双时滞的SLIR计算机病毒模型的Hopf分岔

欧玉芹，李群宏，徐现丽

(广西大学数学与信息科学学院，广西南宁 530004)

0 引言

计算机技术的迅速发展，不仅改变了人们的生活、生产和思想，而且使计算机病毒传播，成为计算机安全的最大威胁[1-2].国内外很多学者，受到生物病毒传播研究思路的启发，借助生物数学领域已有的数学模型和方法，研究计算机病毒的传播，采取有效措施控制计算机病毒的传播.

考虑计算机病毒，在两台计算机之间传输需要一定的时间周期.一些学者运用动力学相关理论，研究具有时滞的SIR计算机病毒模型[3-6]和SIQR[7]模型.以上两类模型，主要考虑的是易感计算机、感染计算机、和恢复计算机类型.但在实际情况中，潜伏计算机也具有感染病毒的能力，因此潜伏计算机的研究具有实际意义.文献[7-10]研究带有潜伏节点的计算机模型.众所周知，计算机病毒在传播过程中有多种类型的时滞，如带有潜伏的[3,7]、感染的[4-5]等,平衡点失去稳定性后会产生Hopf分岔[7-11],更好的了解病毒的传播途径.因此考虑计算机病毒模型的多时滞情况更加具有一般性.文献[10]研究一时滞的SLIR模型，以感染节点重装系统需要一定的时间周期为时滞.本文在文献[10]的基础上，增加杀毒软件清除潜伏节点需要一定的时间周期作为时滞，运用泛函微分方程理论和动力学理论，研究双时滞的SLIR计算机病毒模型，在病毒平衡点处的稳定性及Hopf分岔.

1 建立模型

本文研究的计算机模型是四维的，分别为易感计算机S，潜伏计算机L，感染计算机I，恢复计算机R .带有双时滞的计算机病毒模型如下

(1.1)

其中S(t)、L(t)、I(t)和R(t)分别为易感计算机、潜伏计算机、感染计算机和恢复计算机的数量.A是易感计算机的常数补充率；μ是病毒离开每台计算机的概率；ε是使用解毒剂时，易感计算机获得暂时免疫率；β，α，δ，ω是计算机各状态量的转换率.系统(1.1)的参数均为正数.系统(1.1)的时滞分别为：τ1表示感染节点在重装系统需要的时间周期；τ2表示使用杀毒软件清除潜伏节点所需的时间.为了方便计算，本文主要研究τ1=τ2=τ的情况.

2 病毒平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分岔的存在性

P*=(S*,L*,I*,R*)，得到

其中G=Aβ-μ(r+μ+δ) ，F=μ[α(δ+r+μ-ε)+δ(μ+ω)+(μ-ε)(r+μ+ω)].

通过计算，系统(1.1)在P*的特征方程为

λ4+α1λ3+α2λ2+α3λ+α4+(b1λ3+b2λ2+b3λ+b4)e-λτ+ce-2λτ=0.

(2.1)

其中

a1=βL+4μ-ε+r+α-2βS，

a2=βL(3μ-ε+r-2βS+α)+βS(-6μ+2ε-2α+β)

+μ(6μ-3ε+3r+3α)+α(r-ε)-εr，

a3=(μ-ε)[(βL+μ)(r+2μ+α-βS)-βS(μ+α)]

+(βL+2μ-ε)(r+μ-βS)(α+μ)-βS(2μ-ε+α)(βL+μ-β)，

a4=(βL+μ)(r+μ-2βS)+β2S，b1=ω，b2=ω(βL+3μ-ε+r-βS)-1，

b3=βω[(2μ-ε+r-βS)L+(ε-2μ)S+(βS-r)] +ωμ(3μ-2ε+2r)+(βSδ-3ωr-βL-2μ+ε)，

b4=βSδ(α+μ)-(βL+μ)(μ-ε)+βω(βS-r)(1-ε+μ) +ω(βL+μ)(μ-ε)(r+μ-βS)，

c=βSδ.

当τ=0时，根据Hurwitz条件，显然得到系统(1.1)在病毒平衡点P*是局部渐近稳定的.

当τ≠0时，方程(2.1)记为

b1λ3+b2λ2+b3λ+b4+(λ4+α1λ3+α2λ2+α3λ+α4)eλτ+ce-λτ=0.

(2.2)

令λ=iω(ω>0)为方程(2.2)的根，解得

其中

f0=b2-α1b1，f1=α3b1+α1b3-α2b2-b4，f2=α4b2-b2c+α2b4-α3b3，f3=b4c3-α4b4，

f4=b1，f5=α1b2-α2b1-b3，f6=α4b1+α2b3+b1c-α3b2-α1b4，f7=α3b4-α4b3-b3c，

根据

sin2ωτ+cos2ωτ=1.

(2.3)

假设

(H1) 方程(2.3)至少有一个正根ω0.

对于ω0，求解得到

(2.4)

把λ(τ)代入方程(2.2)，并对τ求导，解得

(2.5)

其中

G1R=(b3-3ω2b1)+(α3-3α1ω2)cosωτ+(4ω3-2α2ω)sinωτ，

G1I=2b2ω+(α3-3α1ω2)sinωτ+(2α2ω-4ω3)cosωτ，

H1I=(α3ω2-α1ω4)sinωτ+[(c-α4)ω+α2ω3-ω5]cosωτ.

假设

(H2) 若G1RH1R+G1IH1I≠0.

(2.6)

定理1 假设系统(1.1)满足(H1)和(H2)，则平衡点P*=(S*,L*,I*,R*)在τ∈[0，τ0)时局部渐近稳定.当τ=τ0时，系统(1.1)在平衡点处发生Hopf分岔及存在一簇分岔周期解.

3 Hopf分岔的方向和分岔周期解的稳定性

这一节，我们将应用中心流形定理和规范形定理，研究系统(1.1)在τ=τ0时，平衡点

P*=(S*,L*,I*,R*)的Hopf分岔方向和分岔周期解的稳定性.

则系统(1.1)在平衡点处的泰勒展开式如下所示

(3.1)

其中

k11=-βL*，k12=-βS*，k13=-β，k14=ω，k15=-ε，k16=-μ；

k21=βL*，k22=βS*，k23=-(r+μ) ，k24=-δ，k25=β；

k31=r，k32=-(α+μ) ，k33=-ω，k41=δ，k42=α，k43=ε-μ.

其中θ∈[-τ,0].定义Ck[-τ,0]={Φ|Φ：[-τ,0]→R3} ，Φ有k阶连续导数.初始条件：Φ(θ)=(Φ1(θ),Φ2(θ),Φ3(θ),Φ4(θ)T)∈C[-τ,0])，方程(3.1)记为

(3.2)

其中L(μ)：C→Rn是有界线性算子.根据Reisz表示定理，其线性化方程为

(3.3)

其中η(θ，μ)是关于(θ，μ)∈I0×R可测的矩阵函数.当φ∈C1([-τ,0],R4)，根据参考文献[11]，线性化方程(3.3)对应的无限小生成元A(μ)定义为

(3.4)

定义

(3.5)

于是，方程(3.2)等价于方程

(3.6)

下面，利用中心流形定理和规范形理论讨论方程(3.6).

当Φ∈C1([-τ,0],R4)，关于A(0)的伴随矩阵A*有如下的定义

(3.7)

当φ∈C1([-τ,0],R4)，φ∈C1([-τ,0],R4)时，适合复向量的双线性形式记为

(3.8)

上式的η(θ)=η(θ,0)，且满足

[φ,AΦ]=[A*φ,Φ].

(3.9)

假设q(θ)=q(0)eiω0θ和q*(s)=q*(0)e-iω0s，分别是A和A*关于iω0和-iω0的特征向量，且[q*,q]=1.

下面，我们将研究系统(1.1)Hopf分岔的方向和分岔周期解的稳定性.类似于常微分方程，我们通过计算判定Hopf分岔性质的关键参数U2，T2和β2.

(3.10)

(3.11)

对于方程(3.6)的解yt∈Ω0，在μ=0时，可以推得方程(3.2)在中心流形上的流由下列方程所确定

(3.12)

记

(3.13)

将方程(3.12)简记为

(3.14)

并记

(3.15)

下面，只要求出g20，g11，g02，g21，就得到了限制在中心流形上的规范形方程(3.13).根据方程(3.6)，(3.10)和(3.11)，得到

(3.16)

方程(3.14)简记为

(3.17)

其中

(3.18)

另一方面，在中心流形上，有

(3.19)

将方程(3.17)代入方程(3.11)后与(3.17)比较，得到

(A-2iω0)ω20=-H20,Aω11=-H11,(A+2iω0)=-H02.

(3.20)

其次，计算ω20(θ)和ω11(θ)，其中θ∈[-τ,0).由方程(3.13)和(3.15)计算的结果与方程(3.16)比较得到

(3.21)

把方程(3.19)代入方程(3.18)，左右两边求导，解得

(3.22)

求解方程(3.20)，得到

(3.23)

当θ=0时，有

(3.24)

由方程(3.21)和(3.22)，得到

因此，算得

(3.25)

由方程(3.23)可以解得

因此g20，g11，g02，g21全部求得，限制在中心流形上的方程(3.14)被求得.

最后，根据以上计算，可以推导出U2，T2和β2.如下所示

(3.26)

方程(3.26)的参数决定了分岔周期解的方向和稳定性，我们得到以下定理.

定理2U2决定分岔周期解的方向，如果U2>0(U2<0)，Hopf分岔是超临界的(亚临界)，τ>0系统存在分岔周期解.

定理3β2决定分岔周期解的稳定性，如果β2<0(β2>0)，则分岔周期解稳定(不稳定).

定理4T2决定分岔周期解的周期数，如果T2>0(T2<0)，则分岔周期数增加(减小).

4 数值仿真

为了验证第2节和第3节理论分析结果的正确性，根据文献[10]中的参数值，令

A=1,β=0.35,ω=0.8,ε=0.15,μ=0.35，r=0.05,α=0.35,δ=0.15.

通过计算,得到系统(1.1)的病毒平衡点P*=(1.5714,0.6981,0.0233,0.5643)，验证了(H1)和(H2)的正确性.由方程(2.6)和(3.1)，可得ω0=0.7254，，且计算得到.当病毒平衡点局部渐近稳定，相应的波形图和相图分别对应图1和图2.当时滞通过临界值时，即病毒平衡点失去稳定性，产生Hopf分岔，并在平衡点附近出现周期解，如图3和图4所示.

图1 时滞τ=4.96<5.0629， 图2时滞 τ=4.96<5.0629，

图3 时滞τ=5.51>5.0629，系统(1.1)出现稳定周期解

图4 时滞τ=5.51>5.0629，周期解稳定

5 结论

本文研究双时滞的SLIR计算机病毒模型.与文献[10]的模型相比较，本文考虑的模型具有一般性.文中考虑感染节点在重装系统和杀毒软件清除潜伏节点都需要一定的时间周期.首先，研究系统病毒平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分岔的存在性条件.当时滞的值低于临界值τ0时，系统(1.1)是局部渐近稳定的，利于对计算机病毒传播的采取有效措施进行控制；当时滞的值大于临界值τ0时，系统(1.1)失去稳定性，在病毒平衡点附近产生Hopf分岔.其次，应用中心流形定理和规范形定理，确定分岔周期解的方向和稳定性.最后,通过数值仿真验证了结果的正确性.