解析运用简单线性规划思想求最值问题

纪智斌

【摘要】 线性规划是高中数学的重要基础知识，是高考的重点内容，尤其运用线性规划思想求最值在高考中出现的频率较高.研究得知，这类题目难度不大，为避免学生在高考中失分，教学实践中教师应注重相关题型的讲解，不断提高学生的解题能力，使学生在高考中取得理想成绩.

【关键词】 线性规划;思想;求最值;问题

一、线性目标函数求最值

线性目标函数求最值是学生最先接触的一类题型，难度不大，解答该类题目的关键在于根据已知条件正确画出可行域.对于可行域为封闭图形的试题而言，要求函数的最值一般在顶点或封闭图形的边界取得，因此，学生还应正确计算出交点坐标.

例1   已知x，y满足 x-4y≤-3，3x+5y≤25，x≥1，  求z=2x+y的最值.

分析  解答该题目时，首先画出可行域范围，如图1所示，画出2x+y=0的直线，通过平移可知，z在B点取得最小值，在A点取得最大值.通过联立对应不等式，不难解出B（1，1），A（5，2）代入的z的最小值为3，最大值为12.

求解线性目标函数最值时，为保证解题正确性，应注意：（1）对于选择题型，可通过代入特殊值进行判断，例如，若直线不过原点，可将原点代入进行分析.（2）看清约束条件中的不等号是否有等号，含等号则画实线，不含等号画虚线.

二、非线性目标函数求最值

非线性目标函数求最值类型的题目难度中等，解题时需要学生进行适当转化，或能够看出目标函数表示的几何意义，利用数形结合方法进行求解，因此，解答该类题目时，学生先不要动笔，应冷静的分析，找到解题突破口.

例2   已知实数x，y满足 x+y-3≥0，x-y+1≥0，x≤2，  若z=x2+y2，求z的最大值与最小值.

分析  解答该题目时，根据约束条件正确画出可行域对学生而言难度不大，但部分学生对z=x2+y2的理解不深入，不知如何求解.事实上，其表示的几何意义为可行域上的点到原点距离的平方.通过这样的分析，便不能进行求解.由已知条件，画出图2可行域.

过原点作和x+y-3=0垂直的直线l.垂足为N，显然直线l的方程为y=x，联立方程组 x+y-3=0，y=x，  可得N点坐标  3 2 ， 3 2  ，其在线段AB上，也在可行域内.由图形可知 点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小，显然|OM|= 13 ，|ON|=  9 2  ，即，z=x2+y2的最大值为13，最小值为 9 2 .

非線性函数求最值主要利用其几何意义进行求解，其中（x-a）2+（y-b）2， y-b x-a ，|Ax+By+C|类型的非线性函数较为常见，其中（x-a）2+（y-b）2表示的几何意义为点（x，y）和点（a，b）距离的平方. y-b x-a 表示点（x，y）和点（a，b）连线的斜率.|Ax+By+C|表示点（x，y）到直线Ax+By+C=0距离的 A2+B2 倍.

三、实际应用中求最值

线性规划在解决实际问题中应用广泛，相关题目在高考中多有体现.该类题目需要学生从题干中找到约束条件，而后进行求解，难度相对较大，重点考查学生运用所学解决实际问题的能力，因此，教学实践中，教师应多注重该类型题目的讲解.

例3   某电脑用户准备花费500元购买软件及磁盘，其中软件单价60元，磁盘单价70元，软件购买数量不能少于3套，磁盘不能少于2个，共有多少种选择方法？两种商品最多能买多少？

分析  该题目创设的情景并不复杂，显然需要根据题干条件，准确找到约束条件而后进行解答，但需要注意的是该题目与一般线性规划类的题目不同，求解的参数均为整数.设软件购买套数为x套，磁盘购买个数为y个，一共购买z张，根据题目表述，得出以下约束条件：

x≥3，y≥2，60x+70y≤500，x，y∈ N *，

其中目标函数为z=x+y.

求解时根据约束条件画出图3.

由图3可清晰地看到满足条件的坐标共有7个，分别为（3，4），（4，3），（3，3），（6，2），（5，2），（4，2），（3，2）说明满足题意的方案共7套.利用平行法找最优点，可知最优点为（6，2），即，软件买6套，磁盘买2片.

应用线性规划思想求解实际问题时，为保证解题的正确性，学生应认真读题，理清参数间的关系，列出正确的约束条件，正确确定目标函数，一定要注意参数的取值，既要满足约束条件，又要满足实际情况.

四、结 论

线性规划是高中数学重要的知识点，相关题型常出现在高考中，包括线性目标函数求最值、非线性目标函数求最值、实际应用题型等，难度一般不大.为避免学生失分，提高解题正确率，教学实践中，教师应做好该类题型的总结，并根据不同题型讲解具体的题目，使学生掌握解答相关题型的技巧及注意事项.

【参考文献】

[1]焦国营.例谈线性规划思想在高中数学教学中的应用[J].求知导刊，2016（10）：105.

[2]贾金刚.浅议高中数学中线性规划思想在解题中的应用[J].中国培训，2016（2）：247.

[3]闫凤芹.数形结合思想在线性规划中的应用[J].学周刊，2013（5）：128.