例谈建构主义意义下的初中数学建模教学指导途径与策略

吴 威 曾凡霖

（1.福州第一中学，福建 福州 350300；2.福州三牧中学，福建 福州350300）

一、建构主义背景下开展初中数学建模教学的必要性

初中生拥有充足的精力和强烈的好奇心和求知欲，并且各自有不同的问题经验和构建新知识的能力，能够通过自己的经验、理解，对未知内容进行分析、检验和接受，以同化或顺应的方式主动构建新知识。而建构主义认为，学习并不只是通过教师的教授来完成的，而是学生以原有的知识作为基础储备，一定的社会文化背景下，通过教师与学生、学生之间的沟通、协作，借助相应的学习资料，自发、主动地地建构的方式而获得知识和构建知识结构，新知识是以已有知识为生长点，不断地生长、完善起来的。因此，建构主义要求学生，在教学活动中需要基于各自的经验，以同化或顺应的方式主动构建新知识，并且能在真实的情境中，管理自己的学习，完成学习目标。学生在学习过程中不但需要实现新的信息在意义上的建构，还要对自己旧有经验进行改造和重新整合。

数学应用意识以及社会实践能力的培养，一直是初中生在数学学习过程中比较薄弱的环节。在目前教育模式下，作为教师，如何为学生们建构一个好的自主学习的环境，调动起学生学期的热情，唤起其对身边事物的兴趣，提升其数学应用意识，已成为所有一线数学教育工作者面临的新课题。在初中积极开展数学建模活动，鼓励学生积极参与，对提升学生的学习兴趣、数学应用意识，锻炼其观察事物、分析问题、解决问题、协同合作的能力以及联想与想象的能力都有很大的帮助。

二、建构主义理论对数学建模活动的启示与指导策略

（一）在建构主义学习观的指导下，教师应该指导学生选择自己熟悉的背景，感兴趣的课题，只有这样才能找到自己最佳的知识生长点。案例中对体育有一定兴趣的同学，选择了“铅球掷远”这个数学建模问题，并结合自己感兴趣的物理量进行讨论和深入探究，充分地进行了意义建构，较好地贯彻了建构主义的学习观。

（二）在建构主义教学观的指导下，教师在数学建模指导过程中必须重视学生以自己的认知方式去理解新的知识，思考各个模型的思想根源，肯定其思维的独创性，引导走出思维误区，调整学生对于新知识的理解，从而让学生最终主动地构建起新的认知结构。在“铅球掷远”案例中，教师需注意倾听学生的各种观点，并结合学生的不同的观点来分析模型、优化模型、批判模型，让学生能主动选出两个有决定性的变量：速度和角度。

（三）鉴于“支架式教学”方式，在数学建模活动研究中，教师尝试先教给学生初中数学最基本的数学模型，即孩子的“脚手架”，在学生寻找、建立自己感兴趣的数学模型的过程中，寻找他们各自的“最近发展区”，帮助他们主动建构新的知识。本案例中涉及的初等代数模型和物理模型，都能作为适合孩子的“脚手架”，让孩子在研究清楚速度和角度的相关问题后，能逐步增加变量，优化模型。

（四）鉴于“抛锚式教学”方式，在数学建模活动研究中，教师在指导过程中首先要了解学生的知识水平和研究水平，要结合学生的特长和兴趣、条件等因素设计教学的情境和建模的环境，尽量让建模的课题与学生实际生活联系，与学生感兴趣的问题背景相关，这样容易让学生有独到的见解和应用产生。

三、建构主义意义下初中数学建模案例分析

一个实际问题往往会受到很多主观、客观因素的印象，针对一个问题建立的理想的数学模型既应该反映这个问题的全部重要特性，同时也要考虑学生的程度和水平，让其在初中生的数学能力范畴内能够求解，这就需要教师制定相应的的数学建模教学途径和策略。

建立一个系统的数学模型，通常与问题性质、建模的目的等有关，没有相对固定的模式。在本例研究的数学建模活动中，学生主要应用的是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。从理论上说，理论分析法建立数学模型时，需要经历识别问题、分析量的关系、模型的假设和建立、模型求解和分析、模型检验、模型应用共计六个步骤。

例如：“初中数学建模实践案例——如何把铅球掷得更远”

铅球掷远起源于14世纪欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛， 在铅球赛场上，我们看到的铅球选手都是人高马大，但并不是只要有力气就可以把铅球掷得远。首先，学生从常识判断分析，运动员能够对铅球产生的影响只有初始速度和出手角度两个因素，而初始速度越大，在相同条件下显然掷得更远，出手角度则可能存在一个使投掷距离最远的最优选择；另一方面，从运动员的个人因素考虑，运动员的身高，决定了球的出手高度，显然也能影响投掷的远近。

笔者将建模具体的实践过程其呈现为以下五个阶段：教师示范，模型讲解；自主学习，小组讨论；感知生活，建立模型；教师指导，反思优化；模型思考，检验评估。该课题“如何把铅球掷得更远”是有典型物理背景的初等代数模型，这个问题牵涉的知识、学科很多，需要研究的变量和因素也很多，造成学生在研究多变量问题和选择解模知识时遇到很多困惑。因此，教师尝试了如下策略：

首先，指导学生查阅资料，了解相关的物理知识，理解该运动过程中的物理模型和物理公式，这是十分重要的准备工作。其次，针对物理公式中的变量，和学生共同讨论后，选出两个有决定性的变量：速度和角度进行研究，并且为了简化问题，将运动过程理想化。然后，逐一研究以下问题：实心球高度与投掷角度的关系，铅球射程与投掷角度的关系，铅球的水平射程与铅球初速度的关系，实心球落点与投掷力度的关系，投掷高度与投掷力度的关系。再次，在学生将简化后的问题分析透彻之后，引导学生根据实际情形，增加变量：出手高度 。将模型进行优化，得出结论：做提高初速度的训练，对提高成绩十分有效，不需要一味找身高较高的选手或者提高出手点。最后，指导学生采取表格的形式来检验优化后的模型得到数据是否能模拟实际情形，学生在数据模拟中也验证了：出手角度的改变，对投掷距离的影响相对较小；而初速度的提高对投掷距离的影响比较大。

综上，在数学建模活动研究中，在建构主义观点的指导下，依照一定的步骤指导学生：弄清什么是要探究的问题，分析问题中量的关系，根据建模目的进行假设，充分利用数学知识和数学软件求解，判断模型在实用意义下是否有用。另外，鉴于初中生的能力可能无法作出比较完美的模型结论，因此模型的优化过程和教师对建模过程的评价也是很重要的环节，它能帮助学生从多角度审视问题、提高数学应用能力、深度理解模型数学本质和学会倾听他人意见并做自我反思。这些环节能将数学建模活动的效果最大化。学生通过切实地解决一个身边的实际问题，由此积累应用数学的经验，提升对数学文化、数学价值的认知，最终提升学生的综合素质。