带有记忆核的黏弹性方程解的能量衰减估计

李 娜, 蒲志林

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

1 引言与预备知识

本文考虑以下带有记忆项的黏弹性方程的柯西问题

(1)

其中,u0和u1是给定的初始函数,g是定义在Rn上正的非递增函数,g称为记忆核.这类问题出现在黏弹性问题中,特别是带有衰减记忆的热力学材料中.Coleman等[1-2]早期工作中都有涉及到这类问题.

许多文献研究了在有界区域上的此类问题的处理.大致上,这类问题可以概述为,当记忆函数g是指数(多项式)衰减,则解呈指数(多项式)衰减.然而在之前所有的工作中,关于(非负)记忆核都有如下的假设：

g(0)>0,g′(t)≤-γg(t), ∀t≥0,

(2)

其中γ>0.上述假设条件太严格,已有许多文献讨论放宽这一假设,例如文献[3-5].特别地,当g(0)>0,g′(t)+γg(t)≥0时,其中t≥0,γ>0且在[g′(t)+γg(t)]eαt∈L1(0,∞),α>0条件下证明了当时间无限大时,方程的解呈指数衰减到零.在这个假设中,g′(t)可以取非负值,即g(t)是振荡函数.在Rn空间中,对g的一阶二阶导数的进一步规定下,Noz等[6]已经证明了解呈多项式衰减,且记忆函数g可以取负值.

本文的目的是研究方程(1)解的渐近性.基于文献[4],将有界区域扩展到Rn空间中,从而得到衰减结果.值得注意的是本文中,如Poincaré不等式、嵌入不等式等都不再是固定的.很自然会面临一些困难,特别是文献[4]中使用的泛函在此文中不能使用,需要使用另外的技巧.

在方程(1)中,g是方程的记忆核,通常它满足以下假设[7]:

(H1)g:R+→R+是一个可微函数,满足

(H2) 存在α>0,有

g′(t)+αg(t)≥0,t≥0,

(t+1)α[g′(t)+2αg(t)]∈L1(R+).

α>1后文会具体给出.

注1.1存在满足(H1)和(H2)的松弛函数g,只要选择合适的a、b即可,例如

与文献[6]相比,本文的假设与证明过程是不同的,而且衰减也是更慢的.

引理1.1[3]若假设(H1)和(H2)成立,且

u0∈H1(Rn), u1∈L2(Rn),

则方程(1)存在唯一解满足

u∈C([0,∞),H1(Rn)),

ut∈C([0,∞),L2(Rn)).

引理1.2[3]当1≤p

而且,存在一个常数C=C(n,p),使得

‖u‖p*≤C‖▽u‖p, ∀u∈W1,P(Rn).

引理1.3若u是方程(1)的解,则

‖u(t)‖2≤C(L+t)‖▽u(t)‖2,t>0, (3)

其中L是正常数.

证明由引理1.1,当p=2时,可得

由Hölder不等式可得

其中L>0,满足

Supp{u0(x),u1(x)}⊂B(L)=

{x∈Rn/|x|

因此

‖u(t)‖2≤C(L+t)‖u(t)‖p*≤

C(L+t)‖▽u(t)‖2.

引理1.3得证.

不失一般性,下文令L=1.现在,定义能量泛函

其中

v(t)|2dxds, ∀v∈L2(Rn).

引理1.4若u是方程(1)的解,则能量方程满足

(4)

证明对方程(1)两侧同乘ut,然后在Rn上积分.通过分步积分和重复文献[5,7]的工作,整理后就能得到结果.值得注意的是此时的E′(t)不确定正负,并且在这一步也不能确定系统是否耗散.

在下文中作如下的标记：

l(t)=g′(t)+αg(t),

Lα(t)=(t+1)α[g′(t)+2αg(t)].

2 能量衰减估计

下面先建立若干引理,然后得到方程(1)的解的能量衰减估计.

引理2.1假设(H1)和(H2)成立,构造辅助泛函

|u(t)-u(s)|2dsdx,

其中

则对于任意δ1>0和t≥0有

(5)

证明利用假设(H2)和分部积分法得到

下面对Φ1(t)求导,并用Young不等式得到

α(1+t))-1Φ1(t)+

(1+t)-1[-((l+αg)∘u)+

-(1+t)-1Φ1(t)-α(1+t))-1Φ1(t)+

(1+t)-1[-((l+αg)∘u)+

引理2.2若u是系统(1)的解,定义辅助泛函

在假设(H1)和(H2)条件下,则对于任意的δ2>0,t≥0有

(6)

证明对Φ2(t)求导可得

(7)

由(1)式可得

▽u|2dx+

(8)

利用(3)式可得

C(1+t)‖▽u‖2‖ut‖2≤

(9)

同理可得

最后,结合(6)～(10)式得到

引理2.3若u是系统(1)的解,定义辅助泛函

(u(t)-u(s))dsdx,

则对于任意的δ2,δ3>0,t≥0满足

(11)

证明直接对Φ3(t)求导可得

(u(t)-u(s))dsdx-

(12)

对于(12)式中的第二项,由(1)式可得

(▽u(t)-▽u(s))ds)dx.

(13)

对于(13)式中的第一项有

(14)

对于(13)式中的第二项有下面的估计

(15)

与

▽u(t)-▽u(s))ds|2dx≤

(▽u(t)-▽u(s))ds)dx≤

|▽u(t)-▽u(s)|dsdx+

(17)

联立(12)～(17)式,则(11)式成立.

引理2.4假设(H1)和(H2)成立,构造辅助泛函

(18)

其中

当取合适的2个正常数ξ1和ξ2,则满足

ξ1E(t)≤F(t)≤ξ2[E(t)+Φ1(t)],

t≥t0,

(19)

其中t0是足够大的值,使得γ2、γ3和γ4充分小.

证明由Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和(3)式可得

(20)

和

(21)

下面将(20)和(21)式带入F(t),可得

ξ2[E(t)+Φ1(t)],ξ2>0.

(22)

又

|F(t)-E(t)|=

其中γ1、γ2、γ3和γ4充分小,则得到

F(t)≥ξ1E(t),t≥t0,ξ1>0.

(23)

联立(22)和(23)式得到结论.

引理2.1假设(H1)和(H2)成立,且u0∈H1(Rn),u1∈L2(Rn),则存在2个正常数K和k,使得

E(t)≤K(1+t)-k, t≥0.

证明对(18)式求导,利用(4)式可得

(g′∘▽u).

(24)

因为g是连续且g(0)>0,所以对任意的t≥t0≥tm>0有

再将(5)、(6)和(11)式带入(24)式

g′(t)=l(t)-αg(t)≤

l(t)-α(1+t)-1g(t),

可得

F′(t)≤-(1+t)-1[1+α-

(1+t)-1{γ2(m-δ2(C+1))-

(1+t)-1[γ3(g0-δ2(α+C+1))-

(25)

现在令γ4=1,可得

F′(t)≤-(1+t)-1[1+α-

(1+t)-1{γ2(m-δ2(C+1))-

(1+t)-1[γ3(g0-δ2(α+C+1))-

(26)

进一步,选择合适的δ2和δ3使得

若δ2和δ3固定了,选择任意合适的γ2和γ3满足下列条件

(27)

这样使得

γ3(g0-δ2(α+C+1))-

γ2(m-δ2(C+1))-2γ3δ3=k2>0.

因此,若选择的γ2和γ3足够小使得(26)和(27)式成立,则进一步得到

现在,选择足够大的γ1使得

再令δ1满足下面的条件

则有下面的式子成立

k1-γ1δ1>0.

最后,当c>0和t≥t0时,就使得(26)式变为

F′(t)≤-c(1+t)-1[E(t)+Φ1(t)]≤

(28)

对(28)式在(t0,t)上积分后得到

最后由(19)式即证得结论.