纵向一贯，函数教学的一体化研究

周艳

摘 要：函数是研究运动变化的重要数学模型，是中学阶段数学知识的重要组成部分。因课时需要，教材中函数被切割成了几部分，但教师不能局限于教材，而应站在更高的视角，了解知识的来龙去脉，纵向一贯整体把握，帮助学生形成知识脉络，培养用函数思考问题的意识。

关键词：函数;高观点;方程;思想

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2019）01-085-2

“数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体。”菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学》中指出。初中数学与高中数学不论从知识结构方面，还是从培养学生的数学能力方面，都有着密切的关系，在教学的时候我们应该把两者联系起来，纵向一贯，形成一体化知识进行研究。

以函数教学为例，现有教材初中二年级探讨一次函数、反比例函数，三年级研究二次函数、锐角三角函数;高中一年级进一步系统研究了多种基本函数，二年级探讨了任意角的三角函数，三年级结合高观点用微积分知识进一步研究函数。函数始终是贯穿整个数学学习的一条主线，是数学教学的核心之一。初中教师应掌握和了解函数知识形成、发展与完善的过程以及数学教育演化的经过，站在更高的视角来审视和理解初中教材中的函数知识，纵向一贯整体把握，抓住数学问题的本质，即可高屋建瓴，跳出题海，发展学生自觉形成用数学眼光看世界的意识。

本文将以《二次函数与一元二次方程》的教学流程为例，阐述如何在函数教学中进行一体化研究。

一、情境引入，感受新知

一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=115x2+10x。回答下列问题：（1）炮弹飞行高度能否达到120米？若能，需要经过多长时间？（2）高度能否达到125米？若能，需要经过多长时间？（3）高度能否达到130米？

首先，给出实际情境，引导学生思考以下问题：1.三个小问题分别是已知什么？求什么？2.结合图像找出问题1、问题2在函数图像上的对应点。

通过问题串的设置帮助学生将实际问题转变为函数问题，明确题目指向;先计算，从“数”的角度感知，再看图，从“形”的角度感知方程的解和图像与x轴交点横坐标之间的关系，实现思维由静态到动态的转变，体会二次函数与一元二次方程之间的联系。

其次，借助几何画板给出函数图像，要求学生继续深入思考：为什么飞行高度达到120米，有两个时间点，飞行高度达到125米只有一个时间点？方程和函数有怎样的关系？要求学生尝试用语言描述一下。

通过深入思考重新整理解题思路，不难发现，每一个二次函数的解析式均可看成一个二元二次方程，当给定函数值时，即转变为一元二次方程，方程的解和函数图像上点的横坐标一一对应，方程解的个数直接决定函数图像上对应点的个数。如果从函数角度出发，函数图像上点的坐标已知，则可直接得出对应方程的解，进一步感知二次函数与一元二次方程的关系。

教师采用“高观点”来指导教学，就不会拘泥于仅探究题目的解法，更侧重的是数学思想，为后续高年级学习方法做铺垫，分析问题能从局部到全局，从一个问题衍生到一类问题，拓宽学生思考视角，渗透函数思想。

二、搭建平台，发现新知

想一想：方程567x2-3867x+6587=0有实数根吗？为什么？

学生看到题目首先想到的是解方程，很快会发现计算繁琐，解方程难度大。倒逼学生思考：一定要进行这么繁的计算吗？学生会主动寻找其他途径来解决，将方程问题转化为函数问题，运用函数的思想方法来解方程就会水到渠成。如果方程过于简单，轻易可以算出根的具体值，学生会觉得从函数角度出发解方程多此一举，自然也不会去深究问题的“深意”，对即将探讨的方法也就无兴趣可言。

借助几何画板，画出函数y=567x2-3867x+6587的图像，发现抛物线和x轴有两个交点，因此方程567x2-3867x+6587=0有两个不相等的实数根。进一步观察还可以发现和x轴两个交点的横坐标约为3.3和3.5，从而得出方程的两个近似根x1≈3.3，x2≈3.5。

借助“想一想”进一步总结出知识点，二次函数的图像与一元二次方程根的关系：抛物线与x轴交点的个数与相应的一元二次方程的解的情况是相关的;抛物线与x轴交点的横坐标即为相应方程的解。

三、拓展提升，巩固新知

例题1：①观察二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点，直接写出方程x2-3x+2=0的解。

②观察二次函数y=x2-3x的图像与直线y=-2的交点，直接写出方程x2-3x+2=0的解。

③观察二次函数y=x2以及一次函数y=3x-2的图像交点，直接写出方程x2-3x+2=0的解。

问题①是对上一题结论的直接应用，问题②的设置旨在将函数和方程的关系推广到函数和方程组的关系，问题③有一定难度，需着重引导学生弄清交点的意义。三个问题的设置一脉相承，层层铺垫，螺旋上升。让学生进一步感受函数与方程、方程组的关系，逐步学会从函数的视角来解决问题，渗透函数思想。

学生通常认为这三个问题是不同的题目，然而具有“高观点”的教师能透过现象看到本质，x轴就是直线y=0，它和直线y=-2，直线y=3x-2本质是一样的，三个问题均是要寻找使函数值相等的对应自变量值。从函数角度出发，求两个函数的交点坐标就是求对应方程或方程组的解，反之，求方程的解只需观察对应函数图像上点的坐标即可。

四、灵活运用，内化新知

例题2：借助函数图像，求方程x2-2x-1=0的近似解（保留一位小数），你能找到几种方法？

这是一道开放题，教学时采取小组合作竞争的方式。经历了例题1的探索过程，学生的思路已经打开，求方程x2-3x+2=0的根可以利用三种不同的函数图像，那么本题的方程从函数视角出发又可以如何来解呢？哪种更好操作？

课堂中，指导学生用几何画板画图，采取观察、思考、讨论、交流等多种形式，梳理新知，鞏固利用函数图像解方程的方法;通过对多种解法的探讨，理清不同函数和对应方程之间的关系。

五、小试牛刀，检验新知

1.关于x的方程a（x-3）2+b=0（a≠0）的一个根为1，求另一个根。

2.二次函数y=ax2+bx+c的图像如右图所示，

判断方程ax2+bx+c+2=0的根的情况。

由于定向思维，初接触第1题时，仍有很多同学习惯性地将根代入一元二次方程，尝试用待定系数法求解;而从函数角度出发，则可化繁为简：由抛物线的对称性可知另一个交点横坐标为5，即对应方程的另一个根为5。实际教学中，可以让学生比较两种解法的难易，拓宽解题思路，渗透函数思想。

第2题题目中已经给出函数的图像，故从函数角度出发顺理成章。求方程的解，可以转变为相应函数与x轴的交点个数，由已知函数图像向上平移2个单位即得。此题是对本节课所学内容的总结，可以综合考察学生对新知的掌握情况。

最后借助两道小练习完成课堂小结。

在实际教学中，教师需要有用“高观点”统帅全局的意识，但教学时落点要低，渗透函数思想是一项长期工作，解题时不能做硬性要求，如用方程解法须肯定其正确性，同时引导函数方法，拓宽解题思路。

教师具有了“高观点”，了解初等函数数学问题的高等数学背景和实质，纵向一贯，对中学函数教材从高处着眼，整体把握，将函数与其他知识点进行有机整合，帮助学生系统掌握和理解知识脉络，不仅解题更灵活，思维能力也会有质的提升。

[参考文献]

[1]M·克莱因.高观点下的初等数学[S].上海：复旦大学出版社，2008.

[2]章建跃.“方程的根与函数的零点”的教学[J].中学数学教育，2010（01）.

[3]张劲松.论“高观点下的初等数学”及其在新课标中的体现[J].数学教学研究，2008（04）.

[3]赵玉梅.二次函数与一元二次方程的关系及其应用浅析[J].中学课程辅导，2013（11）.