TPACK视角下数学核心素养的模型构建和实现路径探究

于文字，胡典顺

一、引言

教育信息化是基础教育改革的重要主题，信息技术逐渐渗透到教育教学的各个领域，对教育发展的影响难以估量。如何充分理解和有效贯彻信息技术与当代教育的深度融合成为教育界关注的焦点。［1］教师被认为是信息技术同教育融合的关键因素，教育信息化也对教师专业发展提出了新的要求，即如何将信息技术整合于教育教学之中。TPACK框架的提出为教师专业发展开辟了新途径，数学教师TPACK框架更是成为针对数学教师专业发展的“定制版”。而无论是一般意义的TPACK还是特定学科领域的TPACK最终的指向都是学生的发展，应当以学生的发展来检验信息技术融合于教育教学的效果［2］，其中，衡量学生发展的重要指标就是学生核心素养的水平。国外核心素养研究表明，基础教育课程改革要契合个体和社会发展要求，课程变革要强化对教育信息的快速反应。［3］因此，教师的专业发展最终指向于学生核心素养水平的发展。那么如何实现教师专业发展和学生数学核心素养水平的提高呢？又如何在现实教学过程中，沟通教师群体和学生群体，通过教师TPACK水平的提升实现学生数学核心素养水平的提高呢？

二、相关研究综述

（一）TPACK

2005年，Mishra和Koehler提出了TPACK（整合技术的学科教学法知识）的概念，将其定义为：“学科内容、教学法和技术”这三种知识整合以后而形成的一种新知识形式［4］，并构建了TPACK理论框架。TPACK的概念是在Shulman提出的PCK基础上发展而来的。Shulman认为教师知识是教学法知识和学科知识的复杂互动，而把技术知识视作游离教师知识之外的辅助性知识。［5］相反地，Mishra和Koehler将技术知识作为一种独立因素纳入到教师知识体系之中，并且强调这种“纳入”不是简单的叠加，而是通过“整合”信息技术形成一种新的知识。他们认为使用技术进行教学是情景化的，而不是孤立的，因此境脉因素也被加入到了 TPACK 框架中。［6］(P9-13)通过文献整理和分析，发现TPACK相关的理论研究趋于成熟。未来的研究应当向特定学科领域深入，研究在具体学科的教学过程中如何培养和发展教师的TPACK水平。

数学学科作为基础教育的重要学科之一，数学知识本身又是诸如计算机技术、数据挖掘、数据库构建等技术的知识基础，因此数学学科整合信息技术具有天然的优势。大量的TPACK框架的理论研究为针对数学教育的TPACK模型构建夯实了理论根基，近年来结合具体的数学学科的TPACK的应用也引起了研究者的关注。

（二）数学核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对学科核心素养给出了明确的界定：学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力，并提出了六大数学核心素养。［7］(P6-9)

那么数学核心素养的实质是什么？史宁中教授认为数学核心素养就是“三会”，即会用数学的眼光观察世界；会用数学的思维思考世界；会用数学的语言表达世界。［8］虽然数学核心素养的本质已经明确，但是其构成要素以及体系架构没有很详细地划分，难以进一步落实。因此，一些学者针对模型构建方面对数学核心素养的内涵、体系进行了解释和建构。基于数学基本思想和数学核心素养之间的关系的认识，孙成成、胡典顺建立了数学核心素养的“素养魔方”模型。数学基本思想作为数学核心素养的基础和本质被置于魔方的中心，其余六个面分别对应一种核心素养。［9］“素养魔方”较好地诠释了数学基本思想在核心素养体系中的地位和作用，但对六大数学核心素养的层次和结构解释性相对较弱。武丽莎、朱立明将数学核心素养和数学基本特征联系起来构建了关系结构图，同时基于对数学核心素养理论意蕴的理解，提出了数学核心素养在教学中的实践要求。［10］关于核心素养的内涵和结构，李艺、钟柏昌构建了一个三层架构模型，模型的最底层是“双基”层，中间层是问题解决层，最上层是学科思维层。［11］然而，吕世虎、吴振英认为三层架构模型对育人方面的作用和价值关注不够，因此在学科思维层之上又加了“数学精神层”。［12］

三、TPACK视角下数学核心素养的双塔模型和实现路径

本文构建了数学核心素养发展的双塔模型，同时为进一步说明模型在具体教学过程中的实现，对TPACK视角下数学核心素养水平发展的实现路径进行简要的阐述。

（一）双塔模型

双塔模型（如图1）的左边是“教师塔”，从底至上三个层次分别是：教师知识、教师信念和教学实践，是一个逐级落地的过程；双塔模型的右边是“学生塔”，从底至上三个层次分别是：“双基”层、问题解决层和学科思维层，是一个逐级升华的过程。下面分别从“教师塔”、“学生塔”和双塔模型的沟通三方面进行论述。教师塔模型基于肖正德对教师发展中的教师信念的意蕴阐释与实践构建的论述，特别是教师信念与教师经验、教师行为的关系论述［13］，以及熊丙章从实证研究角度阐述的教师信念对信息技术与数学课程整合的影响研究。［14］学生塔结构是在李艺、钟柏昌的三层架构模型基础上的扩充和重新解读。［11］双塔模型的内在逻辑关系和沟通详见内涵构建和关系剖析。

图1 TPACK视角下数学核心素养的双塔模型

1.教师塔

（1）内涵构建

“教师塔”的最底层是“教师知识”层，这里的教师知识不局限于教师所掌握的数学知识和教学法知识，而是整合技术的学科教学知识（TPACK）。教师知识是由数学知识、教学法知识、技术知识三种元素整合而成的，类比于向量，可以把三种知识看作是一组“基底”，即x、y、z大小分别代表教师所掌握的数学知识、教学法知识、技术知识的多少，同时又共同决定了教师知识的方向（教师的教学风格）和教师知识的模的大小（教师的素养）。原有的教师知识体系是将技术知识排除在外的，技术知识的纳入将使得教师素养出现显著的提升，表现为数学知识和教学法知识是教师知识体系中固有的成分，在进行教师知识体系扩充的过程中也不应该降低对数学水准和教学技能的要求，特别地，要谨防教师发展中“去数学化”的倾向。［15］

“教师塔”的中间层是“教师信念”层，指从经验中逐步形成的，对整合技术于教学的教学本质和过程的相对稳定的看法，是影响教学活动中技术整合的重要因素。［16］然而，长期以来对教师信念的概念内涵的认知都是相对模糊的，特别是对教师知识和教师信念之间的差异的认识是混乱的。事实上，教师知识决定了教师所拥有的TPACK知识的数量和结构，即“有什么”；而教师信念则决定了应用于教学中的TPACK知识的数量和结构，即“用哪些”和“怎么用”。

“教师塔”的最上层是“教学实践”层，指教师整合技术的数学教学活动的过程。这个过程将走向两个方向，一方面指向学生，落脚于教师信念指导下教师知识的应用；另一方面指向教师自身，通过教师实践获得直接经验，以强化教师信念并扩充教师知识。

（2）教师塔结构的认识及其关系剖析

三层教师塔结构是一个完整的系统，其中，“教师知识”层是教师TPACK水平发展的基础，没有教师知识的承载，教师信念和教学实践就如同“无根之木，无源之水”，因此教师知识处于整个教师塔的最底层；“教师信念”层是教师TPACK水平发展的关键所在，教师专业发展的内核就在于通过教师信念的转变，以推动教师的实践变革和教学创新。［17］教师信念是教师塔结构的核心，同时又发挥着承上启下的作用。教师信念主要有两个来源，分别是教师知识和教学实践中获得的个人经验。教师信念受教师知识和教学实践的影响，并反作用于教学实践，是教师塔体系中最能体现教师主观能动性的层次；“教学实践”是教师TPACK水平发展的落脚点，于教师而言，其价值直接体现在“做”上，而非在于“想”。除此以外，教学实践还是教师和学生的连接点，是沟通两个结构的关键。基于以上考虑，教学实践被置于教师塔结构的最上层。

2.学生塔

（1）内涵构建

“双基”层顾名思义对应的是基础知识和基本技能。强调“双基”教学是我国传统数学教育的特征和优势，中国的基础知识和基本技能的教学显然是成功的，这一点可以从上海学生在PISA测试中的优异表现得到一定程度的验证。“双基”教学本身没有问题，问题在于“双基”教学走向了某种极端，单纯的知识、技能的教学有功利化和理想化的倾向，导致很多时候知识仅活跃于课堂之上，难以应用到实际，甚至考完就忘。从这个意义上来看，以知识、技能为基础的要求并没有变化，而是在其属性方面进行延展，期望学生在获取基本知识和基本技能之后获得解决问题的能力以及理性观察、思考和表达世界的素养。因此，“双基”层作为学生塔结构的基础被置于最底层，为整个学生塔提供支撑。

问题解决层对应“四基”中的基本活动经验。于学生而言，最小二乘法求系数的公式、错位相减进行数列求和等知识、技巧可能会出现遗忘，但是应用知识解决问题的能力如同烙印，一旦形成就很难消退。显然，我们期望能教给学生一些不会轻易忘却的东西，或是数学知识的本质或是解决问题的能力。知识本质的教学取决于教师本身数学素养的水平，而问题解决能力的培养则需要依靠体验式、探究式的活动。学生可以在应用知识的过程中，或者在理解情境的过程中积累基本活动经验，并在此基础上提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。不仅如此，经历数学化活动和反思性实践之后，获得的基本活动经验再内化成品质，将最终形成数学核心素养。［18］可以看出，基本活动经验对“四能”的形成至关重要，是问题解决层的主要内容，同时又是核心素养形成的基础。因此问题解决层在学生塔中起到承上启下的作用，是学生塔结构的关键所在。

学科思维层对应“四基”中的基本思想。史宁中教授在解释数学的基本思想时提出两个判断标准，分别是：“数学产生和发展必须依赖的思想；学习过数学的人应当具备的基本思维品质”。基于以上两个标准，他认为数学基本思想包括三个元素：抽象、推理和模型，并在抽象、推理和模型的基础上提出了基础教育阶段的六大数学核心素养。［8］学科思维是学生进行学科学习的最终目标，数学核心素养是基础阶段数学教育的终极目标，两者的要求具有高度的一致性，可以把数学核心素养看作是学科思维层的主要内涵。

（2）学生塔结构的认识及其关系剖析

从“双基”到“三维目标”再到“四基”和“六大数学核心素养”，课程标准在继承基础上不断深入和超越。［19］同样地，学生塔结构以“双基”层为基础，以“学科思维层”为指向，通过“问题解决层”沟通上下，整体结构从下至上不断升华、深化。所以学生塔的三层结构和课程标准的发展历程存在一定程度上的契合。

学生塔结构同“四基”是一一映射的关系，“双基”层对应基础知识和基本技能；“问题解决层”对应基本活动经验；“学科思维层”对应基本思想。尽管“三维目标”和“四基”等新概念相继被提出，但“双基”教学始终不能被淡化或抛弃。问题解决层强调培养学生发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力和解决问题的能力。而这“四能”并不是教师“教”出来的，而是应当通过学生的“做”来形成和提高。学生在特定的情境下，通过数学化的活动不断积累基本活动经验，在解决问题的过程之中强化“四能”。学科思维层强调数学基本思想和数学核心素养的培养。学科思维层是以“双基”层和问题解决层为基础的，“双基”层为学科思维层提供间接经验，问题解决层为学科思维层提供直接活动经验，通过对直接、间接经验的内化和建构，最终形成学生一般发展所必需的素养。

3.双塔模型的沟通

由于教师TPACK水平发展的落脚点是教学实践，所以教师塔结构指向于教学实践。而教学实践的过程又将走向两个方向，一个方向是反馈，通过实践而获得的教师经验可以反向强化教师信念和扩充教师知识，因此，教师知识、教师信念和教学实践的循环过程推动了教师TPACK水平的不断提高。另一个方向作用于学生，通过教学实践沟通教与学的过程，最终指向数学核心素养水平的提高。从这个意义上看，教学实践是教师塔和学生塔之间的粘合剂。

然而教师塔和学生塔的沟通不局限于教学实践这一个层次，教师塔的三个层次是完整的体系，三者的统一才能最终实现学生数学核心素养水平的提升。没有教师知识，教师便是“巧妇难为无米之炊”，学生也将失去赖以支撑其发展的基础知识和基本技能。没有教师信念，教学实践便成为无规则无目的的随性行为，教师的意识中如果不存在培养学生的核心素养的观念，那么填鸭式的教育必然会出现。教师知识、教师信念和教学实践都影响着学生的发展，而要使整个过程扭成一股合力，不至于相互掣肘，关键在于教师信念在其中调配协调。

（二）实现路径

双塔模型意在说明教师专业发展和学生核心素养的培养分别是什么，可以通过教师TPACK水平发展实现学生数学核心素养水平的提高。那么落实到教学过程之中，又是如何实现的呢？图2给出了TPACK视角下数学核心素养水平发展的实现路径。

图2 TPACK视角下数学核心素养发展的实现路径

1.准备阶段

正式教学之前，教师应当做好充分的准备，所谓充分准备主要包括“教什么”和“怎样教”两方面，这两点也是教学设计过程关注的重点。“教什么”同教师知识中的数学知识关系密切，主要考验教师会什么，因此教师不仅要知道知识存在更要把握知识本质。“怎样教”是教师知识和教师信念共同参与的部分。首要地应当在教师信念上明确教学的最终指向是培养学生的数学核心素养。同时要意识到教学过程也存在科学化的需要，使学生以尽量少的投入同时获得尽量多的产出［20］，特别是教育信息化时代背景下，可以通过技术知识的应用，切实提高教学质量和教学效率。

2.过程探析

教学实践是沟通学生和教师的纽带，是将教师意识层面的内容落实的过程。信息技术整合于教学的教学实践关键要处理好两对关系，一对是“以学生为中心”和“以教师为中心”的关系，一对是“现实的教学效果”和“潜在的教学效果”之间的关系。

传统教学中关于“以教师为中心”还是“以学生为中心”，各派学者莫衷一是。信息技术融合于教育教学的新教学中同样存在着争论。

一种观点认为信息技术融合于教学就是对原有教学模式的革新，必然要求从“以教师为中心”向“以学生为中心”转变。有代表性的是，杨宗凯等人认为我国的教育信息化正处于“初步应用整合”阶段，这一阶段仍然是以教师为中心，未来我国信息技术融合于教育教学向“全面整合创新”阶段发展，就必然要求向以学生为中心转变，充分发挥学生主观能动性。［1］同样地，祝智庭等人也认为从应用信息技术优化课堂教学到应用信息技术转变学习方式发展，要求教学从以教师讲授为中心向以学生自主探究为中心转变。［21］

另一种观点认为信息技术融合于教学，既不是“以教师为中心”也不是“以学生为中心”。这种观点认为教师和学生都是教学过程中不可或缺的主体，同样重要。比较有代表性的是，何克抗在比较美国信息技术整合于教学的三种整合模式基础上，认为TPACK模式所坚持的教育思想是一种既不是“以教师为中心”也不是“以学生为中心”的全新教育思想。［22］

总体来看，随着基础教育改革的推进，“以教师为中心”的教学模式应当改变，但到底是“革命”还是“改良”是两派学者的分歧所在。事实上，形式上的改变并不是重点，关键应在于教学有没有调动学生的积极性，有没有激发学生主动思考、感悟。教学有法而教无定法，教学模式的选择因人而异，但实现学生核心素养水平的发展应是教师共同的目标。

教学过程中另一对重要的关系是信息技术“现实的教学效果”和“潜在的教学效果”之间的关系。所谓“潜在的教学效果”指的是，理想状态下教师应用信息技术于教学过程中，学生所达到的学习效果。“现实的教学效果”则是在实际教学过程中，应用信息技术的教学效果。显然，由于教师自身素养的原因以及课堂环境、学校的教学条件等的影响，实际的教学效果一般会低于潜在的教学效果。因此，教师首先应当认同这种现象，不因教学效果低于预期而气馁。除此以外，教师要大胆地去尝试、去应用，在实践中不断磨练技术、完善细节，以便最终在融合信息技术于教学的过程中更加游刃有余。

3.目标指向

教学目标对教学过程兼有导向和评价的作用，因此教学目标的设定不应过于泛化，而应该具体、可操作、可评价。鉴于数学核心素养的概念相对抽象，不利于教学过程中的落实，喻平以知识学习为切入点，将数学核心素养划分为三个水平，分别是知识理解、知识迁移和知识创新。［23］这三个层次可以看作是学生塔结构的三个层次的具体化和可操作化。知识理解表现为了解知识的缘由；理解知识形成的结果；解决数学的基本问题。知识迁移指向于将知识应用到不同的情境之中，强调学生对情境的理解和问题解决的能力。知识创新指学生能够解决一些非常规的开放性的问题，能够以数学的思维去分析问题，处理现实问题。这三种水平的划分，是更“贴地气”的划分标准，对整合技术的数学教学过程更是有明确的指导意义。

四、结语

不是任何人会加减乘除就能教数学，数学教师是一个专业化的职业，一名合格的数学教师应当具有足够高的数学素养，不仅要知道数学知识的存在更应该理解数学知识的本质，这是数学教师最基本的要求。同时，一名优秀的数学教师应当熟练掌握教学法知识，把数学教学看作是一门艺术，选择合适的教学方法使学生更容易接纳、理解数学知识，并在知识学习的基础上发展能力、提升素养。一名新时代的数学教师应当具备一定的将信息技术整合于教学的能力，顺应时代发展的要求，以更科学化的方法提高教学质量和效益。因此，TPACK知识是教育信息化时代数学教师专业发展的基础。除此以外，教师信念是数学教师TPACK水平发展的关键，知识与信念的匹配，才能在教学实践中发挥出最大的效益。教师知识、教师信念和教学实践是一个循环的结构，是意识到实践再通过实践反作用于意识的过程。同时三者构成的整体又是开放的结构，受外部条件的影响，并通过教学实践连接到学生数学核心素养水平的发展。

数学教师TPACK水平的发展最终指向于学生数学核心素养水平的提高，通过其在教学过程中的实现路径我们可以看到，教学实践始终是两个结构联系的纽带，并在沟通教师和学生两个群体中发挥关键作用。在教学实践中，应当处理好“以学生为中心”和“以教师为中心”、“现实的教学效果”和“潜在的教学效果”两对关系，在教师信念调配下达成知识理解、知识迁移和知识创新的目标，不断提升学生的数学核心素养水平。