几道上海高考题引发的思考

杜忠辉

【摘要】 梳理近几年上海高考题，笔者发现不定方程问题常常出现，问题主要是通过函数、三角函数、统计等形式来呈现，本质上是考查变量及函数的最值，借助极端原理，将不定方程转化为一元不等式求解，将多元化归到一元.不定方程求解方法很多，极端思想只是其中一种，最后笔者探究和归纳了一类极端原理可求解的不定方程.

【关键词】 上海高考题;不定方程;极端原理

一、题 目

题1  （2017年上海秋考数学11题）设α1，α2∈ R ，且 1 2+sinα1 + 1 2+sin2α2 =2，则|10π-α1-α2|的最小值等于 .

题2  （2015上海高考理13题）已知函数f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1<x2<…<xm≤6π，且 |f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|= 12（m≥2，m∈ N *），则m的最小值为 .

题3  （2014高考数学上海卷）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 .

二、背景及解析

前两道题以三角函数为载体考查不定方程求解或求相应变量最值问题.具体求解如下：

题1  由-1≤sinα1≤1，-1≤sin2α2≤1，

可得 1 3 ≤ 1 sinα1+2 ≤1， 1 3 ≤ 1 sin2α2+2 ≤1，

故 2 3 ≤ 1 sinα1+2 + 1 sin2α2+2 ≤2，

又已知 1 2+sinα1 + 1 2+sin2α2 =2，

可得sinα1=1，sin2α2=1.

于是α1= π 2 +2kπ，2α2= π 2 +2mπ（m，k∈ Z ），

所以α1+α2= 3π 4 +2kπ+mπ（m，k∈ Z ），

α1+α2= 3π 4 +tπ（t∈ Z ），

则|10π-α1-α2|=  π 4 +（9-t）π ≥ π 4 .

题2  由|f（x）-f（y）|≤|f（x）max-f（x）min|=|f（x）min- f（x）max|=2，可知

|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|≤2（m-1），于是12≤2（m-1），

即m-1≥6，至多6个2，然而，结合正弦函数图像相邻最值点最多5组，最多5×2=10，再添2个端点，一共8个点，故m的最小值为8.如下图：

这两个不定方程问题，解法都是抓住三角函数最值，将不定方程转化为不等式问题，这其实是极端原理思想的应用.

一般地，把直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法称为极端原理.特别地，代数变量或函数的极端情形就是最大或最小值.

题3  由已知得 1·P1+2·P2+…+5·P5=4.2，P1+P2+…+P5=1，

这是一个多元不定方程组，消去P4本质上是一个多元不定方程

1P1+2P2+3P3+4（1-P1-P2-P3-P5）+5P5=4.2，

即（P5-0.2）-3P1-2P2-P3=0，这里0≤Pi≤1，i=1，2，3，5，

所以P5-0.2=3P1+2P2+P3≥（3P1+2P2+P3）min=0，当且仅当P1=0，P2=0，P3=0时取等号，故P5≥0.2.

那极端原理能不能解决一类不定方程呢？解决哪一类？下面笔者进行了探究和归纳.

三、极端原理可求解一类不定方程

多元不定方程f（x1，x2，x3，…，xn）=0，x1∈D1，x2∈D2，…，xn∈Dn可分解為f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）=0型，且f2（x2），f3（x3），…，fn（xn）有界，求变量x1的最值.

记Mi=max{fi（xi）}或sup{fi（xi）}，i=2，3，…，n为函数fi（xi）的最大值或者上确界;

mi=min{fi（xi）}或inf{fi（xi）}，i=2，3，…，n为函数fi（xi）最小值或下确界.

根据mi≤fi（xi）≤Mi，可得 f1（x1）+∑ n i=2 mi≤0，f1（x1）+∑ n i=2 Mi≥0，

即-∑ n i=2 Mi≤f1（x1）≤-∑ n i=2 mi，

从而求解出主元x1的取值范围.

【参考文献】

[1]方先进，程国元.例说极端化原理在解题中的运用[J].数学教学研究，2006（1）：32-34.

[2]张栋平.例说极端性原理的应用[J].中学数学研究，2004（3）：38-39.

浅谈高中数学的解题技巧

浅谈高中数学的解题技巧

◎王湛茹 （本溪市高级中学，辽宁 本溪 117000）

【摘要】 高中数学同初中数学相比，除了知识点内容更加复杂以外，题目类型的多种多样也是一大难点.因此，要想学好高中数学，会解题是基础.另一方面，做题除了多做，掌握不同种类的题型外，还要善于思考，对各种题型以及题目考查的内容和侧重方向进行深入的分析，并注意领会和总结.笔者在高中学习中，数学一直是笔者的强项，笔者认为造成数学成绩差距的主要原因就是在学习过程中的总结和归纳.下面笔者简单谈一谈自己学习数学的心得体会.

【关键词】 数学;解题技巧;高中

一、高中数学的特点

（一）高中知识的特点

（1）高中知识面更加广泛.在升入高中之后，数学在知识的内容涵盖的范围更加广泛.高中数学的试题量也越来越大.而许多試题考查的知识点在课堂上并没有学到，这一部分知识主要是通过做卷子来获得.（2）知识的针对性变强.高中数学的另个特点就是知识考查更加具有针对性，同初中数学“泛泛而考”有所不同，高中数学在考试时会针对性的考查学生对固定几个知识点的掌握情况，因此，除了要具备基本的逻辑推理和计算能力外，知识点掌握情况也是高中数学考查的另一个重点.另一方面，高中数学的专业词汇也越来越多高中数学综合了符号语言、逻辑运算语言、函数语言、图形语言等内容.抽象化程度大大提高.（4）更加注重考查解题思路.高中数学解题思维与初中不大相同.① 形成初中阶段在数学学习中习惯用一些固定的解题模式，而高中数学在解题时，很多时候需要变换解题思路才能解题.

（二）高中数学试题的考查点

从笔者自身的角度来看，高中数学在解题上更加侧重于考查学生的解题思路，笔者在解题过程中经常会遇到一题多解的情况，很多时候一道题可以代数法解，用几何方法也能解，这些解题方法的区别在于解题花费的时间以及解题的出错率.有些题目用某种解题方法就会非常耗时耗力，而且容易出错，而用另一种算法就“省时省力”，而且不容易出错.也就是说，高中数学试题的考查点主要放在对学生使用哪种解题方法上，选择解题方法也占据了高中数学解题中的很大一部分内容.

（三）高中数学同初中数学的区别

笔者在刚升入高中的时候成绩不是很理想，在初中上学时笔者的数学成绩还是很优秀的.笔者分析了下原因，发现自己是由于缺乏对高中数学特点的了解，高中数学的基础没有打牢，起步没有开好头，数学成绩总是垫底，然后再怎么努力学习都没有多大的提升.针对这个情况，笔者进行深入的反思，发现是自己的学习方法出了问题，笔者把高中数学的学习方法总结为几个词语：分析，逻辑，总结.② 这三个关键词也是笔者认为在升入高中后需要坚持的学习方法.

二、高中数学的解题技巧

（一）善于总结解题方法

高中的试题量非常大，在做题中总结题型，并对解题思路和解题方法进行归纳对学好高中数学有很大的作用，只有掌握数学的思想，灵活的运用各种解题方法，才能达到轻 松学习，快速准确解题的效果.以下是几种常用到的解题思路：

（1）换元思想.换元思想是数学解题中的一个重要思想.要想把高中数学题解的又快、准确率又高，就要善于找到数学题中的规律，其中换元思想是一个经常可以用到的解题思路.其具体的方法是：找到式子中的可换变量，将把陌生的式子变为熟悉的形式，方便我们快速解题.换元的难点在于准确的找出式子中的可换部分，这一部分可以是一个组合式，然后我们通过设元来代替它，通过一系列计算将式子简化，然后在将元替换回来达到快速准确解题.

换元的优点在于使复杂问题简单化，变得容易处理.换元思想可以应用于很多类型的题型中，主要形式可以是降次、变分式为整式等，在许多的问题中都可以用到.③ 例如，

已知：x=2，y=3，求（2x+2y）·（2x-6y）-（2x+2y）·（4x+6y）.

就可以设t=（2x+2y），

化简上述方程式得到t·（-2x），

得到结果为-40.

（2）逆向思维.高中数学题中，选择是一块占很大分值的题.在做选择题时很多时候我们不能直接找到正确的答案，这时我们需要进行答案排除，这也是数学解题中一个重要的思路.同样，我们在做证明题时还可以用到反证法，或者在一些不需要计算过程的试题中使用结论反推过程的方法来进行解题.在使用这一解题思路时，需要注意思维的缜密型，还要对数学的定理、公式以及他们的变形熟练掌握，因为如果依据是错的，那么往往不会得到正确的答案.

（3）归纳思想.高中数学很多知识都来源于试题之中，我们需要不断地解试题来巩固理论知识，熟悉解题方法.在做试题的过程中我们可以对做过的题型进行有效的归纳.许多题型都是老题型的变形，我们在做试题时很多时候可以轻易想到这类试题的考点和难点.所以，我们平时在做试题时，要学会归纳，把做过的题型进行记录梳理，找出最优解法.对于涉及的知识点内容要进行复习.这样我们在此遇到类似的题目时，就可以想到这一类试题的考点内容，我们就能更加快速地进行解题.当我们把所有类型的试题都归纳全面时，我们在进行数学解题时就可以非常熟练了.

四、结束语

许多同学普遍反映对于课堂上教师讲授的内容都没有深入理解，学生只是单纯的可以听懂教师讲授的知识点，但是仍然不能够很熟练地运用到解题中.高中的数学需要不断地总结解题方法，并且还要注意多做题来进行巩固，这样才能熟练解题.高中数学是一个不断积累和学习的过程，需要在学习中不断培养自己的解题思路，养成自己的解题习惯，同时还要灵活的掌握和运用各种解题方法，这样才能更快、更准确地做好数学试题.以上是我对高中数学一些粗浅的认识，希望可以给大家起到借鉴的作用.

【参考文献】

[1]袁昕晨.“数形结合”——高中代数解题的分析[J].考试周刊，2018（28）：108.

[2]窦立群.高中数学教学中如何化错为利[J].考试周刊，2018（25）：83.