基于线性规划的转管武器曲线槽优化设计

熊 镐，王惠源

(中北大学 机电工程学院, 太原 030051)

转管武器凸轮系统是一种典型的圆柱凸轮系统，转管武器射速越高，自动机的工作性能越差，一方面，机芯组的加速度增大导致机芯滚轮与曲线槽之间的接触力增大，同时增加驱动系统的功耗；另一方面，机芯在曲线槽内加速和减速时的碰撞会造成转管武器机芯在曲线槽内的振动情况加剧。所以，曲线槽结构设计的优劣直接关系到转管武器的工作性能和寿命长短[1]。

文献[1]在过渡段上采用五次曲线代替正弦曲线(摆线)实现了对曲线槽的优化，得到一种加速度较低的曲线槽结构。文献[2]中取消斜直线段，增加过渡段曲线的角度，从而降低了转管武器的驱动功率；文献[3]中则将转管武器曲线槽的后直线段去除，实现了比文献[2]中更低的驱动功率。转管武器曲线槽设置后直线段是为了保证供弹，斜直线段也与供弹时机芯的运动有关，取消斜直线段和后直线段必然会带来其他结构的改变。

本研究发现，在传统的研究中，研究人员对转管武器曲线槽的优化大多是针对加速度优化，以追求更小的滚轮与曲线槽之间的碰撞力，从而延长转管武器寿命，但转管武器机芯运动的速度、加速度、跃度、功耗等并不是相互独立的，其中一个变化，必然会带来机芯运动情况整体变化。本研究认为对曲线槽的优化应该综合考虑综机芯运动的速度、加速度和跃度等多个方面。

线性规划是研究约束条件下线性目标函数极值问题的数学理论与方法，线性规划模型首先列出约束条件所表示的可行域，最后在可行域内求目标函数的最优解及最优值[4-6]。本研究提出了一种利用Matlab优化算法和线性规划理论对曲线槽结构进行优化设计的方法，旨在为转管武器和圆柱凸轮曲线槽设计人员提供一种在对曲线槽基本结构不产生较大影响的前提下的曲线槽优化设计方法。

1 曲线槽结构与机芯运动规律

转管武器由多根身管组成，每根身管都有对应的机芯，机芯滚轮位于固定在炮身上的凸轮槽内，转管武器回转体带动机芯做圆周运动时，由于凸轮槽对机芯滚轮的推力，机芯相对于回转体作前后滑动，完成装弹、推弹入膛、击发、抽壳和抛壳的动作[4]。图1所示为转管武器机芯运动示意图，其中，ω为回转体转动方向。

图1 机芯运动示意图

图2所示为转管武器曲线槽展开图，即为机芯理论运动轨迹展开图。θ1、θ3、θ5、θ7为过渡段；θ2、θ6为斜直线段；θ4为前直线段；θ8为后直线段；β为压力角；h为机芯行程；h1、h2为过渡段轴向长度。

图2 曲线槽展开图

转管武器曲线槽设计时，通常先根据内弹道要求确定前直线段所占角度θ4，以保证机芯闭锁确实后击发和膛压下降到安全值时再开锁；其次根据供弹要求确定后直线段所占角度θ8，最后再根据一侧斜线段所占总角度θ确定θ1、θ2、θ3，其中过渡段是机芯运动情况变化的主要阶段，对曲线槽的优化也主要是对过渡段结构的优化。

在机械原理中可知，从动件的运动规律有：等速运动、等加速等减速运动、简谐运动、正弦加速度运动、多项式运动规律和组合运动规律等[1]。转管武器曲线槽过渡段曲线通常使用多项式加速度曲线或修正正弦加速度曲线[5]。修正正弦加速度运动规律是一种典型的组合运动规律，主要应用于高速、中载的场合，其加速度峰值较小；五次多项式运动规律有较好的跃度连续性，理论上既无刚性冲击也无柔性冲击。

五次多项式加速度曲线槽加速段结构：

(1)

修正正弦加速度曲线槽加速段结构(图3)：

图3 修正正弦加速度曲线槽加速段结构

修正正弦加速度曲线是由正弦曲线(θA)、二次曲线(θB)、正弦曲线(θC)三段拼接而成。 式(2)～式(4)为过渡段曲线表达式：

第一段的位移、速度、加速度和跃度：

(2)

在加速度分布的第二段为等加速度：

(3)

在加速度分布的第三段为正弦加速度，其加速度由大到小，与0≤θ≤θA段的正弦加速度在相位上正好相差90°，同理可写出：

(4)

为保证曲线连续光滑，在θA、θB、θC处的位移、速度、加速度相连的曲线分别相等。式中C1-C7可以根据θA、θB、θC的边界条件确定，过渡曲线段的拟合由下式确定：

h2=m(θA+θB+θC)+θE

(5)

式中:m为斜直线段斜率。

对于斜直线段，五次多项式曲线和修正正弦加速度曲线均为：

(6)

对于减速段，各种曲线均采用与加速段相同的曲线结构，只是改变曲线的方向。

根据拼接条件推导出加速段、斜直线段和减速区段的结构应满足以下要求：

修正正弦加速度曲线

(7)

五次多项式加速度曲线

(8)

2 优化方法

2.1 优化目标

转管武器凸轮曲线设计时，主要关注机芯的动力学和运动学性能有以下几项：

1) 机芯最大速度Vm

回转体转速一定时，机芯的最大速度与凸轮曲线槽的压力角成正比，过大的压力角不仅传动效率低，甚至会出现卡死的现象，为了防止出现过大的压力角，应降低机芯运动的最大速度Vm。

2) 机芯最大加速度Am

自动机工作过程中，机芯与曲线槽间的接触力主要受最大加速度的影响，过大的加速度会使机芯滚轮与曲线槽之间的接触力增大，导致构件磨损加剧，同时，过大的加速度还会造成逆传动，影响自动机工作。

3) 机芯最大跃度Jm

式(1)为机芯与曲线槽横越冲击速度的计算公式[7]：

(9)

式中：J为冲击出现时的机芯的跃度；μ为机芯滚轮与曲线槽的间隙。

由式(9)可以看出，跃度直接影响机芯对转管武器的冲击，为了减小振动，需要控制跃度最大值。

4) 转管武器的驱动功耗

转管武器达到稳定射频时，惯性载荷比其他载荷的影响都要大，因此为了评价转管武器的驱动功耗，引入惯性矩Q，最大惯性矩Qm与电机峰值动力有关，是选择电机的基本数值之一[8]。

Q=AV

(10)

通过以上分析可知，选取VmAmJm为转管武器曲线槽优化的主要特征值，在满足设计要求的前提下，各主要特征值越小越好。

2.2 线性加权法

机芯的VmAmJm并不能独立存在，而是存在相互之间的联系，所以只能根据实际要求，以其中一个特征值较小为主要目标，其余特征值较小为次要目标。这里使用线性加权法，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。

根据线性加权法，构造特征值的目标函数f1(x)，f2(x)，f3(x)；对应取一组非负值作为权数ω1，ω2，ω3；进而可以构造如下评价函数[6]：

(11)

式(11)的最优解就是目标函数在线性加权和意义下的最优解，其中加权因子的选择主要是根据具体要求选取，且权数满足归一性和非负性条件。

(12)

fi(x)为无量纲处理后的目标函数。经过这样的处理后，目标函数统一了量纲，再通过线性加权法构造评价函数就能充分地反映各子目标函数的重要性。

转管武器通常对机芯轴起始阶段和终止阶段的运动规律没有特殊要求，本研究使用对称结构，即加速段和减速段采用对称的曲线槽参数，这样一来设计变量主要是θ1和h2，θ1和h2的关系通过拼接条件确定，且：

(13)

根据上述思想，分别对修正正弦加速度曲线和五次多项式加速度曲线求得VmAmJm：

五次多项式：

(14)

修正正弦加速度：

(15)

(16)

(17)

修正正弦加速度曲线有：

(18)

根据以上分析可以构建如下评价函数：

(14)

式中：ω1，ω2，ω3为权数，对于转管武器，通常按照AmVmJm的优先顺序选取加权因子，这里选用ω=[0.4,0.5,0.1]。这样就将多目标优化问题转化成对评价函数f(x)求解的单目标优化问题。

Matlab是Mathworks公司推出的一套功能强大的数值分析软件，是目前世界上应用最广泛的工程计算软件之一[9]，Matlab优化工具箱为用户提供了大量用于优化计算的函数，linprog是Matlab优化工具箱中用于线性规划的求解函数。本文中直接调用linprog函数对f(x)求解。

3 运动分析

为了验证利用线性规划思想对曲线槽进行优化设计的可靠性和优点，本研究采用与文献[1]中优化目标相同的6管6 000发/min高射速转管武器为例进行分析，并与之对比。分别计算了以下4种共计5条曲线作为对比：

1) 权重ω=[ω1,ω2,ω3]=[0.4,0.5,0.1]时的修正正弦加速度曲线(曲线1)和五次多项式加速度曲线(曲线2)；

2) 权重ω=[0,1,0]时的修正正弦加速度曲线(曲线3)和五次多项式加速度曲线(曲线4)，即式(17)和式(18)计算结果；

3) 原曲线槽结构

图3为自动机工作循环图[1]，根据击发要求，需要保证开闭锁时间和内弹道时间，则前直线段角度θ4=74°，根据供弹等因素影响，后直线段角度θ8=32°，机芯行程h=300 mm，曲线槽中径95 mm。

图4 自动机工作循环图

为了不改变曲线槽基本结构，前直线段和后直线度所占角度不变，确定斜线段所占角度θ后，根据式(7)、式(8)和式(13)的约束条件，利用Matlab优化工具箱中用于线性规划的求解函数linprog对式(14)目标函数求解，得到线性加权条件下的θ1、θ2、θ3角度分配关系，再通过式(1)～式(8)求得相应的曲线槽理论结构曲线，以及机芯运动的速度、加速度和跃度曲线。

曲线槽原结构为修正正弦加速度曲线，根据优化结果分配各部分所占角度。为了对比验证优化结果，附上原结构角度分配关系和文献[1]的角度分配关系。转管武器角度分配关系如表1所示。

表1 曲线槽角度分配

图5所示机芯位移曲线即为曲线槽中心线基本结构，可以看出，优化后的模型整体结构没有发生大的变化，对曲线槽的优化不会造成其他部分结构的变化。

图5 机芯位移曲线

图6为机芯速度曲线，曲线3和曲线4的机芯速度有明显的增大，曲线1和曲线2则相比于原结构有一定程度的速度降低，对机芯的速度性能有一定的改善。

图6 机芯速度曲线

由图7所示机芯加速度曲线可以看出，曲线3和曲线4机芯的加速度相比于原结构有明显的降低，而曲线1和曲线2则对加速度没有较大的改变，可以认为，在不改变前后直线段结构的情况下，曲线3和曲线4分别是6管6 000发/min转管炮在修正正弦加速度曲线和五次多项式加速度曲线结构下的机芯加速度最小的曲线。

图7 机芯加速度曲线

图8为机芯运动的跃度曲线，可以看出，相比于修正正弦加速度曲线的机芯跃度，五次多项式跃度的峰值远大于修正正弦加速度，但是在机芯减速段上的跃度峰值最小，当转管武器经过加速段和匀速段进入减速段时，机芯由于受到曲线槽的推力方向改变和间隙的存在，将会受到横越冲击[7]，由式(9)可知，跃度较小有利于改善机芯与曲线槽的碰撞情况。

图8 机芯运动跃度曲线

表2所示为机芯运动规律的主要情况，可以看出，曲线1、曲线2和原结构的机芯运动速度相当，而曲线3、曲线4和文献[1]给出的曲线槽结构下，机芯的速度相比于原结构有较大的增加；惯性矩Qm反映曲线槽对驱动系统峰值动力的要求，是电机选型的参考值之一。对比可知，修正正弦加速度曲线的优化结果与原曲线相比Qm减小了约3%，五次多项式Qm与原曲线结构相当，而加速度最小的曲线3的惯性矩Qm最大，相比于原结构，最大惯性矩Qm增加了14.26%，而文献[1]针对6管6 000发/min转管炮优化的曲线，其机芯加速度与曲线3相当，而最大惯性矩Qm比原结构增加了13.19%。

表2 计算结果

4 结论

1) 分析可知，曲线3、曲线4和文献[1]以减小机芯最大加速度为目的对曲线槽进行优化，加速度最大值有明显的下降，但相应的机芯的最大惯性矩却大幅度上升，即对驱动系统的驱动能力有了更高的要求，工程上未必可行，尤其是对口径较大、管数较多的转管武器，功耗要求的增加比起机芯加速度增加会带来更多问题。

2) 本研究提出利用线性规划理论，对机芯的速度、加速度和跃度进行线性加权处理，构造目标函数对曲线槽结构进行优化设计，通过对权重的设置，综合考虑机芯速度、加速度和跃度，设计出线性加权条件下的最优曲线，转管武器凸轮曲线槽更符合实际工程需求。

3) 就加速度特性，线性加权条件下的最优解，与五次多项式曲线相比，修正正弦加速度峰值较低，有利于减小机芯滚轮与曲线槽的接触力，延长机芯寿命；就机芯运动稳定性看，五次多项式加速度曲线跃度连续性较好，虽然跃度峰值最大，但是在机芯供弹行程横越冲击点上的跃度在各种曲线中最小，可以认为五次多项式加速度曲线的机芯运动稳定性最好。