浅谈高考线性规划题备考策略

夏素芬

简单的线性规划一直是高考的高频考点，文理都有，一般以选择题或填空题形式出现，分值5分，近几年难度不大，趋于稳定，更多的是考查用数形结合思想求目标函数最值的工具性.如果复习得当，则事半功倍.本文将常见的线性规划题目类型归纳如下.

一、基础型

例1   （2015年文15）若x，y满足约束条件 x+y-2≤0，x-2y+1≤0，2x-y+2≥0，   则z=3x+y的最大值为 .

答案  4.

解析  作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3x+y=0，平移直线l0，当直线l：z=3x+y过点A时，z取最大值，

由 x+y-2=0，x-2y+1=0，

解得A（1，1），∴z=3x+y的最大值为4.

点评  此种类型是考查线性规划题目的基本类型，目标函数是线性表达式，把z看作直线y=-3x+z的纵截距，有时z可看作线性函数的纵截距的倍数，反映了求解线性规划问题的基本方法—平移法.

二、几何型

例2   若实数x，y满足 x≥0，y≥0，4x+3y≤12，  则z= y+3 x+1 的取值范围是（  ）.

A.  3 4 ，7

B.  2 3 ，5

C.  2 3 ，7

D.  3 4 ，7

答案  D.

解析  作出可行域如圖中阴影部分所示，将目标函数z= y+3 x+1 看作过两点（x，y）和P（-1，-3）的直线的斜率，结合可行域可得出kPA= 3 4 ，kPB=7，所以得出选项D.

点评  此种线性规划题目特点是——目标函数表达式不是线性形式，但却具有明确的几何意义，依据几何意义，结合可行域可找出目标函数的最值.常遇到具有几何意义的表达式还有两点间距离的平方、点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数取值范围.

三、应用型

例3   （2016文、理16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时.生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.

答案  216000.

解析  设生产产品A、产品B分别为x件，y件，利润之和为z元，那么由题可得：

约束条件 1.5x+0.5y≤150，x+0.3y≤90，5x+3y≤600，x≥0，y≥0，

目标函数z=2100x+900y.

约束条件等价于 3x+y≤300，10x+3y≤900，5x+3y≤600，x≥0，y≥0，  ①

作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.

将z=2100x+900y变形，得y=- 7 3 x+ z 900 ，

作直线：y=- 7 3 x并平移，当直线y=- 7 3 x+ z 900 经过点M时，z取得最大值.

解方程组 10x+3y=900，5x+3y=600，  得M的坐标为（60，100）.

所以当x=60，y=100时，

zmax=2100×60+900×100=216000.

故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.

点评  此种类型的特点是可行域约束条件和目标函数没有直接给定，需要根据题意分析列出即建立线性规划模型，首先解决数学问题，再反馈到实际生活中去，充分体现 了线性规划知识作为数学工具在实际生活的应用.

四、变化型

例4   （2017石家庄二模）已知x，y满足约束条件 2x-y≥0，2x+y≤6，y≥ 1 2 ，  则y+ 1 2x 的最大值为 .

答案   10 3 .

解析  设y+ 1 2x =z，则

y= - 1 2  x +z，

将y= - 1 2  x 向上平移至A  3 2 ，3 处z最大，

此时，zmax=3+ 1 2× 3 2  = 10 3 .

点评  此类题型的特点是目标函数不是熟悉的直线型，也不具有明显的几何意义，感觉无从下手，但按照解决线性规划题目的基本方法尝试下去，会发现仍然可用平移法解决问题，只不过平移的函数变成了反比例函数.

五、参数型

例5   设x，y满足约束条件 x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2，   若目标函数 z=ax+3y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（  ）.

A.（-6，3） B.（-6，-3） C.（0，3） D.（-6，0]

答案  A.

解析  作出约束条件 x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2  表示的可行域如图所示，将z=ax+3y化成y=- a 3 x+ z 3 ，

需要将- a 3 与可行域的边界所在直线的斜率进行比较验证是否符合题意，经讨论可得：

当-1<- a 3 <2时，y=- a 3 x+ z 3 仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数z=ax+3y仅在点A（1，0）处取得最小值，解得-6<a<3.故选A.

点评  此类问题的特点是目标函数中含有参数，加大了题目的难度，求解时需要根据题意对参数进行讨论，有时参数还可以出现在目标函数中.

综上可知：线性规划是解决一类特定问题求最值的特定方法，运用数形结合思想，直观明了.要想线性规划题目不失分，首先要打牢基础，掌握好基础型，其他类型都是在基础型的基础上演变而来，只要牢牢把握住转化、平移的思想，线性规划问题将迎刃而解.