小学数学教学中操作性活动及其价值指向

吴 飞 黄秀梅

（尤溪教师进修学校，福建尤溪 365100）

小学数学教学离不开活动与操作，活动与操作是小学数学课堂教学中常用的两个行为手段。但是、操作与活动有什么区别与联系？特别地，在小学数学教学实施过程中为什么要设计操作行为和活动过程，如何将操作与活动有机地联系起来，使其成为一个完整的、有价值指向的身心过程？这是需要深入研究和梳理的问题。

一、活动与操作的内涵分析

笔者在中国知网“知识元检索”中对“活动”与“操作”进行检索，其中，浙江科学技术出版社2001年出版的《心理咨询大百科全书》分别给出了如下描述：“活动乃是由一系列有目的的动作或行动所构成的，是实现人的某种社会职能和人与客观世界的联系的动作和行动的总体”“活动是在心理、意识的调节下进行的，心理、意识在活动中得到表现。同时，心理、意识也是在活动中形成和发展的”“（操作）是人的有目的的动作或行为的实现方式。它是活动的一个成分，也是实现活动的一个必要条件。同一活动的目的可以由不同的操作来实现”“人类的操作大致分为两类：一是运动性操作，如对工具的使用；另一类是智力的操作，如运用一定的智力方式进行思维以解决一定智力任务等”。

上述描述表明，第一，活动与操作都是人的有目的的行为形式。活动的目的指向是实现人的某种社会职能和人与客观世界的联系。例如，教师教学活动，其目的指向是实现教师教书育人职能，学生学习活动的目的指向是认识和把握世界。操作的目的指向是人的动作或行为的实现方式。第二，操作与活动二者相互联系。操作，指向人的具体动作和行为，活动由一系列操作构成，活动中有具体的操作，操作为活动顺利进行服务。例如，“数的抽象”教学，它就是学生在一次次实物对象的操作中完成的，教学中的每一个有组织有目的的操作过程都是一个教学活动过程，因此，很多时候操作与活动密不可分。第三，操作是活动的一个成分，而活动又与心理和意识关联，因此，操作也与心理和意识相关联，并且，操作与活动既是心理产物又是心理发展的过程条件，这就是为什么要在教学活动中设计操作活动的理由所在。第四，实施具体行为的运动性操作，其操作方式指向过程与方法（工具与手段），依靠脑神经活动的智力性操作，它的操作方式指向思维活动与过程体验。

二、数学课堂“操作性活动”内涵界定

作为人类思维表达形式的数学，“它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性”，而且“一切数学的发展在心理上都或多或少地基于实际的”。[1]小学生的数学学习，由于处于数学学习的基础阶段，直观、个别性和分析是必不可少的思维基础，让小学生明了数学知识的实际作用也是解决学习动力的具体需要。因而，在小学数学教学中，如何让数学基本要素中这种天然的对立性在某一过程中统一，让基于实际的数学发展的需求性在心理上得以和谐，需要某种实施载体来凝聚“统一”与“和谐”，而这样的“神圣使命”无疑需要学生身心要素的投入，需要有目的、有规范的行为活动。而依据对操作与活动概念的分析，操作与活动是有目标框架的、紧密相连的“孪生兄弟”，操作为活动服务，活动统筹操作，它们都服从于心理调节，又促进心理发展；而且，对于个体而言，操作活动的两面性——外在与行的过程与方法，内化与心的思维与体验——自然地体现了个体学习的内外在认识规律。所以，只要将“操作”与“活动”有机地融合，赋予动作或行为的实现方式于一定的数学情境活动之中，成为数学情境中的操作性活动，那么，数学课堂教学所需要的“统一”与“和谐”就有了重要的实施载体。

数学课堂操作性活动，它应该是这样的一种活动（框架）：目标定位上，它以服务、服从于学习目标为己任，以经历与体验为前提，进而在具体的操作活动中促进学生对学习对象的认知；活动方式上，它以外在的行为动作为主，按照一定的规范和要求来实施某个行为动作，在动作操作中获得直接经验；组织方式上，它以一定的数学情境为媒介，以问题发现、问题提出与问题解决为纽带实施行为动作。因此，将“数学操作性活动”的内涵界定为“以思维和体验为目的的数学情境活动中的具体行为操作的过程性活动”就能够实现“基于实际的”“对立中和谐”两个方面的问题，并使得小学数学课堂中的学习，能够最大限度地接近数学的发生与发展，符合人类的认知规律。

人类学习过程的两层面操作活动很难割裂，具体的动作操作中有思维引导，内隐的智力活动中有情境和动作的支持。从具体到抽象，从简单到复杂，从低级抽象到高级抽象是人类思维发展的基本规律。只要是符合于思维发展基本规律的操作活动设计，那么，将劳动、游戏、手工制作等看成操作，将作图、计算，乃至将观点交流与展示也看成是人的外在运动性操作未尝不可。“操作性活动”之所以不是“操作活动”而是“操作性”的，道理就在于此。

三、“具身”与“意象”视野下的数学操作性活动

1. 具身认知视野下的数学操作性活动

“具身认知(embodied cognition)的兴起源于对身心二元论的反抗，最早由法国现象学家梅洛·庞蒂提出”，其核心主张是“认知、身体、环境的一体性”，强调“身体、体验、情境在认知过程中的作用”，认为“学习不仅仅是大脑的事情，而更是全身心参与的过程”。[2]具身认知理论是第二代认知理论的代表性理论，具有理论的现代性。因此，“数学操作性活动”必须遵循具身理论的基本要义，重视个体活动经历、关注个体操作过程的身心体验、强化个体在活动中（直接）经验的积累，并且在具体操作性活动中关注个体的经验调度、关注数学情境问题设置、关注个体行为动作能动性的激发。

具身认知还强调“认知是‘具身’（有身体的参与）而不是‘离身’（没有身体的参与）的，且正是由于身体的参与，感知与行动才构成了一个循环的回路。”[3]因而，改变数学学习的“离身”状态，强化“具身”情境中的“体认”意义，让“感知—行动”良性循环，也是数学操作性活动设计需要把握和坚持的原则。

2. 数学概念意象视野下的数学操作性活动

文学有意象，由意象创生文学意境；同样，数学也有概念意象，由概念意象来认识概念内涵。意象，简言之就是意思的形象或图象，它是人的活动产物。数学“概念意象（Concept Image）是在表征过程中对概念形成的一个替代物，是与给定的概念相联系的所有心理图像。譬如，太阳、月亮、甚至是 3维空间的篮球都可能是‘圆’的概念意象。对于同一个数学概念，不同学生的概念意象往往不同，甚至差别很大。”[4]

中国古代有“观物取象”和“立象以尽意”之说。其中的“物”是具体的认识对象，“象”是可感的物象——替代物、心理图像，“意”就是认知对象的内涵。在数学课堂数学中，如何“观物取象”？观什么，怎么观？这里设计到具体的分类问题；如何“取象”或产生心理之“象”？这里设计到类比、概括等问题。如何“立象以尽意”？这里的“立象”必须是创设典型事例，或是画图、列表、制作或个体的动作操作，这里的“尽意”是形成概念或获得对其他数学对象的认知。所有这些，对数学课堂的操作性活动提出了特别要求：就是每一个操作过程都要有“意象”概念，并使得“意”“象”相随。这样的操作性活动才能够充分激活个体经验，为“尽意”——理解数学认知对象——服务。

这里需要特别指出的是，无论是具身中的“感知—行动”良性循环，还是概念意象中的“意”“象”联系，从数学抽象程度的角度看低阶思维，它都是高阶思维的一种“直观”或“形象”，都可以看成是一种意象化操作活动。例如，两只羊是“2”的直观或意象，“2”又是整数的直观和意象，整数则是有理数的一个直观和意象。

四、小学数学教学操作性活动的价值指向

首先是以直观性为基础的经历与体验的价值指向。小学生的数学学习过程必须是感性的，在具体、形象的直观中去感悟学习对象才符合小学生的认知规律。当然，这种感悟是需要一定的情境活动为依托，这样才能在操作性活动中经历不同阶段的不同情形——策略制定、方法选择、困难解决等情形，或经历不同阶段的不同问题——本质是什么，共性在哪里、要先解决什么，是运算还是变换，与什么相联系。只有在不同情境中经历了问题发现，经历了问题解决才能不断地积累身心体验，进而有所经验，这是小学数学教学操作性活动的一个价值指向。以“加法单调律（若b＞c，则a+b＞a+c）”学习为例，怎么设计这种价值指向的操作性活动？显然还不能从逻辑角度进行教学，依靠教师直接讲授，肯定乏味。如果能够组织学生依据生活经验去自主或合作设计一个含有诸如高低、长短、轻重、年龄等情境要素的活动，再兼顾具体数字的验证活动，例如：让学生设计一个生活情境来说明大小两个数同加一个数，大小的结果不变，那么，这样的操作性活动教学就会有不一样的经历和比较深刻的活动体验，直观性、经历性和体验性的味道就浓厚。

其次是以应用性为前提的学与用统一的价值指向。菲利克斯·克莱因在强调数学应用在数学教学中的重要性时指出：“在小学里算术的教学从一开始就伴随着应用，小学生学习运算规则不仅是为了理解它们，而且是为了用它们解决什么问题。数学教学就应该永远是这样的！”“数学的生命，数学的最重要的动力，数学在各方面的作用，却完全有赖于应用，即取决于那些纯逻辑内容和其他一切领域之间的相互关系。”[5]

这段话的意思十分明了，学习数学要与应用数学来解决问题联系起来；小学数学要面向应用，数学教学内容要融于一切领域教学才有意义。我们知道，数学是抽象的，那是数学内容结构化、符号化表征的结果，但是，数学知识发现和发生过程许多是具体的应用需求引发的，指向问题解决的，这点，数系扩充本身就是一个典型的例子。因而，面向学与用统一的课堂操作性活动设计的核心问题就是要解决“有什么用”和“学什么”的问题。“有什么用”最好要回到知识发生的历史中去思考这个知识是因为什么而产生的？能否还原历史？“学什么”却要具体、明了，它的基础是什么，与什么相联系。所有这些，在活动设计的时候就要清楚。以运算的基本规律学习为例，如果仅仅是验证诸如a+b=b+a的活动，显然不是一件有趣的事情，但是将其融入具体的运算操作的说理之中，结果可能会不一样。例如7×58的运算说理过程，如果停留在竖式乘法的机械运算过程，那只与乘法口诀表相关联，而与运算律几乎没有什么关系。假如是以7×18=7×(10+8)(与十进制数的表示相联系 )=70+56(分配律的应用)=70+50+6=(70+50)+6 =120+6(结合律的应用）=126，这样的操作过程才能让学生明白学运算律有什么用的问题，学与用的统一才有实现载体。

其三是以生成性为目的过程与操作的价值指向。许多数学概念具有两个侧面，“从过程角度看是一种操作性概念，从对象角度看是一种结构性概念”“结构性概念是概念发展的更高阶段，而操作性概念的形成要先于结构性概念”。[6]例如小学分数概念，将其视为整体与部分之间的关系，它就是一种操作性概念；把它看成一个完整的数就是一个结构性概念。而小学数学操作性活动的一个重要价值就是将数学概念中运算（多为代数领域）或变换（多为几何领域）的过程性内涵体现出来，让学生在过程与操作中自然而然地在自己已有的概念基础上生成一个新的概念对象。例如平均数概念，从对象角度看它是一组数据的集中程度，从过程角度看它是一个运算。这里，只要让“平”变成有具体意象的一种操作，比如，把不一样长的绳子变成一样长的操作、不一样高的柱状图变成一样高的操作，只要让“均”转化成具体的、可感的操作，比如，将几组不同个数的实物匀一样多，那么，平均数的概念及其运算方法就会在“平”与“均”的两个操作活动中自然而然地生成。

在文章结束之前，有一个问题需要特别指出。数学操作性活动不是为了活动而操作，虽然小学生的思维模式的确需要依赖于具体的形象和动作经验来进行，但是促进其向经验型和理论型思维模式转化，显然也是小学数学课堂教学的基本任务。因此，能够脱离实际情境完成操作的，能够摆脱具体行为动作完成思维过程的，就要努力促进其从行为操作转化成心理的操作；能够以经验建构的认知方式来开展认知的，能够以逻辑抽象思维的方式来开展认知的，就要努力实施具有一定思维抽象度的思维操作活动，进而向小学生渗透从整体结构上来把握认知对象的思维方法，这是人的思维发展的总体趋势，必须遵循。