位于现实边缘的虚数

介明达

引入“虚构”的数，开启一个全新的数学世界。

当第一次遇到“虚构”的数时，你可能会自问：“我何时会用上这个？”毕竟，有什么能比虚构的数更不切实际的呢？

事实上，虚数以及它们与实数组成的复数是非常有用的，它们在数论、几何学、物理学和工程学等方面有着广泛的应用。它们还是进入不同的数学世界的第一步。现在，让我们来看看这些“虚构”的数是如何植根于我们所熟悉的数的，同时，也来了解一下它们的不同之处。

虚构出来的数

实数是我们最熟悉的数系（数的集合），它们都可以用十进制数字来表示，比如5、8.2、-13.712、0、10.33333…和π≈3.1415926…。我们可以加减乘除这些实数，在课堂上和日常生活中，我们经常用它们来处理各种问题。但是，实数并不足以解决所有的数学问题。

16世纪时，意大利学者、“解方程大师”吉罗拉莫·卡尔达诺正试图求解多项式方程。他求解诸如x2-8x+12=0这样的方程是没有问题，因为很容易找到两个数总和为8且乘积为12的数，即2和6。这意味着x2-8x+12可以被分解为（x-2）（x-6），这样就把这个多项式转换为两个因子的乘积，使得解此方程变得容易。

但是，对于诸如x2-3x+10=0这样的方程来说，这样做并不容易。找到两个数总和为3且乘积为10，似乎是一件不可能的事情。如果这两个数的乘积是正数，那么它们必须具有相同的符号，并且因为它们的和是正数，这意味着它们都必须是正数。但如果两个正数总和为3，则两者必须小于3，这意味着它们的乘积将小于3×3=9，不可能会等于10。所以说，这个方程似乎无解。

然而，卡尔达诺发现，如果允许，即-1的平方根的数出现的话，那么就可以求解类似上面的方程。这是一个令人困惑的发现。一个数k的平方根，或者，就是一个乘以它自身后等于k的数。当你对一个实数进行平方时，结果永远不会是负的。例如，3×3=9，（-1.2）×（-1.2）=1.44和0×0=0。这意味着没有实数乘以它自己可以等于-1。卡尔达诺使用来求解他的实数方程，但是本身肯定不是实数。

当时的卡尔达诺却认为，关于这种数的算术是毫无用处的。17世纪，法国数学家笛卡尔将负数的平方根命名为“虚数”，之所以起这个名字，其实是表达对这种数的贬低之意。直到18世纪，因两大数学家——瑞士数学家欧拉和德国数学家高斯——对虚数的相关研究，虚数才被数学家广泛接受。

复数的加减乘除

虚数与实数一起组合成了复数。复数通常的形式是a+bi，其中a和b都是实数，而i=，也称为“虚数单位”。实数a叫做复数的实部，而b叫做复数的虚部。实数可以被认为是虚部为零的复数。

复数还可以看作二维平面上的點。做一个二位坐标轴，可以把x-轴称为实轴，y-轴称为虚轴，一个复数的实部用沿着x-轴的位移表示，虚部用沿着y-轴的位移表示。这样，所有的复数都可以在这个平面上表示出来。这个平面被称为复平面。

复数起初可能看起来很奇怪，但我们完全可以把虚单位i看作一个代数，把复数的加减乘除看作一元多项式的加减乘除。例如，对复数进行加减，你只需把实部和虚部彼此结合起来即可，这类似于对多项式进行合并同类项;复数的乘法，可以借助适用于分配律来完成的。对于除法，我们完全可以转换为乘法，只不过乘上去的是除数的倒数。

跟实数一样，复数的乘法遵循乘法交换律，这意味着当你以任意顺序乘以两个复数时，其结果是相同的。此外，复数的乘法也遵循乘法结合律，这意味着将两个以上的复数相乘时，你可以自由选择先乘哪一对。但是正如我们将在后面看到的，对于某些数系来说，乘法的交换律或结合律并不总是适用的。

虚数的引入，开启了一个全新的数学世界。这是一个奇怪的世界，平方可以是负的，但是它的算术与我们熟悉的实数非常相似。但对实数的扩展，这只是一个开始。

有3个虚单位的四元数

复数可以看作二维平面上的点，那么更高维度上的点对应着什么数呢？19世纪爱尔兰数学家威廉·哈密顿正尝试把复数扩展到更高维度，他无法找到三维空间上的例子，但他发现，四维空间上的点可以创造出一种新的数系，叫做四元数

四元数的结构类似于复数，但-1的平方根除了i以外还有两个，哈密顿称之为j和k。每个四元数都具有a+bi+cj+dk这种形式，其中a、b、c和d是实数，i2=j2=k2=-1。类似于复平面，建立一个包含四个坐标轴的四维空间，那么其中的每个点都可以对应一个四元数。

就像建立一个游戏，你得首先设定好游戏规则一样，为了确保四元数能够进行加减乘除，而不会导致各种矛盾的出现，哈密顿必须设定这3个虚单位之间如何进行乘法。哈密顿一直苦思冥想，直到1843年的某一天，他跟他的妻子在都柏林的皇家运河上散步时，终于找到了解决方案，于是他就把自己的想法刻在了所经过的布鲁穆桥上：

i2=j2=k2=i×j×k=-1

尽管哈密顿的石刻早已风化不清了，但自1989年以来，爱尔兰国家大学每年都会在那里举办一起徒步活动，行程由邓辛克天文台起始，到皇家运河结束，以纪念哈密顿的这个发现。

哈密顿设定的虚单位之间的关系，允许我们对四元数进行加减乘除，但这个设定反而导致了四元数的乘法不再遵守乘法交换律。也就是说，用不同的顺序乘两个四元数，得到结果可能不再相同。放弃交换律是一个大损失，毕竟交换律是一种很有用的性质。但是放弃这个，我们就能得到一个新的数系，并且我们可以类似对复数那样进行加减乘除。

和复数一样，四元数也是非常有用的。它们可以用来描述物体如何在三维空间旋转，这使得它们在渲染3D视频，以及定位和校准物体（如宇宙飞船和手机）方面具有不可估量的价值。

有7个虚单位的八元数

根据哈密顿的思路，一位汉密尔顿的同事还提出了八元数，对应于八维空间上的点。它有7个虚单位（e1、e2、e3…e7），。你也可以对八元数进行加减乘除。就像四元数一样，我们需要一些特殊的规则来决定虚单位之间如何相乘。像四元数一样，这些规则导致了八元数乘法不遵守交换律。此外，八元数的乘法也不再遵守结合律。也就是说，当3个八元数x、y和z相乘时，（x×y）×z=x×（y×z）不一定成立。

所以现在我们有一个数系，不再遵守交换律和结合律，而-1的平方根总共有7个。那么，这种数系有什么应用呢？一些物理学家认为，在描述强核力、弱核力和电磁力如何作用于夸克、轻子及其相应的反粒子时，八元数可能是一个极为有用的工具。如果这是真的，这将有助于解决粒子物理学中许多难题。

通过添加一个或多个“虚构”的数，我们可以把实数拓展为复数、四元数和八元数。这些数系看似远离了现实，但是它们能给我们带来思考数学世界的新的方式，而且，我们总能给它们找到用武之地。