浅谈n级行列式的计算方法

赵永良

[摘要]本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了计算行列式的几种行之有效的方法。除比较常用的定义法、化三角形法等方法外，还介绍了换元法、幂级数变换等技巧性较高的行列式的计算方法。只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上解决行列式的计算问题。

[关键词]n级行列式;逆序数;代数余子式;换元法;幂级数变换

引言

行列式的计算是高等代数的重要内容之一，也是学习中的一个重难点。对于阶数较低的行列式，一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果。但对于一般的n阶行列式，特别是当n比较大时，直接用定义计算行列式往往比较困难和烦琐，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要。只有掌握一定的计算技巧和方法，才能使计算大大简化，从而得出结果。将本文介绍的几种计算方法加以综合应用，就能基本L解决行列式的计算问题。

一、预备知识

（一）定义n级行列式

其中j₁j₂…j_n为n级排列，τ（j₁j₂…j_n）为它的逆序数。

（二）性质

性质1 行列式转置后值不变，D'=D。

性质2 行列互换，行列式不变。即

性质3 一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。即

性质4 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应行一样。即

性质5 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。

性质6 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。即

性质7 把一行的倍数加到另一行，行列式值不变。即

性质8 交换行列式中两行的位置，行列式反号。即

二、重要结论及证明

定理（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了K（1≤k≤n-1）个行，由这K行元素组成的一切K级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。

证 设D中取定K行后得到的子式为M₁，Mt它的代数余子式分别为A₁，A₂，…，A_t，定理要求证明

D=M₁A₁+M₂A₂+…M_tA_t.

由于M_iA_i（i=1，2，…，t）中每一项都蔇D中一项而且符号相同。而且M_iA_i和M_jA_j（i≠j）无公共项，因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就可以了。显然等式左边共有n！项，为了计算右边的项数，首先来求出t。根据子式的取法知道

t=C_n^k=n！[k！（n-k）！]

因为M_i中共有K！项，A_i中共有（n*k）！项。所以右边共有

t.k！.（n-k）！=n！

项。定理得证。

三、求行列式的十种方法

（一）定義法

自接利用行列式的定义进行计算，此方法适用于行列式中有较多零元素的情形。

例1 计算n级行列式

解 此行列式刚好只有n个非零元素a₁₂，a₂₃，…a_n-1，n，a_n1，故

D=（-1）^{τ（23…n1）}a₁₂a₂₃…a_n-1，na_n1=（-1）^n-1n！

（二）数学法归纳法

先通过计算一些初始行列式D₁，D₂，D₃等，找出它们的结果与级数之间的关系，用不完全归纳法对D_n的结果提出猜想，然后再用数学归纳法证明其猜想成立。

例2 计算n级行列式

解 易得

D₁=cosθ

由D₁，D₂，D₃的结果猜想：

D_n=cosnθ.

以下用数学归纳法证明这一猜想。

当时n=1，2，3已验证猜想成立。

假设=k-1，n=4猜想成立，将D_k+1的最后一列展开整理得

D_k+1=（-1）^2k+2cosθ.D_k+（-1）^（k+1）+k.1.1.（-1）^k+kD_k-1

=2cosθ.D_k-D_k-1，

由归纳假设有

D_k-1=cos（k-1）θ，D_k=cnskθ，

从而

D_k+1=cosθ.coskθ-cos（k-1）θ

=2cosθ.cos（kθ）-cos（kθ）-cos（kθ）.cosθ-son（kθ）.sinθ

=cos（kθ）cosθ-sin（kθ）sinθ

=cos（k+1）θ

故猜想对一切自然数n均成立，从而有

D_n=cosnθ

（三）滚动相消法

当行列式两行的值比较接近时，可采取计相邻行中的某一行减（或加）上另一行的若于倍，这种方法叫滚动相消法。一般利用此方法后，最好在化简后的行列式的第一行（列）能产生较多的零，以便再用降级法来做己其特点是各行（列）的元素之和都相同。

例3 计算n级行列式

解 考虑到D的每一行之和为定值1+2+3+…n=n（n+1）/2，故将D的第2列，…，第n列依次加到第1列，则

（四）化三角行列式法

利用行列式的性质，把原行列式化为上（或下）三角形行列式，使其形变值不变，于是原行列式值等于此上（或下）三角形行列式的主对角线的元素之积。

例4计算n级行列式

解 将第一行的-1悟加到其余各行，得

（五）折项法

把一个行列式拆成若干个行列式的和，拆开以后的行列式有规律可循，并且容易计算。

例5 计算n级行列式

解 将D_n按第列拆成两行列式之和，其中

λ=c+（λ-c），得

由例3的结果得

D_n=c[x-b+（n-2）（a-b）]（x-b-a+b）^n-2+（λ-c）[x+（n-2）a]（x-a）^n-2

=（x-a）^n-2[λx+λ（n-2）a-（n-1）bc]

（六）加边法

把、阶行列式适当的添加m行m列（m≥1），使得到的n+m阶行列式与原行列式相等，而且升阶后的行列式易于计算，进而求出原n阶行列式。这种方法叫作升阶法，又叫作加边法。

例6 计算n级行列

解 把原式提升为n+1阶行列式

（七）拉普拉斯展开法

运用公式|D|=M₁A₁+M₂A₂+…+M_tA_t来计算。其中M₁，M₂，…，M_t为D中取定k行后得到的子式，A₁，A₂，…，A_t分别为它的代数余子式。

例7 计算n级行列式

解 取第1，3，…，2n-1行，第1，3，…，2n-1列展开得

（八）递推法

该方法是将计算行列式的问题变形为求数列通项公式的问题。

例8计算n级行列式

解当n≥3时，按第一行展开得

D_n=（1-a）D_n-1+aD_n-2，

于是

从而

又容易验证，此结果对n=1，2也成立。

（九）換元法

用同一个元素x加到n级行列式D中每一个元素上得到一个新的n级行列式D，那么

其中A_ij是D中元a_j的代数余子式。

一般地，用x₁，x₂，…，x_n分别加到n级行列式D中第1，2，…，n列的每一个元素上得到一个新的n级行列式D，那么

其中A_ij是D中元素a_ij的代数余子式。

换元法就是利用（1）（2）两式，进行计算行列式的方法。

例9 计算n级行列式

中每个元素加上x所得，因此

（十）幂级数变换法

把一类行列式转化为差分方程，再利用幂级数变换求解差分方程，即可求出行列式值。

例10 计算n级行列式

解n≥2时，按第一列展开得

D_n=D_n-1+D_n-2

该行列式序列D₁，D₂，D₃，…，是斐波那契数列，开始项为1，2，以后各项均为前两项之和，上式变形为

D_n-D_n-1-D_n-2=0（n=3，4，5，…）

设F（x）是{D_n}的生成函数

F（x）=D₁x+D₂x²+D₃x³+…+D_nxⁿ+…（1）

用（-x）剩（1）式得

-xF（x）=-D₁x²-D₂x³-D₃x⁴-…-D_nxⁿ⁺¹-…

（2）

用（-x²）乘（1）试得

-x²F（x）=-D₁x³-D₂x⁴-D₃x₅-…D_nxⁿ⁺²-…

将（1）（2）（3）式相加得（3）

F（x）（1-x-x²）=D₁x+（D₂-D₁）x²+（D₃--D₂-D₁）x³+…+（D_n-D_n-1-D_n-2）xⁿ+…

由于D_n-D_n-1-D_n-2=0（n=3，4，5），且D₁=1，

方程1-x-x²=0的两个根为

比较（1）式和（4）式得系数

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2008.

[3]王文省，赵建立，于增海，等.高等代数[M].济南：山东大学出版社，2004.

[4]周金土.高等代数解题思想与方法[M].杭州：浙江大学出版社，2008.

[5]黎伯堂，刘桂真.高等代数解题技巧与方法[M].济南：山东科学技术出版社，2002.

[6]曹重光，张显，唐孝敏.高等代数方法选讲[M].北京：科学出版社，2011.

[7]单静.高等代数典型问题学习与研究[M].长春：吉林人民出版社，2005.