连续平分问题的模型建构

潘美秀

[摘 要]数学中的计算都是十分严谨的，向来“说一不二”，但是应用到生活实际时，为了方便演示、显示公平、减少纠纷，有时不得不打破常规，引入一些虚拟数，可以大大简化思维过程，最后再将这些虚拟数以一种巧妙的方式消除掉。

[关键词]猎人;倍数;野兔;私分;平分

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）05-0059-02

我们以猎人分野兔为素材，由简到繁，逐步深入地研究一类难度较大的连续平分的问题模型的建构。

[问题1]赵某、钱某、孙某、李某四位猎人在山上猎捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上点燃篝火露营。午夜时分，赵某醒来，把野兔平分成4份，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。钱某醒来，也把野兔平分成4份，私自拿走1份，剩余的3份也放在一起。孙某、李某也这样做。问：他们至少猎捕了多少只野兔？

答：他们至少猎捕了256只野兔。

[思考]如果他们猎捕的野兔总数在1000以內，这个数量还可能是多少？你能否找到满足条件的数据的最大值，然后根据题意计算出四人分别私分了几只野兔和最后剩下野兔的数量？

一、平均分后有剩余量

[问题2]赵某、钱某、孙某、李某四位猎人在山上猎捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上搭建简易帐篷宿营。午夜，赵某醒来，把野兔平分成4份，结果发现多出1只，将多出的1只顺手放归山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。钱某醒来，也把野兔平分成4份，发现多出1只，将多出的1只顺手放归山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。孙某、李某也这样做。问：他们至少猎捕了多少只野兔？

问题2与问题1有所不同，每次分取野兔后都多出1只放归山林，也就是每次都不能刚好分成整份数，我们不妨设法使赵某分野兔时能分成整份数。可以设想用3个石块代替3只野兔，混入原来的野兔中充数，这样赵某正好将全部野兔（含石块）平分成4份而无剩余，但一定要把3个石块分别放在3份野兔里，赵某私自拿走不含石块的那1份。接下来该怎么推演？显然，赵某私自拿走的数量比题目设定的多了1只，而这只正好就是放归山林的那1只，这样一来，剩余的3份野兔（含3个石块）的数量就与原题设中的数量相同。这3个石块成了调节器，钱某也能把野兔（含石块）恰好平分成4份，他私自拿走的是没有石块的那1份，也比原题设中钱某私自拿走的实际数量多了1只，这只也可以看作是他放归山林的那1只，这样钱某剩下的野兔（含3个石块）也与原题设中的第二次剩余量相等。同理，孙某、李某也可以把赵某、钱某剩下的野兔（含3个石块）平分而无剩余，只是每次剩下的野兔中都比原数量多了3个石块。由于3个石块的加入，问题2就转化成了问题1，只是最后需要拿走鱼目混珠的3个石块。

解：44-3=253（只）。

答：他们至少猎捕了253只野兔。

[思考]如果他们猎捕的野兔总数在1000以内，这个数量还可能是多少？你能设定一个数，然后用赋值法计算每人私拿走的野兔的数量，来检验你设定的数据吗？

二、剩余量由一变为二

[问题3]赵某、钱某、孙某、李某四位猎人在山上猎捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上搭建简易帐篷宿营。午夜，赵某醒来，把野兔平分成4份，结果发现多出2只，将多出的2只顺手放归山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。钱某醒来，也把野兔平分成4份，发现多出2只，将多出的2只顺手放归山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。孙某、李某也这样做。问：他们至少猎捕了多少只野兔？

与问题2一样，问题3同样要转化为问题1。不妨这样假设：把赵某放归山林的2只野兔重新捕获后给赵某，那么，剩余3份也应按照配比多加2只，才能使野兔的总数正好能平分成4份，因此，要用2[×3]=6（个）石块充当野兔。赵某在把野兔平分成4份时，其中3份每份混入2个石块，他取走不含石块的那1份。这样他私自拿走的野兔数量就比原题设中他实际到手的多了2只，这2只刚好可以看作是他放归山林的那2只。对于赵某来说，除了平白无故多出6个石块外，野兔数量并无变化。由于这6个石块的混入，钱某、孙某、李某都可以把野兔（含石块）平分成4份而无剩余。如此一来，问题3就转化成了问题1，最后拿走鱼目混珠的6个石块即可。

解：44-2[×]（4-1）=250（只）。

答：他们至少猎捕了250只野兔。

[思考]假设故事的梗概不变，只是把“把野兔平分成4份，结果发现多出2只，将多出的2只顺手放归山林”改为“把野兔平分成4份，结果发现多出3只，将多出的3只顺手放归山林”，且他们猎捕的野兔只数在1000只左右，他们猎捕了多少只野兔？

三、份数和余数都改变

[问题4]赵某、钱某、孙某、李某、周某五位猎人在山上猎捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起。午夜，赵某醒来，把野兔平分成5份，结果发现多出3只，将多出的3只顺手放归山林，私自拿走1份，剩余的4份又放在一起。钱某醒来，也把野兔平分成5份，发现多出3只，将多出的3只顺手放归山林，私自拿走1份，剩余的4份又放在一起。孙某、李某、周某也这样做。问：他们至少猎捕了多少只野兔？

结合问题1，我们仍可以设想，如果每人分野兔时都正好分完，那么这些野兔至少有55只。再结合问题3，不妨设想用3[×]（5-1）=12（个）石块充当野兔，那么就可以把复杂的问题转化成每次正好平分完的简单情景，只是最后需要拿走12个石块。

解：55-3[×]（5-1）=3125-12=3113（只）。

答：他们至少猎捕了3113只野兔。

[思考]在类似的情境中，如果只有三位猎人，每人分走[13]的野兔后，结果发现多出2只，将多出的2只顺手放归山林，那么他们至少猎捕了多少只野兔？

由此，我们可以建立一个一般模型：有m位猎人猎捕了s只野兔，猎人A把这些野兔平分成m份，结果发现多出n只，将多出的n只顺手放归山林，私自拿走1份，剩余的放在一起。猎人B把猎人A分剩下的野兔平分成m份，结果发现多出n只，将多出的n只顺手放归山林，私自拿走1份，剩余的也放在一起。其他猎人也这样做。那么，他们猎捕的野兔只数可用一个式子表示：[s=pmm-n（m-1）]（p、m、n都为大于0的自然数，且n小于m），s的最小值=mm-n（m-1）。

[ 参 考 文 献 ]

李秀红.寻找内在关联 提升认识水平——“平均分两种分法的比较”教学片断与反思[J].小学数学教育，2018（18）.

（责编 李琪琦）