用几何直观解码数学抽象

余凤君

几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）新增核心概念之一，关于几何直观及其意义，《课标》中有清晰的论述，此处不再赘言。在整个义务教育阶段，《课标》对“几何直观”的目标设置层次也不丰富：第一学段的课程目标没有涉及几何直观，第二学段的“数学思考”目标中提出了让学生“感受几何直观的作用”，第三学段的“数学思考”目标中提出了让学生“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观”。加之画线段图在分析、解决数学问题上不可撼动的“霸主”地位，因而很多教师对这一概念的理解仅停留在“利用图形描述和分析问题”上，对于它的价值所在也仅限于“把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果”。然而学习数学，解题不是最重要的，因而把握几何直观的价值，不仅在于“探索解决问题的思路”，更重要的是“帮助学生直观地理解数学”。“直观”是相对于“抽象”而言的，抽象作为人头脑中的思维活动，往往具有隐性的特征。几何直观正是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生的对事物的性质或数量关系的直接感知与认识，对于数学教学来说，有学者将几何直观的表现形式分为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观，将以往教学中教师经常使用的直观手段都放在几何直观的范畴里，其意义也就在于凸显数学教育要灵活地运用各种几何直观形式形成认识事物的能力。

荷兰数学教育家弗莱登塔尔指出：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”在数学教学中，我们常会发现，有的学生对一些概念性的知识朗朗上口，但应用起来往往漏洞百出，其原因是对于以形象思维为主的小学生而言，抽象的概念理解起来往往非常困难，如能将一些概念、定理等与几何直观手段相结合，就能使抽象的概念具体化、复杂的问题简单化，学生也就容易接受了。众所周知，周长、面积、体积是小学阶段重要的几何概念，在整个图形与几何的知识体系学习中意义重大。学生在一维的长度概念基础上，学习二维的面积概念，并为后面学习三维的体积概念奠定基础，逐渐建立空间观念，形成对客观世界的完整认知。下面以北师大第四版教材三年级下册“什么是面积”的教学为例，谈谈几何直观手段在学生理解抽象的数学概念过程中产生的解码作用。

片段一：

（1）师：我们常常用到数学书，现在请伸出手摸摸数学书的表面，再来摸摸听算本的表面，再摸一摸你的课桌面，你有什么发现吗？

生：他们的表面都很滑。

师：我们这节课就从研究这些物体的表面开始。关于这些表面你们还有别的发现吗？

生：它们都是长方形的。

师：哦，你还从这些表面上发现了图形。

生：我还发现它们的表面有的大有的小。

师：哇，真仔細。那你能说一说它们谁的表面大谁的表面小吗？

生：桌子的表面大，数学书的表面小。数学书的表面比听算本的表面大。

师：数学书表面的大小就是数学书表面的面积。你能像这样也说一说什么是课桌和听算本表面的面积吗？

生：……

师：物体表面的大小就是他们的面积。你还能像这样找出身边其他物体的表面，并说一说什么是它们的面积吗？看一看，摸一摸，和同桌说一说。

生同桌交流。

（2）师：刚才有位同学还找到了学过的图形，老师上课前也从一些物体上拓画了几个图形在黑板上，想请同学到黑板上涂色比赛。要求在规定的时间内把图形涂满颜色。

生：……

师：时间到，同学们有什么想法吗？

生：左边这个同学虽然很快，但是没有涂满。右边这个同学涂得慢，但是涂满颜色了。

师：你是什么意思呢，你能到台上给大家解释下吗？

生（边指边说）：意思就是这里没有封口，你就要一直涂下去，一直涂下去，边没有封起来就涂不满。

师：哦，也就是说涂到这里有张开的口子我们就要一直往外涂，一直往外涂，如果这个黑板足够大，还要往外涂。（边说边演示）你们同意他的观点吗？

生：……

师：看来像这些封口的图形的大小我们就能确定，我们涂色就不能超出边线了。像这样封口的图形我们称为封闭图形。那这样不封口的图形你们觉得叫什么图形好？

生：……

师：封闭图形的大小，就是它们的面积。（手势）三角形的大小就是三角形的面积。你能和同桌说一说剩下的封闭图形的面积吗？

【思考】针对学生的实际情况，我将概念进行分层解读，设计了寻找身边物体的面这一环节，通过看一看、摸一摸、说一说来直观感受面的存在，形成关于面的表象，构建面积的概念模型，使学生体会：面在体上，面有大小，它指的是一块被包裹的区域。接下来，我通过涂色活动让学生感受只有封闭图形才能确定大小，开放图形无法确定大小，所以“封闭图形的大小就是它们的面积”。两次活动将概念进行分层解读，有效降低了学生的理解难点，借助身边常见的直观材料，通过看、比、涂等感知活动中把抽象的数学意义转换成儿童易于理解和运用的具体感受、直观形式，建立面积表象，逐步在活动中理解概念，把握概念的本质内涵，最终抽象出面积概念。

片段二：

师：下面两个图形你能比出它们谁的面积大，谁的面积小吗？

生：一眼就看出来了，左边图形面积小，右边图形面积大。

师：“看”出来的，这种比较面的方法叫“观察法”。那下面这两个图形你还能用观察法比出它们的面积大小吗？

生：可以把它们“重”起来比。（边演示边解释：就是把它们一边对齐，看看谁多出来了，就像以前比角的大小一样。）

师：真棒！还能用学过的办法解决今天的问题，这种方法叫“重叠法”。

师：下面还有一组图形，你怎样比较它们的面积？课件出示淘气量每条边的长度，再加起来比较。

师：你认为应该怎么比，可以在小组内讨论。

生：我们小组认为淘气这样比较面积不对，因为他量每条边的长度，再加起来实际上是在计算它们的周长，比的也是它们的周长，而面积是在里面包着的一片。

师：面积是里面包着的一片？什么意思？

生：我可以上来指一指吗？（边指边说）就是一周的边线围起来的里面这一片的大小。（教师板书：周长→线，面积→面的大小）

……

【思考】结合具体的问题情境通过观察、操作、估计和直观推理等活动认识面积的含义，初步学会面积的比较方法。在学习面积的比较方法时，基于学生的生活经验，通过设计直接观察比较，再到用重叠法比较，最后前两种方法都无法直接比较正方形，长方形的面积，产生动手实践需求，充分应用直观手段逐步引导学生走向思维的纵深处。周长和面积是刻划图形两个重要因素，也是学生容易混淆的知识点，根据淘气的比较方法，在小组内交流辨析，思维产生碰撞，引发学生进一步思考，依托构建的概念表征，直达抽象的概念本质。

片段三：

师：除了刚才我们找到的这些比较面积的方法，你还有别的比较方法吗？请比较信封中两个图形的面积（一个正方形、一个长方形），你可以用老师提供的材料（1角硬币、小正方形、剪刀、尺子、方格纸……），也可以自己想办法试一试。小组选择一种方法合作完成。

交流汇报。

生1：我们用硬币排满两个图形，发现正方形摆了16个硬币，长方形摆了15个，所以正方形面积大。

生2：我们跟他们结果一样，但是我们没有用那么多硬币。我们都用了7个。我们先横着摆一排，再竖着摆一列。发现正方形横着数摆4个，竖着数也是4个，角上有一个公用的。长方形横着数3个，竖着数5个，角上一个公用的。因为长方形对边相等，我们沿着它的长和宽摆，就能想象出要3排，每排5个，一共3个5就能擺满。正方形也可以这样想。

师：刚才两组的摆法有什么相同和不同之处？

生：……

师：还有别的方法吗？

（生先后汇报了用小正方形和方格纸）

师：对于这几种方法你有什么发现吗？

生1：都是看这个图形可以摆满多少个一样的东西。

生2：我还有一种计算方法。我用尺子分别量出长方形的长和宽，然后乘起来。

……

【思考】通过小组活动促使学生在操作实践中进一步丰富了对面积概念的理解，提供启发学生思维的脚手架，小组探究中学生体会到计量面积最基本的方法，即用相同的单位直接计量，为下一步学习面积单位打基础。尤其是一个小组出现的半铺法是我事先没有预想到的，但是也说明了学生的思维已经有了跳跃性，这将为后面长方形和正方形面积的计算埋下思考的种子，只要老师悉心浇灌，定会长出参天大树。

全课反思：

本课内容是关于面积的概念学习。文本呈现的内容也比较简单。但是数学概念教学中知道和了解只是浅层次的要求，理解才能内化成学生的学科素养。学生身边都是实实在在的物体，对于线、面等是从来不曾单独存在的，它们只抽象地存在于我们的想象中，小学生生活经验不足，主体思维多以形象思维为主，对概念理解起来有一定的难度，这就需要教师充分重视利用几何直观去揭示看不见摸不着的东西，化难为易，化隐为显，化繁为简，变抽象为具体。《课标》中，几何直观是作为数学思考的一种方式提出的，它不只是目的，而且是手段，不是要教会学生，而是渗透直观是解决困难问题的“利器”，其深远的价值在于“帮助学生直观地理解数学”，这便要求教师要具有良好的几何直观的课程意识，多用几何直观的方式深入浅出地说明数学内在道理，防止学生死记硬背。正如我国数学家张广厚所言，“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度抽象思维的能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质”。

编辑 温雪莲