次分数跳-扩散过程下再装期权定价

王佳宁， 薛 红

(西安工程大学 理学院，陕西 西安 710048)

长期以来，金融工程学与金融数学研究的热点问题之一就是期权定价。美国经济学家Black、Scholes于1973年在文献[1]中开创性的提出了Black-Scholes模型，随后该模型很快就在各种期权定价问题中得到了广泛应用。文献[2]最先提出保险精算方法，从此期权定价问题就可以与等价的公平保费问题进行合理转化，而且把适用范围从均衡、完备、无套利的市场扩大到了非均衡、不完备、有套利的市场，大大简化了这类问题的解决过程。在文献[3-8]中保险精算方法的优越性得到了很好的体现。

最近几年，在金融证券市场不断发展过程中，许多在标准期权基础上变化、组合、派生而来的新品种不断兴起，即新兴期权。其中，在原来欧式看涨期权的基础上衍生出了一种新式的欧式看涨期权—再装期权，其特别之处在于：执行日前后期权持有者所持的欧式看涨期权不同。不过到期日并不发生任何改变，其数量是执行价格(被执行期权)与股票价格(执行日)之比，而执行日股票的价格就是执行价格[9]。文献[10-11]在分数Brown运动及相关随机分析理论的支撑下，构建相应数学模型，结合保险精算思想推得再装期权定价公式。文献[12]在股票价格满足跳-扩散过程的基础上，研讨再装期权在等价鞅测度条件下的定价问题，针对性给出对应的定价公式，并对数值模拟应用于实际提供了更便捷的方法。文献[13-15]指出了次分数Brown运动更具有一般性的Gauss过程这个特性，以及其有关概念、性质等，并在金融证券市场中有着广泛应用。本文将借助金融背景下次分数Brown运动和跳-扩散过程的数学模型，在保险精算方法以及随机分析相关知识帮助下，研讨再装期权的定价问题，导出其定价公式。

1 次分数跳-扩散过程下金融市场数学模型

假定金融市场只有两种证券，一种是无风险资产即债券，其价格满足：

dMt=rMtdt。

其中Mt为无风险资产价格，r为无风险利率；另一种是风险资产即股票，其价格满足微分方程：

(1)

引理1随机微分方程(1)的解为

证明当在区间[0,t]内没有发生跳跃时，由次分数Ito公式可得

假定在t1∈[0,t]时刻内只发生一次跳跃，则在[0,t1)内有

同理在时刻区间(t1,t]内有

由(1)式有

当n→+时，可得所以

当跳跃次数服从Poisson过程时，可得

定义2[16]股票价格{St,t≥0}在[0,t]上的期望回报率βu,u∈[0,t],定义为

引理2股票价格{St,t≥0}在[t,T]上的期望回报率为

βu=μ,u∈[0,t]。

证明由引理1知

则

由

得

又由

得

所以

=1

故而

得证。

2 再装期权定价

定义3[10]假定到期日T之前只再装一次，则其收益结构为：在再装日期T1(0

当T1→T时，再装期权将退化为欧式看涨期权。

定义4[10]再装期权保险精算价格为

V=E{[exp {-μT1}ST1-exp {-rT1}K]I{exp {-μT1}ST1>exp {-rT1}K}}

+E{[exp {-μT}ST-exp {-rT}K]I{exp {-μT1}ST1exp {-rT}K}。

其中无风险的资产按无风险利率r折现，风险资产按期望回报率β折现。

定理1次分数跳-扩散过程下再装期权保险精算价格为

其中

证明令

V1=E{[exp {-μT1}ST1-exp {-rT1}K]I{exp {-μT1}ST1>exp {-rT1}K}},

V3=E{[exp {-μT}ST-exp {-rT}K]I{exp {-μT1}ST1exp {-rT}K}}。

假设在区间[0,T1]内出现波动跳跃J1(i),i=1,2,…,m,在[T1,T]内出现波动跳跃J2(i),i=1,2,…,n。

(1)计算V1,由于

则

V1=E{[exp {-μT1}ST1-exp {-rT1}K]I{exp {-μT1}ST1>exp {-rT1}K}}

=E{E{[ST1exp {-μT1}-Kexp {-rT1}]I{exp {-μT1}ST1>exp {-rT1}K}|QT1}}

其中

V11=E{ST1exp{-μT1}I{ζ>d(m)1}}|QT1=m}

(2)计算V2,由于

则

其中

(3)计算V3,由于

{STexp{-μT}>Kexp {-rT}}={γ>c(m,n)},

则

V3=E{[exp {-μT}ST-exp {-rT}K]I{exp {-μT1}ST1exp {-rT}K}}

其中

3 结 论

本文是在金融背景下次分数Brown运动和跳-扩散过程的数学模型下加以研究推导的，可能与实际情况中股票价格变动还有一定差别，因此准确模拟金融证券市场十分重要，这需要我们在今后不断的研究过程中修正。