两角和差正切公式变形应用

金鑫 王丽杰

一、公式变形的过程

在实战中两角的正切公式几乎是都需要变形，对于公式：tan（α+β）= tanα+tanβ 1-tanα·tanβ .

我们把tanα，tanβ，tan（α+β）這三个量看成三个不同的箱子，我们用三个符号来表示这三个箱子，分别是△，□，○，

代入公式中得到：○= △+□ 1-△·□ .

这样我们的公式经过整理就变成：○=[△+□]+○·△·□.

接下来我们从下面三个方面介绍这个变形公式.

二、从例题中看效果

例1   已知tanB+tanC+ 3 tanB·tanC= 3 ，求tan（B+C）.

本题直接与变形后的公式对照即可得出答案是 3 .

例2   计算tan23°+tan37°+ 3 tan23°·tan37°.

本题依旧是直接与公式进行对照可直接得出答案 3 .

例3   已知tanα+tanβ=2，tan（α+β）=4，求tanα·tanβ.

直接代入到变形公式即可.

例4   已知tan28°·tan32°=m，求tan28°+tan32°.

直接代入到变形公式即可.

例5   tanα和tan  π 4 -α 是方程ax2+bx+c=0的两个根，求系数间的关系.

通过韦达定理可以用系数表示两根乘积和两根和，利用变形公式即可解决系数关系.

例6   在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，求tanC.

方法同上，但是需要注意tan（A+B）=-tanC.

例7   已知 3 tanA+ 3 tanB+1=tanA·tanB，求 tan（A+B）.

首先把系数提出来 3 （tanA+tanB）+1=tanA·tanB，

然后开始变形，变成与变形公式一致

1=- 3 （tanA+tanB）+tanA·tanB.

重点分析：这里变形时一定要注意后面那个加号，那里必须是加号.

最后一步把和的系数消除掉，这样每一项都除以- 3 .

结果也就呼之欲出了，tan（A+B）=-  3  3 .

例8   已知α，β均为锐角，tanα= 3 （1+m）， 3 （tanα·tanβ+m）+tanβ=0，求α+β.

tanα= 3 + 3 m，

3 tanα·tanβ+ 3 m+tanβ=0，

两个等式左右对应相加得到：

3 tanα·tanβ+tanα+tanβ= 3 ，

可直接应用变形公式观察得到tan（α+β）= 3 ，

因为α，β均为锐角，所以α+β∈（0，π），值为 3 ，

所以α+β= π 3 .

三、两角差变形的注意事项

○=[△+□]+○·△·□.

○=[△-□]-○·△·□.

通过对两个变形公式的对比发现右侧符号一致，这里笔者推荐各位读者先熟练掌握两角和，然后再掌握两角差，对于符号的问题非常好解决，只有关注中括号里面是和还是差就可以判断后面的符号情况了.

四、设计构思

变形公式具备着原始公式无法超越的速度，虽然只是简单的变形，但是做题速度和准确率都大大提高，这点通过上面的习题，相信读者已经感受到了.

那么为什么这个变形公式的效果这么好，原因就在于出题者对题目结构的建立，必须要处理本来是相除的原始公式，可以说这是必需的环节，而且还要移项，再进行最终的赋值，或者是引入方程等.

而变形公式直接找到了题目结构的入口，可以说很多同学不会完全是因为没有找到入口.

希望各位读者可以把这种想法利用在别的题目上，小小的两个操作改变了公式，但是却加大了解题的速度，找到了题目的入口.