赵永良
[摘要]本文探讨了行列式的计算方法问题,介绍了计算行列式的几种行之有效的方法。除比较常用的定义法、化三角形法等方法外,还介绍了换元法、幂级数变换等技巧性较高的行列式的计算方法。只要灵活地运用这些计算技巧和方法,就可以基本上解决行列式的计算问题。
[关键词]n级行列式;逆序数;代数余子式;换元法;幂级数变换
引言
行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是学习中的一个重难点。对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果。但对于一般的n阶行列式,特别是当n比较大时,直接用定义计算行列式往往比较困难和烦琐,因此研究行列式的计算方法则显得十分必要。只有掌握一定的计算技巧和方法,才能使计算大大简化,从而得出结果。将本文介绍的几种计算方法加以综合应用,就能基本L解决行列式的计算问题。
一、预备知识
(一)定义n级行列式
其中j1j2…jn为n级排列,τ(j1j2…jn)为它的逆序数。
(二)性质
性质1 行列式转置后值不变,D'=D。
性质2 行列互换,行列式不变。即
性质3 一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。即
性质4 如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应行一样。即
性质5 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零。
性质6 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零。即
性质7 把一行的倍数加到另一行,行列式值不变。即
性质8 交换行列式中两行的位置,行列式反号。即
二、重要结论及证明
定理(拉普拉斯定理)设在行列式D中任意取定了K(1≤k≤n-1)个行,由这K行元素组成的一切K级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
证 设D中取定K行后得到的子式为M1,Mt它的代数余子式分别为A1,A2,…,At,定理要求证明
D=M1A1+M2A2+…MtAt.
由于MiAi(i=1,2,…,t)中每一项都蔇D中一项而且符号相同。而且MiAi和MjAj(i≠j)无公共项,因此为了证明定理,只要证明等式两边项数相等就可以了。显然等式左边共有n!项,为了计算右边的项数,首先来求出t。根据子式的取法知道
t=Cnk=n![k!(n-k)!]
因为Mi中共有K!项,Ai中共有(n*k)!项。所以右边共有
t.k!.(n-k)!=n!
项。定理得证。
三、求行列式的十种方法
(一)定義法
自接利用行列式的定义进行计算,此方法适用于行列式中有较多零元素的情形。
例1 计算n级行列式
解 此行列式刚好只有n个非零元素a12,a23,…an-1,n,an1,故
D=(-1)τ(23…n1)a12a23…an-1,nan1=(-1)n-1n!
(二)数学法归纳法
先通过计算一些初始行列式D1,D2,D3等,找出它们的结果与级数之间的关系,用不完全归纳法对Dn的结果提出猜想,然后再用数学归纳法证明其猜想成立。
例2 计算n级行列式
解 易得
D1=cosθ
由D1,D2,D3的结果猜想:
Dn=cosnθ.
以下用数学归纳法证明这一猜想。
当时n=1,2,3已验证猜想成立。
假设=k-1,n=4猜想成立,将Dk+1的最后一列展开整理得
Dk+1=(-1)2k+2cosθ.Dk+(-1)(k+1)+k.1.1.(-1)k+kDk-1
=2cosθ.Dk-Dk-1,
由归纳假设有
Dk-1=cos(k-1)θ,Dk=cnskθ,
从而
Dk+1=cosθ.coskθ-cos(k-1)θ
=2cosθ.cos(kθ)-cos(kθ)-cos(kθ).cosθ-son(kθ).sinθ
=cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ
=cos(k+1)θ
故猜想对一切自然数n均成立,从而有
Dn=cosnθ
(三)滚动相消法
当行列式两行的值比较接近时,可采取计相邻行中的某一行减(或加)上另一行的若于倍,这种方法叫滚动相消法。一般利用此方法后,最好在化简后的行列式的第一行(列)能产生较多的零,以便再用降级法来做己其特点是各行(列)的元素之和都相同。
例3 计算n级行列式
解 考虑到D的每一行之和为定值1+2+3+…n=n(n+1)/2,故将D的第2列,…,第n列依次加到第1列,则
(四)化三角行列式法
利用行列式的性质,把原行列式化为上(或下)三角形行列式,使其形变值不变,于是原行列式值等于此上(或下)三角形行列式的主对角线的元素之积。
例4计算n级行列式
解 将第一行的-1悟加到其余各行,得
(五)折项法
把一个行列式拆成若干个行列式的和,拆开以后的行列式有规律可循,并且容易计算。
例5 计算n级行列式
解 将Dn按第列拆成两行列式之和,其中
λ=c+(λ-c),得
由例3的结果得
Dn=c[x-b+(n-2)(a-b)](x-b-a+b)n-2+(λ-c)[x+(n-2)a](x-a)n-2
=(x-a)n-2[λx+λ(n-2)a-(n-1)bc]
(六)加边法
把、阶行列式适当的添加m行m列(m≥1),使得到的n+m阶行列式与原行列式相等,而且升阶后的行列式易于计算,进而求出原n阶行列式。这种方法叫作升阶法,又叫作加边法。
例6 计算n级行列
解 把原式提升为n+1阶行列式
(七)拉普拉斯展开法
运用公式|D|=M1A1+M2A2+…+MtAt来计算。其中M1,M2,…,Mt为D中取定k行后得到的子式,A1,A2,…,At分别为它的代数余子式。
例7 计算n级行列式
解 取第1,3,…,2n-1行,第1,3,…,2n-1列展开得
(八)递推法
该方法是将计算行列式的问题变形为求数列通项公式的问题。
例8计算n级行列式
解当n≥3时,按第一行展开得
Dn=(1-a)Dn-1+aDn-2,
于是
从而
又容易验证,此结果对n=1,2也成立。
(九)換元法
用同一个元素x加到n级行列式D中每一个元素上得到一个新的n级行列式D,那么
其中Aij是D中元aj的代数余子式。
一般地,用x1,x2,…,xn分别加到n级行列式D中第1,2,…,n列的每一个元素上得到一个新的n级行列式D,那么
其中Aij是D中元素aij的代数余子式。
换元法就是利用(1)(2)两式,进行计算行列式的方法。
例9 计算n级行列式
中每个元素加上x所得,因此
(十)幂级数变换法
把一类行列式转化为差分方程,再利用幂级数变换求解差分方程,即可求出行列式值。
例10 计算n级行列式
解n≥2时,按第一列展开得
Dn=Dn-1+Dn-2
该行列式序列D1,D2,D3,…,是斐波那契数列,开始项为1,2,以后各项均为前两项之和,上式变形为
Dn-Dn-1-Dn-2=0(n=3,4,5,…)
设F(x)是{Dn}的生成函数
F(x)=D1x+D2x2+D3x3+…+Dnxn+…(1)
用(-x)剩(1)式得
-xF(x)=-D1x2-D2x3-D3x4-…-Dnxn+1-…
(2)
用(-x2)乘(1)试得
-x2F(x)=-D1x3-D2x4-D3x5-…Dnxn+2-…
将(1)(2)(3)式相加得(3)
F(x)(1-x-x2)=D1x+(D2-D1)x2+(D3--D2-D1)x3+…+(Dn-Dn-1-Dn-2)xn+…
由于Dn-Dn-1-Dn-2=0(n=3,4,5),且D1=1,
方程1-x-x2=0的两个根为
比较(1)式和(4)式得系数
参考文献:
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