三项式系数演示器

文 广州市第二中学高三（9）班 刘家轩

一、制作原理

三项式系数有其数阵模型，恰为一个正三棱锥，由此可以找到三项式定理的三棱锥模型，如图1。

图1 三项式的三棱锥模型

在第n层中，三个顶点分别为an、bn、cn，离三个顶点越远，对应字母的次数越低。某一层非边缘的一个数必然位于上层三个数的中心（若处于边缘则为两个数的中间），且其系数为上层三个系数之和。

例如，第四层的abc位于第三层ab ac bc的正中心，而其系数亦为ab ac bc系数之和，每个节点向下都恰好连接着三个节点。由此，可分析得到数阵模型对应的演示模型，如图2。

图2 数阵模型对应的演示模型

根据三棱锥模型的特性，我将每个系数节点都换成水罐，每个水罐与上层的三个水罐用粗细相同、长度相等的水管相连，从最上层水罐倒水，每个水罐向下都连接三个水罐。这样，每个水罐的水量就是上方相连的水罐总水量的1/3。当水全部流至第n层时，n层内水罐水量之比恰为三项式系数之比。

二、制作演示器

1.材料准备

亚克力管20根（5cm直径1根，2.9cm直径3根，2.4cm直径16根）及其底板、顶盖，亚克力柱（高10cm、直径10mm）、细水管（内径3mm、壁厚1mm）若干，微型水泵11个，微型电磁阀10个，金属四通20个，塑胶转接头40个。

单片机开发板1块，杜邦线若干，可调降压模块和继电器各4块，24V交流转直流电源1个，交流电源插座1个，4V单片机电源线1根。

2.制作过程

（1）将预制的亚克力管和顶板、底板用胶粘牢，确保边缘不漏水。

（2）用细水管将水阀接于水罐上，将水阀用热熔胶固定在水罐下，将亚克力柱固定在预制的亚克力孔内。

（3）将1～3层的亚克力柱底板预留孔与微型水泵、四通用水管连接，将四通的三根出水管插入下一层的亚克管上部预留孔。插入时应注意，每根亚克力管的出水管需插入下一层边缘的3个亚克力管预留孔中。第四层的亚克力管底部接入微型电磁阀，再将电磁阀出水口用水罐连接，最后接入粘贴在第四层底板上的微型水泵进水口，将该出水口的水管插入第一层的进水口，以实现循环演示。

（4）将主体结构、水管等装好后，用延长线将微型水泵和微型电磁阀的电源线接在焊有接口的洞洞板上。同一层的微型水泵和微型电磁阀并联。

（5）编写并调试单片机程序，连接电路并调节输出电压。

（6）调试程序，并在每一根亚克力管壁贴上标签，更改单片机程序的时间设定。

图3 安装好的演示器

三、演示效果

插上电源，为第一层水罐加水，启动自动演示功能。三项式n=0，1，2，3时相应的第0层、第1层、第2层和第3层的容器水位与三项式系数对应，利用水体流动表示乘法过程，形象生动地展示了（a+b+c）n这个抽象的数学式。