小学生数学关键能力的内涵、要素与培养策略研究

洪亮 汪路霞

【摘 要】学生核心素养的培养最终要落实到学科核心素养的培育上。数学核心素养是指具有数学基本特征、能适应学生终身发展需要的思维品质与关键能力。数学关键能力主要包括数学抽象与表征能力、数学猜想与推理能力、数学理解与运算能力、数据收集与处理能力、数学直观与想象能力、问题分析与解决能力等。在培养小学生的数学关键能力时，需要以数学基本思想为指引，以数学核心內容为载体，以数学理性思维培养为旨趣，以数学基本活动为途径，以数学核心素养培育为目标。

【关键词】学科核心素养；数学关键能力；培养策略

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2019）09-0038-05

【作者简介】1.洪亮，江苏省苏州工业园区星海小学（江苏苏州，215021）校长、党总支书记，高级教师，苏州市名校长，苏州市数学学科带头人，苏州市优秀教育工作者，江苏省教育科研先进个人，全国十佳好校长；2.汪路霞，江苏省苏州工业园区星海小学（江苏苏州，215021）副校长，高级教师，苏州市优秀工作者。

一、小学生数学关键能力的内涵与要素分析

1.数学抽象与表征能力。

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量关系和空间图形关系中抽取出数学概念及概念间的关系，或一般规律和结构，并用数学符号或术语予以表征。简言之，数学抽象就是从现实世界进入数学内部，让学生学会用数学的眼睛看世界。数学抽象在义务教育阶段主要表现为符号意识和数感。史宁中教授也提出：数学抽象具有三个基本阶段——简约阶段、符号阶段和普适阶段。

表征是认知心理学的基本概念，一般指信息的内部表达。南京师范大学邓铸教授等人认为：数学表征可以分为内部表征和外部表征两类，内部表征又分为符号表征、方法表征和机理表征。有学者通过研究小学生的数学问题解决发现，小学生对数学问题的表征还处于以直观的表面特征为主的低水平。

数学抽象与表征能力的内涵是相互关联的，数学抽象过程中有数学表征的过程，而数学表征的过程就是数学抽象的过程。对于学生数学抽象和数学表征能力的理解，应当建立在科学的心理学分析基础之上，应当从学生的心理发展规律来看待他们数学抽象和表征能力的培养，让学生在抽象与表征的过程中学会数学抽象和数学表征。

2.数学猜想与推理能力。

数学猜想是指在学习数学或解决问题时展开的分析、尝试和探索，是对涉及数学问题的主导思想、方法以及答案的形式、范围、数值等的猜测。数学猜想也是一种数学思想方法，是人在探索数学规律和本质时采用的一种策略，是建立在事实和已有经验基础上的一种假定，是一种合理假设。

推理是由一个或几个已知的判断（前提）推导出一个未知结论的逻辑思维过程，是对判断间的逻辑关系的认识。推理能力是相对稳定的个性心理特征的综合，在推理活动中形成、体现与发展，并影响推理活动的效果。推理一般包括合情推理和演绎推理。小学阶段的数学学习主要涉及合情推理。所谓合情推理，是从已有事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。

猜想是推理的前奏。“猜想—验证—猜想—验证”这一反复的过程就是一种推理过程。猜想如果被验证是正确的，那么结论自然产生；猜想如果被否定，那么再一次的猜想会因摒弃了首次猜想而离结论更近一步。因此，让学生根据已有知识经验感受知识间的联系产生的猜想推动着他们数学推理能力的发展。

3.数学理解与运算能力。

数学理解具备学习能力的三个重要特征——过程性、默会性和层次性。学生不仅要理解概念、符号、命题等显性的数学知识，还要体会数学中的思想，体会通过归纳得出猜想、通过抽象得出模式的过程。

运算能力是数学能力的核心要素，它的形成对小学生整体数学能力的培养与提升能起到基石性的作用。进一步分析学生理解算理、发现算法、通过运算解决问题等过程中的思维过程，可以发现，学生运算能力发展的过程中蕴含着抽象、推理、建模等数学基本思想，这能有效促进他们数学思维的发展。

4.数据收集与处理能力。

数据收集包括三个要素——有数据意识、能提出运用数据解决的问题与能根据问题的需要设计收集数据的计划。

数据处理包含三个要素——能从数据中提取信息、能通过数据进行推断与能根据背景选择合适的方法。先要能从一堆杂乱无章的数据中提炼信息，进而运用信息进行决策、推断，在此基础上，根据问题背景选择合适的方法，感悟统计学是通过数据来推断数据产生的背景的，它对结果的判断是好与坏。

5.数学直观与想象能力。

在数学教学中，数学直观通过实物直观、符号直观、图形直观等体现。伴随数学直观（几何直观）的教学，空间想象能力是数学教学中需要培养的基本能力之一，是数学教学中非常重要的课程目标。教学实践表明，空间想象能力也是理解抽象的数学概念与原理所必需的能力，如图形的周长、面积和运用画图的策略解决数学问题等。因此，探求空间想象能力的结构及其培养策略具有重要意义。

6.问题分析与解决能力。

作为义务教育的课程目标之一，问题解决重点要求培养学生分析和解决问题的能力，建构适合学生发展的问题解决能力结构。发现问题的能力是提出问题、分析问题以及解决问题能力发展的基础和前提，提出问题和分析问题的能力是能力培养的关键，而解决问题能力的提高反过来又能促进其他能力的培养。

二、小学生数学关键能力的培养策略

1.以数学基本思想为指引。

对数学教学而言，其本质是促进学生思维的发展；对具体教学内容而言，其本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，还表现为统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。教师只有正确理解知识，洞悉知识的意义内涵、来龙去脉、整体结构及其背后的思想，才能在教学中聚焦数学的本质。

如数学抽象既是一种能力也是一种思想，要让学生在学习中逐步学会抽象的思维方式，需要我们引领他们经过层次化的思维过程。比如：教学苏教版五下“圆”，教师可以先让学生通过认识生活中圆形的物体（如自行车车轮、初升的太阳、田野中向日葵的脸庞等）形成圆的直观形象，这就是直观实物抽象。但接下来要深入认识圆的特征，就必须借助圆形纸片这一半符号化的学习工具来進行抽象化的思维。如此，学生就有了具体性的依托，在折一折、比一比、画一画、量一量等数学化的思维操作中，抽象思维得以顺利开展与形成。数学抽象的本质，就是让学生在亲身经历数学抽象的过程中接受数学抽象化的思维训练，进而提升其数学抽象能力。我们应做到循序渐进，根据学生的年龄特征恰到好处地安排和使用这种阶段性和层次化的过程，以期实现数学知识的逻辑顺序和学生认知发展规律的高度协调与统一，在此基础上，方能取得最佳的教学效果。

2.以数学核心内容为载体。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在阐述课程目标时，从原来的“双基”扩展为“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。同时，在阐述课程设计思路时结合课程内容提出了十个核心概念，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。我们应当紧紧依托“四基”和上述核心概念展开数学教学。

比如：苏教版六下“圆柱和圆锥特征的认识”的教学难点，是探索平面图形和立体图形之间的关系，培养学生的空间观念。我们尝试引导学生通过合作完成自主探索卡来突破这一难点。主要进行了这样几个环节的处理：（1）导入新课部分，出示几个常见的平面图形，让学生猜想可能是从哪个立体图形的某个角度观察得到的，再把大家猜想到的长方体、正方体、圆柱和圆锥根据面的特点进行分类，使学生初步感知圆柱和圆锥是由曲面和平面围成的几何体，渗透平面图形与立体图形的联系，让学生知道立体图形是由若干个面围成的；（2）认识两个形体的特征之后，要求学生自主画出圆柱和圆锥的示意图并进行反馈和点评，在这个过程中，学生进一步复习圆柱和圆锥的特征，尤其是进一步理解圆柱和圆锥的高的含义，并对其进行拓展，另一方面，画出示意图对学生今后解决有关体积和表面积的实际问题有帮助，有助于他们对圆柱和圆锥的概念进行再认识，但实际课堂上时间不够，最后调整到课前学生预习时尝试；（3）在巩固练习中，创设想一想、转一转、滚一滚、堆一堆等活动，继续完成自主探索卡。学生在想一想、转一转的活动中发现平面图形与立体图形之间的联系，体会圆柱和圆锥可以这样得到，在滚一滚的活动中自然发现两种立体图形滚动的轨迹和方式不同，滚过的面也不同，为其认识圆柱和圆锥的展开图进而学习圆柱的表面积打下基础。对于圆柱和圆锥的起始课，我们充分挖掘概念的教学资源，并罗列在自主探索卡上，让学生合作学习，体会认识的乐趣，进行一般概念的自主学习，提升了学生初步的空间观念。

3.以数学理性思维培养为旨趣。

我们知道，数学知识的产生与发展总是有其源和流的，在其内化抽象的过程中，必然会出现一系列“是什么”“为什么”“怎么做”的疑难困惑。这需要我们理性地追问：隐藏在客观事物背后的规律是什么？统摄具体数学知识与技能的数学思想方法是什么？用辨析的眼光了解和分析数学本质的源和流，构建活的数学知识结构，对学生而言将具有特殊的作用和意义。

教学苏教版五下“分数的基本性质”之前，很多学生已经知道了分子分母的变化规律。这是否就意味着本课的学习可以脱离直观材料的支撑了呢？显然不是。对分数基本性质的认识是一种归纳推理的思维活动。如果选取的材料过于陈旧或理性，往往会使学生缺乏主动思维的欲望。执教时，笔者以“分西瓜”的故事引发学生进行数学思考：能不能用分数的眼光来观察两次分西瓜的过程，有什么新的发现？用什么方法来证明这些分数确实相等呢？在学生提出折纸、化成小数、根据商不变的规律类推等多种验证方法后，我们首先展示直观的涂色验证，不仅为学生其他较为抽象的展示提供佐证，更重要的是让学生感悟到直观的局限性，促发他们开展更为理性的推理活动，实现数学思维从感性向理性的第一次飞跃。因此，数学教学应该是思维的教学，逐步引导学生养成理性思维的习惯，培养其数学的理性精神。

4.以数学基本活动为途径。

苏霍姆林斯基曾说：“当知识与积极的活动紧密联系在一起的时候，学习才能成为孩子精神生活的一部分。”在数学教育中，活动始终贯穿其中，是激发学生学习兴趣的常规方式，是学生探索规律、掌握知识的重要过程，更是发展学生数学核心素养的必要条件。

如培养学生的数据分析与处理能力，教师要想让学生真正地感知数据、亲近数据，最好的办法就是让他们亲历数据的收集、整理、描述、分析以及做出决策的全过程，在亲历中感受数据价值、了解数据收集和处理方法，并乐于用数据来解决问题。例如：教学苏教版五下“折线统计图”，课堂上不是直接呈现或者教学折线统计图怎么画，而是创设情境：学校旁边的服装店每年4 ～ 10月都会代销泳衣，为了避免货物积压，供货商每次送货前都会打电话问店主：上个月销售了多少？这个月要再多送还是少送一些？大概送多少？如果你是供货商，为了方便，你打算怎么办？启发学生进行思考交流，制订解题计划：统计一下服装店去年每个月的销售数据作为参考。学生提出：或以供货商的角色，到服装店实地询问；或查资料，收集去年各月的销售数据。并用自己的方式表示数据变化，有人用手势比划，有人画出条形图，有人则画出曲线图。通过比较，大家认为画曲线图比较好，最后进一步细化曲线：这条曲线前半段从下到上逐步升高表示什么？后半段从上到下逐步降低又表示什么呢？在这个过程中，学生经历了提出问题、制订计划、收集数据、选择合适方法描述数据以及作出推断、解决问题的全过程。学生更深刻地感受到如何收集、处理数据，感悟到数据从哪里来、其中藏着什么秘密、是做什么用的以及对我们有怎样的帮助，这些感悟是听多少遍教师的讲解都难以得到的。

5.以数学核心素养培育为目标。

教学目标是教学活动的起点和终点，制定恰当的教学目标是教师开展教学的重要前提。通过前面的叙述，我们已经明确了数学核心素养对于学生的重要性，因此，我们必须基于培养学生数学核心素养的目标来设计教学活动，站在促进学生发展的角度来开展数学活动，用核心素养来统领整个教学活动。

培养创造性思维能力已经成为我们培育核心素养的一个重要焦点。创造性思维表现在创造性解决问题过程中思维的新与活。新，要求在理解中有自己的感受，有独立的见解。活，要求在思考问题时思维要活，善于变换角度灵活地思考。例如：在教学苏教版三下《两位数乘两位数（笔算）》一课时，教师先出示24×12，让学生仔细观察，这样的乘法算式具有怎样的特点？（不含整十数的两位数乘两位数）很显然，比刚才遇到的都要复杂。学生尝试计算，同桌合作研究，交流汇报：方法一，用加法算，12个24相加；方法二，用连乘算，24×2×6；方法三，拆分成24×2+24×10；方法四，拆分成4×2+20×2+4×10+20×10。引导学生比较：哪种方法既简便又通用？学生在比较中知道了拆分也不是拆得越细越好。相对而言，方法三比较折中。上述教学着重调动学生原有的知识经验，通过数据的拆分将新知变为旧知，进而探究出24×12的多种运算思路。这样的探索经历，有助于学生认识到同一个问题可以有多种不同的解决方法，培养学生的开放性思维。同时，对按照数位进行拆分这一方法适当强化，为接下来的竖式计算做好准备。

总之，在小学数学教学中培育学生的数学关键能力，是对素质教育理念的积极响应和具体落实，也是深化数学课堂教学的必然要求。基于核心素养培育目标的小学数学教学，应当始终站在学生未来发展的视角，以数学基本思想为指引，以数学核心内容为载体，以数学理性思维培养为旨趣，以数学基本活动为途径，以数学核心素养培育为目标。

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注：本文获2018年江苏省“教海探航”征文竞赛一等奖，有删改。