整理“实录” 感悟“三学”

■王菲菲

（作者单位：江苏省海安市城南实验中学）

“自学·议论·引导”教学法是由全国著名特级教师李庾南老师提出的，该教学法倡导“三学”，即学材再建构、学法三结合、学程重生成。笔者观摩学习南通市学科带头人刘东升老师所执教“数的开方”起始课，梳理教学实录和听课后的体会与思考，研究“三学”理念的课题实践。

一、“数的开方”起始课课堂实录

1.从数与运算说起，引入课题。

师：今天上课之前我请班长在黑板上给我们画了这一幅人物肖像（如左图），他是毕达哥拉斯学派的数学家希帕索斯，发现无理数第一人。

要想理解他发现的无理数，我们首先从已经学过的数说起。还记得我们之前学了哪些数吗？

生1：有理数。

师：有理数可以分为什么呢？

生2：整数和分数。

师：学习了数之后，我们还学习了它们的运算。到目前为止我们学习了哪些运算？

生3：有理数的加减法、乘除法。

师：那么加法和减法有什么关系呢？乘法和除法之间又是什么关系呢？

生4：减法是加法的逆运算。除法是乘法的逆运算。

师：还有吗？我们上一章学习了什么运算？

生5：乘方运算。

师：刚刚我们说了加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，今天我们就要介绍乘方的逆运算。

2.师生互议，归纳定义。

师：我们先看两个乘方的例子，22等于多少？23等于多少？

生6：22=4，23=8。

师：现在已知某个数的平方等于4，求这个数的值，可以设这个数为x，那么x2=4，x=±2。x在乘方里叫底数，2是指数，4是幂。已知幂、指数，求底数就是乘方的逆运算。这种运算叫什么？请一个同学来给乘方的逆运算取个名字。

生7：可以叫开方。

师：好的，我们就叫开方。那么刚刚已知x2=4，求x的值，因为4是x的平方，那么我们就叫做开平方。现在如果已知x3=8，求x的值。

生8：x=2。

师：那么类比上面的开平方，我们可以把“已知x3=8，求x”的这个运算叫做什么？

生9：开立方。

师：我们知道加法的结果叫“和”，减法的结果叫“差”，乘法的结果叫“积”，除法的结果叫“商”，乘方的结果叫“幂”，那么我们把开方的结果就叫做“方根”，开平方的结果叫做“平方根”，开立方的结果叫做“立方根”。下面我们先来研究平方根，从定义、求法、符号和性质这四个方面来研究它。首先，研究平方根的定义，通过刚刚求解x2＝4的过程，能不能尝试归纳出来？

生10：如果x2=a，则x叫做a的平方根。

师：这个时候对a有没有什么要求？

生11：我认为a≠0。

师：当a=0时，也就是x2=0，这个时候x=0，即02=0，不违反定理，所以a可以等于0。请各位同学站起来进行小组讨论，这个a有没有什么要求？讨论完的小组就可以坐下。

生12：我们小组认为a≥0，因为一个数的平方一定是非负数。

师：非常好！所以我们就得出了平方根的定义：如果x2=a，a≥0，则x叫做a的平方根。下面如何求平方根呢？刚刚我们是如何求4的平方根的？

生13：通过±2的平方等于4，得到4的平方根就是±2。

师：平方和开平方互为逆运算，根据这种运算关系，可以求一个数的平方根。所以平方根的求法就是依据开方和乘方的逆运算的关系。请同学来举几个数的平方根的例子，练习一下求法。

14生：25的平方根是±5。24的平方根是……

（此处学生发现找不到24的整数平方根。）

师：好，他举了一个24的平方根的例子，但是发现找不到整数平方根，这就说明24不是平方数，而25可以找到整数平方根，说明25是平方数。至于24的平方根应该是什么，我们等下再来讨论。接下来到了符号表示，我们用± a2来表示平方根，可以简写成± a。根据我们小学学的算术数的概念，就可以给正的平方根起个名字——算术平方根，并且规定 0=0。通过刚刚对平方根的了解，同学们能不能尝试归纳出它的性质？

生15：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

生16：0的平方根是0。

生17：负数没有平方根。

（经过以上师生对话、讨论，形成如下的结构化板书。）

3.类比开平方，探究开立方。

师：整理完平方根的相关概念之后，应该如何研究立方根呢？

生18：也可以从这四个角度来研究（定义、求法、符号表示、性质）。

师：能不能模仿平方根的知识框架类比写出立方根的知识框架呢？请一位同学在黑板上归纳一下。

学生在黑板上归纳。

师：我们来比较一下立方根和平方根的区别。立方根的定义中如果x3=a，则x叫做a的立方根，对a没有要求。立方根的符号表示应该是 a3，并且不需要正负号。这就要求我们在类比归纳的时候要注意模仿和辨析。现在我们回看刚刚那位同学的疑问，24的平方根应该是什么？

生19：是± 24。

师：那么± 24是什么样的数呢？这就是我们之后要学的无理数，也就是我们在这节课开始的时候介绍的由希帕索斯发现的一类数。希帕索斯为 2殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。

课堂小结时，刘老师安排学生分组讨论为本课拟定一个课题，学生经过小组讨论推荐了一个学生上台书写出“方根的探索”，全班鼓掌通过这个标题后，下课。

二、基于“三学”理念的课例赏析

1.基于数学知识的前后一致、逻辑连贯开展“学材再建构”。

本节课是一节单元课，对应着人教版七年级下册《数学》中的“实数”一章。这一章分为三个小节，即“平方根”“立方根”和“实数”。教材中是按照算术平方根——平方根——立方根——无理数的顺序进行编排的，可以看出数和运算之间的关系密不可分。算术平方根的内容较简单，主要与实际生活内容相关联，这是为了遵循由易到难的认知规律。但是由此带来的弊端就是容易让学生形成思维定式：开方得到的数都是正数。这就导致学生在学习后续的平方根和立方根时发生知识混淆、运算错误。教者在本节课的执教过程中先介绍了开平方运算，学习了平方根之后，再提出正的平方根就是算术平方根，这就避免了这一现象。

教者在本节课中从数与运算开始，复习了有理数和之前学习过的运算，再来介绍新运算——开方，新数——无理数。在本章中教材主要提及的是算术平方根、平方根和立方根等概念，较少提及开方运算，但平方根和立方根的根源都是开方运算，数系和运算也是紧密相连的，所以适当地提及开方运算是很有必要的。

2.坚持以学生为主体，注重“学法三结合”。

通过本节课的师生对话可以发现，教者在课堂中多加引导学生自主思考，由已有的知识经验上升到未知的知识经验。从开方这个运算的发现，到平方根定义的探究讨论，再到类比归纳出开立方的相关概念，以及本节课课题的确定，都是由学生自主探究讨论，教者点拨、肯定得出的。在学生自主讨论的过程中，穿插着生生讨论和师生讨论，共同得出本节课的定义。这就将自学、议论和引导这三学法相结合，贯穿课堂，有利于发展学生的自学能力，加深学生对新知识的理解。

3.开放需要放开，本课充分体现了“学程重生成”。

本课的情境创设环节是由希帕索斯发现了无理数来为开方运算的结果会出现无理数做铺垫，结尾再回归到数学史上，让学生体会“科学是没有止境的”。介绍完希帕索斯之后顺其自然由数开篇，引出新的数学运算——开方。

课程标准修订专家组提出6个数学核心素养成分，其中数学运算是其中之一。数学运算离不开数，在学习新的运算之前首先要明确运算对象——数。所以本节课虽然是学习运算——开方，但是仍以“数”来开篇，从数入手，明确运算对象，再来探究运算法则是切合学生数学核心素养的培养的。

在学习开平方定义，补充对a的要求时，教者让学生进行小组交流，在讨论中迸发出思想的火花，经历思考的焦灼感，学生得到了锤炼思维的机会。由此得到a≥0这个附加条件，流畅自然，应运而生。再到课堂小结时学生自主拟定本课课题，都显示了本课的“开放度”，教师敢于放开，让学生学、让学生自由思考、充分参与，课堂上的生成也就精彩不断。