企业利润数学模型的建立与分析

王子龙

摘 要 利润是企业可持续发展的基石，如何用最小的成本获得更多的利润是股东继续经营企业的根本。本文以企业利润最大化为目标，通过对其进行数学模型的建立及相应的方法分析，并以某企业往年利润数据为例，进行企业过程数据分析，为将数学模型分析方法应用于企业经营等日常经济管理提供思路。

关键词 利润 数学模型 数据分析 最值

一、引言

随着社会生产的专业化与规模化发展，在社会资源有限的情况下，人力成本越来越高、环保压力越来越大，造成企业的生产压力不断增大，利润空间也饿越来越小。很多情况下，企业会通过升级技术装备、减少用工成本，进而提高实际盈利能力，但是装备设施的升级成本也很高，很多企业无法承受，这就给许多企业带来困扰，甚至由于经营不善最终导致破产。近些年随着一些先进管理理念的引进，企业家们开始不断尝试采用基于数学分析的方法，为企业经营提供新的思路与方法。

基于数学分析的管理方法主要是借助数学模型对企业全过程进行精密管理，通过对实际经营过程的不断分析优化，为企业生产节约资源，减少不必要的成本支出，给企业带来新的利润空间。本文主要结合数学建模方法，阐述了经济分析中的典型数学工具，并以某工厂的利润进行了应用分析，为企业经营发展提供新的方向与基础。

二、经济分析中的数学工具

（一）数学模型

数学模型从概念上说，是借助数理逻辑与数学语言建立的一种描述对象的某种特性所呈现的关系表达式。从广义上来理解，数学模型是由数学中的相关概念、公式与理论所组成，建立数学模型就是要对现实物理世界进行抽象描述，从某种意义上来说，整个数学基础可以看成是一门有关建立数学模型，并进行数学分析的科学。从狭义上来理解，数学模型是指描述那些特定问题或特定事物及系统的数学关系式，这也可理解为是对一个系统内各变量间关系的一种数学表达方式。

数学模型的应用历史可以追溯到早期使用数字的时代，随着人类采用数字来进行简单的计数到现在进入数字化时代，就开始不断地采用并建立各种对象的数学模型，以解决日常生产生活中的各种现实问题。如很多科技工作者主要工作就是对特定对象进行特性研究、教师借助数据对学生进行综合评价分析、企业对生产过程与采购过程数据进行分析等，其本质都是基于特定数学模型，借助数学方法进行内在规律的分析与挖掘。

（二）数学建模与数学分析方法

数学模型是对真实物理世界的一种描述表达方式，因此在实际数学建模过程中必须要求符合客观物理规律，才能为后续的数学分析提供有力的模型基础，确保得到精确可靠的分析结果。主要体现在以下三方面：

第一：要求数学建模的真实完整性。真实完整性是要求所建立的数学模型是真实的、系統的、完整的，且要与实际情况相符合。

第二：要求数学建模的简明实用性。是指在实际建模过程中，尽量地保留系统本质问题及内在关系，对于非本质的、次要的、对反映客观真实程度影响不大的要素可以进行舍去，这样在保证模型精度的基础之上，实现模型简单化和易操作性，同时也需要兼顾数据的可采集性。

第三：要求数学建模具有适应性。是指随着外部环境和人们理解事物能力的变化，只要通过对之前所建立模型中的相关变量及参数进行调整，确保调整后的模型具有很好的适应性。

在模型的基础之上，要想得到可靠的分析结果，良好的数学分析方法是十分关键的。对经济领域的问题分析，往往最终都转化为求解模型的最值极值问题。

因此可以说，数学模型是解决实际问题的基础，而数学分析方法是解决实际问题的有力工具，两者之间具有相互关联，且密不可分的关系。

三、某工厂利润的数学分析

（一）企业利润最大化原则

总所周知，企业生产的目的是生产销售商品，进而获得实际利润，为了衡量企业的生存扩张能力，其利润率水平是一个十分关键的指标。在实际企业运营过程中，企业家们总是追求利润的最大化。

企业利润最大化原则[4]是指产量的边际收益要等于边际成本，边际收益是指生产商品过程中最后增加单位产量所增加的实际收益，而边际成本是指生产商品过程中最后增加单位产量所需要的实际支出。可见，如果最后增加单位产品生产时，其边际收益大于边际成本，则企业便会继续生产，进而实现利润最大化，否则企业便会停止生产。从数学的最大值原理可以知道，当边际收益与边际成本相等时，企业的总利润最大，可见这是企业利润最大化的条件，适合所有的市场结构模型。

（二）某工厂过程数据分析

现在以工厂生产两种产品为例进行过程数据分析。某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时和两种原材料的消耗以及资源的限制情况，如表1所示。

其中该工厂每生产一单位产品A可获利50元，每生产一单位B产品可获利100元，因此工厂就会考虑如何生产产品A和B才能实现利润率最大。

该问题已经不是生产技术问题，而是生产管理问题，为了解决这个实际生产管理问题，其解决的方法是采用数学模型与数学分析的工具。因此需要按照文章第2部分所描述的过程进行分析。

首先，确定决策变量。工厂目前要决策的是产品A和产品B的生产量，可以用变量X1和X2来表示，即：决策变量X1表示生产产品A的数量；决策变量B表示生产产品X2的数量。由于它们表示产品产量，所以只取非负数。

其次，根据问题的限制条件，列出表示条件的线性不等式。对于台时数方面的限制可以表示为x1+x2≤300，原材料的限量可以表示为2x1+x2≤400和x2≤250。除了上述约束外，显然还有x1≥0，x2≥0。

最后，根据实际问题所追求的目标，列出其线性表函数式。则总利润可表示为Z=50x1+100x2。

综上所述，得到了描述该问题的一组数学表达式：

目标函数为：Max z=50x1+100x2 （1）

约束条件为：

由式（1）（2）所建立的数学描述即是对该工厂生产A/B两种产品的数学模型，因此只要对其进行数学分析即可得到科学合理的决策依据。

（三）某工厂数据分析结果

3.2节所描述的数学模型中，目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称之为线性规划。如果目标函数是变量的非线性函数，或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学模型则称之为非线性规划。把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。把使得目标函数值最大（即利润最大）的可行解称为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。

结合高中所学的线性规划方法，可以根据线性约束条件采用图解进行分析，如图1所示。

从图1就得到了问题的最优解为B点，B点的坐标为（50，250），因此最佳决策为X1=50，X2=250，此时Z=27500这说明该厂的最优生产计划方案是生产A产品50单位，生產B产品250单位，可得最大利润27500元。

因此，当生产50单位A产品，250单位B产品才能使工厂获得最大利润，同样，在该工厂其他方面的销售或成本方面的问题也可以采用此类方法进行优化与解决。当然，数据的分析必须精准严密。相信依据对数学模型的合理应用加上对实际生活中的需求了解，该工厂在未来的发展道路上能把利润最大化并越走越远。

四、结语

数学不仅是工程技术的基础，也是企业经营管理和国民经济分析的基础。本文通过对经济分析中数学模型的建立与数学分析方法的阐述，来探讨经济中的数学问题，并通过实例阐述企业利润最优问题的求解。通过从原理到实例的论述，为企业经营和社会经济中的优化问题采用数学方法得到解决提供了新思路与新方法，不仅如此，当前大数据技术在经济中的分析也正在如火如荼开展，相信在数学工具的帮助下，人们将会越来越多地通过数据挖掘内在的规律，为人们进一步深入掌握经济运行规律提供有力技术基础。

参考文献：

[1] 李银魁，许雁琴.优化商品经营利润的数学模型[J].河南机电高等专科学校学报，2005，13（4）：86-88.

[2] 杨湘豫.浅谈盈亏分析数学模型[J].财经理论与实践，1995（4）：65-66.

[3] 俞新龙.商品促销中的数学模型两例[J].中学生数学，2005（15）：22-22.

[4] 郝芳，王淑英.数学模型在经济产业中的应用[J].经济研究导刊，2016（17）：48-49.

[5] 周波.经济效益最优化数学模型的建立与应用[J].内江科技，2009，30（11）：126-126.