垂直邻边入射法测三棱镜折射率的相图研究

高雁

(忻州师范学院物理系，山西忻州 034000)

0 引言

折射率是光学材料的一个基本参数，实现对某种物质折射率的研究，在各个领域都有非常重要的意义.对于某些固体，由于这些固体的形状不规则，不便用于实验测量其折射率，所以经常将其做成三棱镜的模型来进行测量.对于三棱镜折射率的测量，有很多种方法[1,2]，例如：最小偏向角法[3,4]、全反射法[5]、任意偏向角法等等.一些研究者选用了不同的方法去测量同一固体的折射率，在实验操作的整个过程中，发现实验操作的难易程度以及测量结果的精确程度都不同.有的学者对测量三棱镜折射率的方法进行了总结，并且将这几种方法进行了对比，发现垂直邻边入射法测量折射率的相对误差最小.还有研究者将C++语言应用在最小偏向角法测量折射率的实验中处理实验数据[6]，发现借助计算机软件得出的折射率误差较小.有很多研究者从实验的角度去研究了三棱镜的折射率，也有研究者利用Mathematica画出了最小偏向角法对应的三棱镜折射率的相图.而本文根据几何光学原理运垂直邻边入射法用中的折射角与三棱镜顶角、折射率的关系，并借助MATLAB、Mathematica这两种软件画出三棱镜的折射率与其它物理量之间的函数关系图也即三棱镜折射率的相图，使研究者能够清楚地知道各物理量之间的关系，以及各个区域的物理意义.通过运用MATLAB和Mathematica这两种软件绘图，为测量三棱镜的折射率提供了一种新的方法.

1 垂直邻边入射法原理

三棱镜可以使光的传播方向发生偏折，如图1所示，三角形ABC表示三棱镜的横截面，AB和AC表示透光的光学表面，三棱镜的顶角为∠A，其折射率为n，入射光线从空气中以入射角i1射到三棱镜AB面上且入射光线的延长线垂直于AC面.因入射光线的延长线垂直于顶角的邻边，所以这种方法称为垂直邻边入射法[7].光线经AB面折射后射到AC面上，最后以出射角r2射出.

根据图1，由三棱镜的折射定律可知：

图1 垂直邻边入射法光路图

(1)

nsini2=sinr2

(2)

根据图1中的光路，由几何关系可知：

A=r1+i2

(3)

根据定义又有：

A=i1

(4)

由公式(2)可得：

(5)

则由公式(5)又有：

(6)

联立(1)(3)(4)(5)(6) 式，则可得：

(7)

此式说明三棱镜的折射率n由折射角r2和三棱镜的顶角A决定，即只要知道了折射角和三棱镜顶角的大小就能知道三棱镜折射率的大小.

2 利用MATLAB研究三棱镜折射率的相图

首先简单介绍一下MATLAB，它对数学建模来说有重要作用，它在数学建模中可用于计算、编程以及作图.对于很多复杂的公式，靠人工计算是不可能的，此时就需要借助MATLAB软件来进行计算.还有一些复杂的计算公式，需要知道公式中各量的关系，这时就要利用MATLAB来画出函数的图像，这样就能明确地知道各量之间的关系.MATLAB在大学物理实验中也有很多的应用，例如：用它处理棱镜折射率所得的数据；用它模拟杨氏双缝干涉实验；还可以用它来画出李萨如图形，而本文三棱镜折射率的相图也是运用MATLAB画出来的.

2.1 垂直邻边入射法对应的相图

图2 垂直邻边入射法对应的相图

图2是运用垂直邻边入射法借助MATLAB软件画出的图像，此三维立体图的三个坐标轴分别表示的是折射角、三棱镜的顶角、三棱镜的折射率.通过这个相图可以得到它们三者之间的关系，在这个绿色曲面上的所有点都满足入射光线的延长线垂直于顶角的一条邻边，即入射光线以等于顶角的大小射到三棱镜的表面上.利用此相图，也可以准确知道某一点的具体值即可以得到折射角、三棱镜的顶角、三棱镜折射率的具体值.通过该相图，也可以看出三棱镜的折射率会因折射角的不同而不同，也会因为三棱镜顶角的不同而不同.由相图可以得出，在一定范围内(顶角与折射角的范围从到45°到90°)，当三棱镜的顶角一定时，三棱镜的折射率会随折射角的增大而呈现增长趋势.利用相图，简洁明了地呈现出了各物理量之间的关系，能够让实验者很快领会折射角、三棱镜顶角与折射率之间的关系，这样在测量三棱镜折射率的时候，就能够很快地进行实验操作，以加快做实验的速度.

3 利用Mathematica研究三棱镜折射率的相图

首先介绍一下Mathematica,它处理数据的功能比较强大.运用它可以计算一些较难的微积分，解一些较难的方程，并且还可以画出函数的图像.对于复杂的函数，有时候很难从公式来判断各参量之间的关系，所以可以借助计算机软件来画出其关系图.Mathematica也经常应用在物理中，例如：它可以描绘粒子在非均匀强磁场中的运动轨迹；也可以描绘静止点电荷所产生的电场线.而本文三棱镜折射率的相图也是运用Mathematica画出来的.

3.1 垂直邻边入射法对应的相图

图3 垂直邻边入射法对应的相图

图3是运用垂直邻边入射法借助Mathematica软件画出的相图，(a)(b)两幅图是在不同的角度下画出的相图，此三维图的三个坐标分别表示的是折射角、顶角、折射率，此图也是三者的关系图.图中褐色网格曲面上的点是正好以入射角等于三棱镜顶角的大小入射的，且入射光线的延长线正好垂直于顶角的邻边.由此相图可以看出，在一定范围内(顶角与折射角的范围从到45°到90°)，当三棱镜顶角一定时，折射角越大，三棱镜的折射率就越大；当折射角一定时，随着三棱镜顶角的增大折射率呈现减小的趋势.

4 实验数据测量及计算

表1 垂直邻边入射法的实验数据测量

表2 垂直邻边入射法的计算结果

5 结论

利用MATLAB和Mathematica这两种软件，给出了顶角、折射角及折射率之间的关系，观察到的各物理量之间的变化规律是相同的，通过相图清楚地给定测量有意义区域.利用Mathematica软件画三棱镜折射率的相图比较容易，编辑公式相对于MATLAB简单，但MATLAB画出的图可以明确知道某一点的具体值，这样就比Mathematica在获得数据方面精确.