杆系结构极限承载力分析的弹性模量缩减法影响因素研究

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(1.广西大学土木建筑工程学院， 广西南宁530004；2.工程防灾与结构安全教育部重点实验室， 广西南宁530004；3.南宁市建筑设计院， 广西南宁530022)

0 引言

杆系结构是土木、水利和交通工程中常采用的承重体系，其极限承载力是工程结构设计、安全评估和结构优化的重要参数。基于塑性极限分析理论的极限承载力计算方法具有高精和高效的特点，持续受到研究者重视，其中采用线弹性迭代分析的弹性模量调整法由于其理论简单、易于应用，自20世纪80年代末以来得到了快速发展[1-8]。

针对传统弹性模量调整法依据结构应力分布状态开展迭代分析，需在计算模型中离散细密的网格，造成计算效率低、计算精度参数敏感性强等问题，为此杨绿峰等建立了新型的弹性模量调整法―弹性模量缩减法[9](Elastic Modulus Reduction Method，简记为EMRM)，并已在杆系结构极限承载力分析和安全评估中得到应用[10-12]。该方法考虑外荷载作用和材料强度定义单元承载比，进而利用基准承载比作为识别高承载构件的动态阈值，从而根据EMRM弹性模量调整策略对高承载单元进行弹性模量缩减，构造了结构极限承载力求解的线弹性迭代理论和计算方法[13]。为了将该方法应用于实际工程结构整体承载力分析中：针对恒荷载影响显著的结构，提出了将恒荷载作用效应融入材料强度或调整迭代加载的EMRM[14-16]，使EMRM在高层建筑、大跨桥梁等须考虑自重影响的实际工程结构中得以推广应用；针对现薄壁结构构件截面广义屈服函数中各多项式幂次不相同的情况，提出了基于齐次广义屈服函数的EMRM[17-19]，克服了多内力组合作用时计算结果不稳定、精度受损等问题，使其在大型桁架、输电塔架等薄壁结构中得以应用。进一步，为了将EMRM应用于工程结构设计和安全评估中，提出了以整体安全系数为判据的结构整体承载力设计的EMRM[20-22]，随后又结合现设计理论的构件承载力设计要求，提出了基于均匀承载准则的构件和整体两层面承载力优化的EMRM[23-24]，可以在保障设计工况下的构件安全和偶然工况下的结构整体安全，进行构件截面强度设计与优化。此外，为了发挥EMRM在结构响应分析和设计中的优势，也研究提出了结构随机极限承载力分析的EMRM[25-26]，考虑材料应变硬化极限承载力分析的EMRM[27]，考虑缺陷影响极限承载力分析的EMRM[28]。

上述EMRM研究涉及有限元建模、线弹性迭代分析、结构响应和极限承载力计算等重要过程，一些计算参数对极限承载力分析、设计与优化有影响，因此开展相关参数取值及其影响规律研究是必要的。鉴于此，本文遴选出杆系结构极限承载力分析EMRM的三个主要影响因素，并研究了不同参数对计算效率和精度的影响规律，据此给出各计算参数的合理取值建议，为EMRM的进一步发展和应用提供参考。

1 结构极限承载力分析的弹性模量缩减法

1.1 广义屈服函数与单元承载比

(1)

式中，上标e为构件对应的单元编号；下标k为EMRM分析的线弹性迭代步；M为广义屈服函数的最高幂次。

(2)

式中，nx、my和mz分别表示轴力、面内弯矩和面外弯矩的无量纲内力，特别地，当截面上仅计入一个控制内力Q，广义屈服函数f为：

(3)

(4)

1.2 弹性模量调整策略

根据变形能守恒原理确定各单元在线弹性迭代步中的弹性模量调整策略[9]：

(5)

(6)

式中，dk为承载比均匀度，且：

(7)

1.3 结构极限承载力

(8)

式中，P0为荷载乘子。

重复迭代分析，直到满足收敛条件：

(9)

式中，ε为迭代收敛容差。

如果第M次迭代收敛，则结构极限承载力PL为：

(10)

根据前述EMRM求解极限承载力的基本理论，其计算流程如图1所示。

图1 结构极限承载力分析的EMRM流程Fig.1 Flow chart of ultimate bearing capacity analysis by EMRM

2 弹性模量缩减法极限承载力分析的影响因素

前述EMRM流程涉及有限元建模、线弹性迭代分析、结构响应和极限承载力计算过程，对于杆系结构来说，这些过程中的构件网格划分数、迭代收敛容差和考虑内力项数是对极限承载力计算结果影响显著的因素：

① 构件网格密度。对于杆系结构，构件网格密度即网格划分数，下面将具体以网格划分数进行论述。构件网格划分是进行有限元数值建模的重要步骤，其中网格划分数量将直接影响计算结果的精度和效率。EMRM将调用有限元进行结构响应分析，所以结构极限承载力分析时需要考虑网格划分数的影响。

② 迭代收敛容差。如式(9)所示，迭代收敛容差是EMRM线弹性迭代分析的收敛判据，其取值大小将影响结构极限承载力结果PL和迭代计算次数，因而影响EMRM分析的计算精度和计算效率。

③ 考虑内力项数。由式(2)和式(3)可知，考虑内力项数不同时，结构广义屈服函数有所区别，进而影响单元承载比的大小，最终影响EMRM极限承载力分析结果。目前杆系极限承载力分析应用较多的塑性铰法[29-31]，多仅考虑弯矩的影响。

因此，本文遴选构件网格划分数、迭代收敛容差和考虑内力项数三个影响因素，并结合EMRM的相应计算参数进行影响规律和参数取值研究。

3 影响规律和参数取值分析

结合三个杆系结构算例，采用EMRM和弹塑性增量分析法(elasto-plastic incremental analysis，简记为EPIA)进行结构极限承载力分析，研究计算参数的影响规律。EPIA采用理想弹塑性本构模型、位移和力的2范数收敛准则。文中采用ANSYS有限元软件进行结构响应分析，构件均采用Beam189单元模拟，PC机基本配置为：Intel (R) Pentium (R) G630 2.70GHz, 4G内存。

3.1 两端固支梁

如图2所示为一简单梁系结构，梁截面形式为矩形，矩形截面尺寸及几何参数如表1所示。该固支梁跨中受竖向集中荷载p作用。

3.1.1 网格划分数Ne的影响

为研究构件离散单元数Ne对EMRM的影响规律，收敛容差取0.001，构件离散单元数Ne分别取8、20、50和100，并同时考虑弯矩和轴力计算结构极限承载力，结果见表2。EPIA增量加载迭代过程、当Ne=8时，EMRM的线弹性迭代过程如图3。

表1 截面尺寸和材料参数Tab.1 Geometric and material parameters

图2两端固支梁
Fig.2Beamfixedattwoends

图3极限承载力迭代过程
Fig.3Iterativeprocessoftheultimateload-carringcapacity

表2 结构极限承载力计算结果Tab.2 Solution of ultimate load-carring capacity

从表2和图3可以看出，本简单算例网格划分数Ne对EMRM结果计算精度无影响，与EPIA相对差为1.51 %。同时可见，本例Ne对计算效率有影响，Ne增加时计算时间加长，但在保证计算精度前提下EMRM较EPIA具有更高的计算效率。

3.1.2 收敛容差ε的影响

根据表1结果，将每根杆件网格划分数Ne均取20，为了检验收敛容差ε的影响，ε分别取0.01、0.005、0.001和0.000 5，并同时考虑弯矩和轴力作用，EMRM计算结果如表3所示。

由表3可以看出，本简单算例收敛容差ε对EMRM计算精度影响很小，与EPIA相对差为1.51 %。同时可见，本例ε对计算效率有影响，ε减少则计算时间增加，但在保证计算精度前提下EMRM较EPIA计算时间要短。

表3 结构极限承载力计算结果Tab.3 Solution of ultimate load-carring capacity

3.1.3 内力项选取的影响

为研究内力项对EMRM的影响规律，分别讨论三种计算方案：仅考虑轴力Nx作用；仅考虑弯矩My作用；同时考虑轴力Nx和弯矩My作用。杆件网格划分数Ne均取20，收敛容差取0.001，极限承载力计算结果见表4，其中三种方案分别采用Nx、My和Nx&My表达。

表4 结构极限承载力计算结果Tab.4 Solution of ultimate load-carring capacity

由表4可以看出，本简单算例的内力项选取对EMRM计算精度影响较大：由于本算例轴力Nx基本可忽略，仅考虑Nx时，计算方案不合理；考虑主导内力弯矩My后，计算结果与EPIA相对差为1.51 %，有良好精度。同时可见，本例后两种考虑弯矩计算方案的计算效率均较高，且都较EPIA计算时间要短。

3.2 三层两跨平面框架

取一榀平面框架如图4所示，其横向跨度L=4.8 m，且层高H=3.6 m，该平面框架受侧向风荷载作用，为简化计算，将其简化为作用在侧面柱头的集中力作用，大小为ql，同时受竖向重力作用并将其简化为均布布置于梁上的荷载q。框架结构梁柱截面尺寸如表5所示，材料弹性模量E=200 GPa，屈服强度σ=235 MPa。

3.2.1 每根杆件网格划分数Ne的影响

为了研究构件离散单元数Ne对EMRM的影响规律，收敛容差取为0.001，并同时考虑弯矩和轴力作用，取构件离散单元数Ne分别为4、8、12和20，利用EMRM求解该刚架的极限承载力，计算结果见表6。Ne=4时，EMRM的极限承载力迭代过程及EPIA的增量加载过程如图5。

表5 截面尺寸Tab.5 Geometric parameters

图4平面框架
Fig.4Plateframe

图5极限承载力迭代过程
Fig.5Iterativeprocessoftheultimateload-carringcapacity

表6 结构极限承载力计算结果Tab.6 Solution of ultimate load-carring capacity

由表6和图5可以看出，该平面刚架离散网格数Ne对EMRM计算精度影响不大，与EPIA计算结果相对差均在1 %以内，计算精度较高。同时可以看出离散网格数对计算效率有一定影响，随着离散网格数的增加计算效率有所下降，但在保证EMRM具有较高的计算精度前提下，其计算效率仍高于EPIA。

3.2.2 收敛容差ε的影响

根据表7结果，将每根杆件网格划分数Ne=4，为了检验收敛容差ε对EMRM的影响规律，将ε分别取0.01、0.005、0.001和0.000 5，并同时考虑轴力和弯矩的作用，此时刚架的极限承载力计算结果见表6。

表7 结构极限承载力计算结果Tab.7 Solution of ultimate load-carring capacity

由表7可以看出，本刚架算例收敛容差ε对计算精度有一定影响，当收敛容差ε≤0.005 时，其计算精度随收敛容差减小而增大，与EPIA相对差在1.6 %以内。同时可见计算效率随着收敛容差减小而降低，但在保证其计算精度的前提下，EMRM计算效率仍高于EPIA。

3.2.3 内力项选取的影响

为研究内力项对EMRM的影响规律，分别讨论三种计算方案：仅考虑轴力Nx作用；仅考虑弯矩My作用；同时考虑轴力Nx和弯矩My作用。同时将每根杆件网格划分数Ne取为4，收敛容差取0.001，此时刚架的极限承载力计算结果见表8。

表8 结构极限承载力计算结果Tab.8 Solution of ultimate load-carring capacity

由表8可以看出，本平面刚架内力项对EMRM计算结果影响较大：仅考虑轴力Nx作用时，计算结果与EPIA计算结果相差很大，可见不应采用该计算方案求解结构极限承载力；考虑弯矩My作用与考虑全内力作用的计算精度和EPIA计算结果相对差均在0.5 %以内，计算精度较高。同时可见，两种均考虑弯矩作用的内力选取方案对计算效率并无显著影响，且计算效率均高于EPIA。

3.3 五层四跨空间框架

如图6所示矩形截面空间框架结构，底端固定，跨度L1=3.6 m，进深L2=3 m，层高H=3 m的框架结构，左端受风荷载作用，为了简化计算，将风荷载简化为作用在左端柱顶部的集中荷载，大小为qh，方向向右，框架结构中梁受均布荷载1.5q，方向竖直向下。构件均采用Q345矩形截面钢材，构件几何尺寸如表9所示，材料弹性模量E=210 GPa，屈服强度σ=235 MPa。

(a) 计算模型(b) 主视图(c) 侧视图

截面参数梁宽/m梁高/m柱宽/m柱高/m参数值0.20.50.80.8

3.3.1 每根杆件网格划分数Ne的影响

为研究构件离散单元数Ne对EMRM的影响规律，取构件离散单元数Ne分别为2、4、8和16个，收敛容差取0.001，并同时考虑弯矩和轴力作用，利用EMRM求解该框架的极限承载力，计算结果见表10。

表10 结构极限承载力计算结果Tab.10 Solution of ultimate load-carring capacity

Ne=4时，EMRM的极限承载力迭代过程及EPIA的增量加载过程如图6。

图7 极限承载力迭代过程Fig.7 Iterative process of the ultimate carring capacity

由表10和图7可以看出，对于该空间框架结构而言，离散网格数Ne对EMRM计算精度影响不大，与EPIA相对差均在1.5 %以内。同时可见，离散网格数对计算效率有一定影响，随着离散网格数的增加计算效率有所下降，且在保证较高的计算精度的前提下，EMRM计算效率显著高于EPIA。

3.3.2 收敛容差ε的影响

根据表9结果，将每根杆件网格划分数Ne=2，为了研究收敛容差ε对EMRM的影响规律，将ε分别取0.005、0.001、0.000 5和0.000 1，并同时考虑轴力和弯矩的作用，此时该空间框架结构的极限承载力计算结果如表11所示。

表11 结构极限承载力计算结果Tab.11 Solution of ultimate load-carring capacity

由表11可以看出，该框架结构收敛容差ε对计算精度有一定影响，当收敛容差ε≤0.001 时，其计算结果与EPIA相对差基本稳定在1 %以内。同时可以看出，计算效率会随着收敛容差减小而降低，但是在保证EMRM计算精度较高的前提下，其计算效率始终高于EPIA。

3.3.3 内力项选取的影响

为研究内力项对EMRM计算的影响规律，分别讨论四种计算方案：仅考虑轴力Nx作用；仅考虑弯矩My作用；仅考虑弯矩Mz作用，同时考虑轴力Nx、弯矩My作用和Nx作用。同时将每根杆件网格划分数Ne均取为2，收敛容差取为0.001，此时该空间框架结构的极限承载力计算结果如表12所示。

表12 结构极限承载力计算结果Tab.12 Solution of ultimate load-carring capacity

由表12可以看出，内力项选取对EMRM计算精度影响较大：仅考虑轴力Nx作用与仅考虑平面外弯矩Mz时，计算结果与EPIA计算结果相对差很大，可见不应采用这两种计算方案求解结构极限承载力；而仅考虑平面内弯矩My时，相对差也达10 %以上，且计算结果偏大，也不宜用于求解结构极限承载力；考虑全内力时，计算结果精度则较好，相对差为1.29 %，可很好地用于求解结构极限承载力。同时可以看出，EMRM在保证相对较高精度的前提下，内力项的选取对计算效率并无显著影响，且计算时间显著少于EPIA。

3.4 相关参数影响规律及取值建议

根据以上三个杆系结构算例结果表明，采用EMRM计算结构极限承载力时，构件网格密度、收敛容差及内力项的选取对EMRM的影响有如下规律：

① 对于两端固支梁等梁系结构来说，网格划分数对EMRM的计算精度影响不大，而对计算效率有一定影响；收敛容差对计算精度影响不大，而对计算效率有一定影响，收敛容差取0.005～0.001以下为宜；内力项选取对EMRM计算精度影响较大，而对计算效率影响较小，对于该梁系结构而言，弯矩为主要控制内力，可仅考虑弯矩求解结构极限承载力。

② 对于平面框架结构来说，网格划分数对EMRM的计算精度影响不大，而对计算效率有较显著的影响，综合计算精度和效率来看，建议构件网格数取2～8个；收敛容差对平面框架计算精度和计算效率均有一定影响，收敛容差取不大于0.005为宜；内力项对EMRM计算精度影响较大，而对计算效率影响较小，对于平面刚架结构而言，平面内弯矩为主要控制内力，可仅考虑平面内弯矩求解结构极限承载力。

③ 对于空面框架结构来说，网格划分数对EMRM的计算精度影响不大，而对计算效率有较显著的影响，构件网格划分数宜取4～8个；收敛容差对空间框架计算精度和计算效率均有一定影响，收敛容差取不大于0.001为宜；内力项对EMRM计算精度影响较大，而对计算效率影响较小，建议考虑轴力和弯矩求解结构极限承载力。

4 结论

文中研究遴选了杆系结构极限承载力分析EMRM的3个主要影响因素：构件网格密度、收敛容差和内力项选取，并开展了影响规律和参数敏感性分析，得到以下结论：

① 构件网格密度对EMRM计算精度影响不大，但对计算效率有一定影响，综合计算精度和效率来看，建议构件网格数取2～8个。

② 迭代收敛容差对EMRM的计算精度和计算效率均有一定的影响，建议收敛容差不大于0.001。

③ 内力项选取对EMRM计算精度有显著影响，而对计算效率影响不大，平面结构可仅考虑弯矩高精度地求解极限承载力，空间结构则建议同时考虑弯矩和轴力求解结构极限承载力。