向量基底法的应用

邵思青

【摘要】 向量基底法是平面向量基本定理应用的表现形式之一，也是高考热点问题之一.本文结合实例，探究向量基底法在解题中的应用.

【关键词】 向量基底法;应用

向量基底法是高三复习中大家关注的热点问题.笔者就高三一堂向量复习课中学生出现的一些问题，简要阐述向量基底法的应用在解题中的作用.

例1   如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则AE ·BD = .

学生解法：AE ·BD =（AC +CE ）·BD =AC ·BD +CE ·BD =CE ·BD =|CE |·|BD |·cos120°=1×2× - 1 2  =-1.

学生的思维比较直接，就题中的条件直接应用，充分利用菱形对角线互相垂直，值得称赞.笔者在点评时肯定了这一点，但同时，笔者将条件改为平行四边形，AB=3，其余条件不变，学生立刻知道以上方法行不通了，因为AC和BD不垂直了.那么有没有具有普遍性的解法呢？笔者引导学生思考给出另一条思路，联系平面向量基本定理，用基底来表示未知向量，即我们常说的向量基底法.它充分体现了解题时的转化思想.

学生：设AB = a ，AD = b ，∴ a · b =| a |·| b |cos60°=2，

∴AE =AB +BE = a + 1 2  b ，BD =AD -AB = b - a ，

∴AE ·BD =  a + 1 2  b ）（ b - a

= a · b - a 2+ 1 2  b 2- 1 2  a · b

=- a 2+ 1 2  a · b + 1 2  b 2

=-22+ 1 2 ×2+ 1 2 ×22

=-1.

点评：用已知向量作基底来表示未知向量是基底法的常见形式，这种解法就无惧刚才的变式，即使把AB长度变为3，也能迅速解决，体现了这种解法的普遍性.

在运用基底法解决向量问题时，除了用已知向量表示未知向量外，也可以用未知向量表示已知向量.笔者在课堂上没有直接告诉学生这点，而是给出了例题2让学生思考.

例2   在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB ·BC = .

学生解法：

AB ·AC =（AM +MB ）（AM +MC ）

=AM 2+AM ·MC +AM ·MB +MB ·MC

=AM 2+AM （MB +MC ）+MB ·MC .

∵MB =-MC ，BC=10，AM=3，

∴AB ·AC =32+5×5cosπ=-16.

点评：解法非常好，充分利用图中已知向量AM ，MB ，MC 来表示未知向量AB ，AC ，体现了转化思想，化未知为已知.笔者点评完之后，引导学生思考，可不可以化已知向量为未知向量呢？

师问：图中已知向量有哪些？未知向量有哪些？

生答：已知向量AM ，BC ，MB ，MC ，未知向量AB ，AC .

師问：两者之间有满足的等式吗？

生答：2AM =AB +AC ， ①

BC =AC -AB . ②

师问：欲求AB ·AC ，你能想到对①②两式怎么处理？

生答：对两式分别平方，因为平方后会出现欲求式AB ·AC .

师问：那多出的AB 2和AC 2怎么处理？

生答：两式相减消去即可.

至此本题完美解决，回顾本题的解题过程，关键在于将已知向量用未知向量来表示这一向量基底法的应用，转化思想体现得淋漓尽致.

波利亚认为，在解决一个自己感兴趣的问题之后，要善于去总结一个模式（或称为模型），并井然有序地储备起来，以后才可以随时支取它去解决类似的问题，进而提高自己的解题能力.在高三的复习教学中，作为教师一定要引导学生不断地总结，加大模式储备，提高自身的解题能力.

【参考文献】

[1]唐万年.高中数学中的向量探究[J].新课程（下），2018（1）：354.

[2]廖克杰.向量复习应注意的几个问题[J].广西教育B（中教版），2005（8）：25-26.