塞斯应力的BESO算法改进

1.1 材料插值模型

BESO方法的设计变量是离散的(0或1)，结构有限元网格划分后，每个单元对应一个设计变量，当某个单元对应的设计变量为0时，就意味着将该单元的材料删掉，这在原理上行得通，但在实际的有限元数值计算时，直接将单元材料赋值为0可能会造成结构刚度矩阵奇异[16-18]。为避免这种数值奇异现象，本文采用修改的材料插值模型：

(1)

其中，xi为i个单元的设计变量；E(xi)、ρ(xi)分别代表单元的弹性模量和密度；E0、ρ0分别代表xi=1时的弹性模量和密度；Emin、ρmin分别代表xi=0时的弹性模量和密度，通常取Emin=10-6E0、ρmin=10-6ρ0；p为惩罚系数(通常取3)。此时，单元“删除”是通过赋予单元一种很“软”的材料实现的，从而可避免结构刚度数值奇异的问题。

1.2 应力灵敏度分析

应力水平是结构设计的一个重要判断标准，一个理想的结构，内部应力应处于同一应力水平。以应力水平为优化准则的BESO方法，原理简单、计算效率高，更适合于实际工程应用。结构中某一点处的Von Mises应力为：

(2)

其中，σ为某一点处的应力向量，T为系数矩阵。

根据有限元理论，第i个单元内的应力状态可表示为：

σi=DBui

(3)

其中，D为单元的弹性矩阵；B为应变矩阵；ui为单元节点位移。

将公式(1)代入公式(3)整理可得：

(4)

其中，D0表示单元为实体材料时的弹性矩阵。

再将公式(4)代入公式(2)，得到第i个单元内等效的米塞斯应力：

(5)

将公式(5)两边对xi求导得：

(6)

因此，基于von Mises应力的单元灵敏度数可定义为：

(7)

可见，基于应力准则的拓扑优化，其灵敏度计算很容易。在实际应用中，单元的灵敏度数可通过单元各节点处的灵敏度数求平均得到：

(8)

式中，M为第i个单元的节点数，对于四边形单元M=4，对于六面体单元M=8。

1.3 性能评价指标

基于米塞斯应力的BESO算法的基本原理就是逐步删除结构中应力低的材料，从而使结构的应力分布逐渐均匀。在统计学中，均方差是用来衡量数据离散程度的，均方差越小说明数据越集中，反之，则越离散。结构应力是否均匀，同样可以用应力均方差来衡量[19]。因此，本文将应力均方差作为基于应力的BESO算法的性能评价指标PI，即

(9)

1.4 改进的BESO算法步骤及软件实现

改进后的BESO算法包括以下计算步骤：

1) 初始化设计区域，对设计区域进行网格的划分，给定目标体积分数及删除率；

2) 对结构进行有限元方法分析；

3) 计算单元等效应力，得到单元灵敏度数并进行滤波处理[20]；

4) 根据单元灵敏度数大小，对单元进行排序，按照删除率对单元进行删、添；

5)重复以上过程，直至满足收敛条件，得到最优拓扑结构。

图1给出了该算法的具体流程图。

图1 改进后BESO算法流程图Fig.1 The improved BESO method flowchart

改进的BESO算法是通过联合Abaqus有限元软件与MATLAB编程语言来实现的，在算法实现过程中的关键步骤包括：

1)有限元软件的调用。在MATLAB程序中，采用dos命令来调用Abaqus有限元软件，命令格式为：status = dos ( 'abaqus job=file_name.inp' )，其中，status表示返回状态；file_name表示有限元模型文件名。

2)有限元分析结果的读取。通过读取Abaqus的fil文件，将单元节点应力数据保存为txt文件，然后再导入到MATLAB的workspace中。

3) 删、添单元后新结构的构造。可通过修改inp文件来实现单元的删、添，从而构造新的结构用于下一步有限元分析。

2 集材绞盘机摩擦卷筒设计

2.1 算法验证

为验证改进的BESO算法，先来研究一个简单算例：旋转飞轮的形状优化问题。在离心载荷作用下，盘型飞轮可看成二维轴对称问题。假设飞轮由铝合金制成，弹性模量为70 GPa、泊松比为0.3、密度为2 700 kg/m3；飞轮半径为300 mm、轴向厚度为150 mm；飞轮以2 000 rad/s高速旋转。设定BESO的进化率ER=2%、惩罚系数p=3、滤波半径rmin=3、目标体积V*=50%。

图2 (b)为优化后飞轮的形状及应力分布。与初始状态图2(a)相比，最大应力降低了43%，低应力区域(深色)也明显减少。图3给出了优化过程中飞轮结构应力均方差的变化曲线，从图3可以看出，经过优化，飞轮内部应力变得更加均匀。此外，从图2 (b)还可以看到，优化后的飞轮形状与等应力飞轮的形状十分相似。综上可见，改进的BESO方法是可行、有效的。下面采用该方法进一步开展应用研究。

图2 旋转飞轮优化结果对比Fig.2 Omparison of flywheel optimization results

图3 飞轮应力均方与体积分数变化差曲线Fig.3 Stress standard deviation convergence curve of flywheel

2.2 摩擦卷筒拓扑优化设计

集材绞盘机是依靠摩擦卷筒与钢索产生的摩擦力牵引钢索运行的，对摩擦卷筒进一步优化设计，有利于实现绞盘机轻量化和提高作业效率。摩擦卷筒主要承受的载荷是钢索拉力对其作用的扭矩，设摩擦卷筒最大牵引力为19 208 N，根据文献[7]，可以得到工作半径为150 mm的摩擦卷筒所承受的最大扭矩约为2 881.2 N·m。摩擦卷筒的材质一般为低合金高强钢，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3，密度为7 900 kg/m3。摩擦卷筒是旋转周期对称结构，图4为1/4周期摩擦卷筒的初始结构(旋转角度为60°)，外半径为150 mm，内、外端径向厚度都为20 mm，轴向最大厚度为70 mm，轴向最小厚度为50 mm；其中深色部分为非设计域，浅色部分为实际的设计域。其他优化参数不变。

图4 摩擦卷筒的初始结构Fig.4 Initial model of friction drum

图5给出了旋转周期数为4、设计域材料体积分数为40%时的摩擦卷筒最优拓扑结构及其应力分布。从图中可看出，优化后摩擦卷筒结构边界清晰，不存在中间过渡材料；且最大应力为24.11MPa，远小于材料的许用应力113 MPa，可见仍有进一步优化的空间。

图5 旋转周期数为4、材料体积分数为40%时的最优摩擦卷筒拓扑结构Fig.5 Optimal friction drum topology when the number of rotation periods is 4 and the material volume fraction is 40%

为进一步研究材料体积分数及旋转周期数对摩擦卷筒结构的影响，图6、7、8分别给出了在体积分数为20%、40%以及60%情况下，不同旋转周期数对应的摩擦卷筒的最优拓扑结构。

图6 材料体积分数为20%时不同旋转周期数的摩擦卷筒最优拓扑结构Fig.6 Topological optimization results of the friction drum with a volume fraction of 20%

图7 材料体积分数为40%时不同旋转周期数的摩擦卷筒最优拓扑结构Fig.7 Topological optimization results of the friction drum with a volume fraction of 40%

图8 材料体积分数为60%时不同旋转周期数的摩擦卷筒最优拓扑结构Fig.8 Topological optimization results of the friction drum with a volume fraction of 60%

对比图6-8可看出，不同约束条件，摩擦卷筒的最优拓扑不尽相同。随着旋转周期数的增加，摩擦卷筒内的孔洞也跟着增多，但结构形式变化不大；随着材料体积分数减小，摩擦卷筒的孔洞逐渐增大，结构形式变得明显不同，结构中 “杆件”增多，结构趋于简单化。在实际设计生产中，应综合考虑使用的材料性能及加工成本，选择经济实用的拓扑结构。

3 结论

1)改进的BESO算法无需复杂的公式推导，具有简单高效、易于实现的特点，便于实际工程应用。

2)采用改进的BESO方法可得到结构合理、边界清晰的集材绞盘机摩擦卷筒最优拓扑结构，为摩擦卷筒轻量化设计与开发提供了理论和技术支撑。

3) 不同约束条件，摩擦卷筒的最优拓扑不尽相同；随着旋转周期数目增加，摩擦卷筒结构形式变化不大，但随着材料体积分数减小，摩擦卷筒结构形式变化明显，摩擦卷筒中“杆件”增多，结构趋于简单化。