累加型、累乘型数列不等式解一类函数压轴题*

四川省成都市大邑县师大三中 (611331) 李小强 邓文俊四川内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 刘成龙

数列作为特殊的函数，具有一般函数不具有的特性.因此，从数列角度认识函数体现了特殊到一般的认识方式.累加法、累乘法是数列问题解决中的两种重要方法，运用这两种重要方法可以获得累加型、累乘型数列不等式.本文运用累加型、累乘型数列不等式解决一类函数压轴题.

一、累加型、累乘型数列不等式简介

1.累加型、累乘型数列不等式

定理1 若数列{an}满足an-an-1≥bn(n≥2,n∈N*),a1≥b1，则an≥b1+b2+b3+…+bn.

证明:由不等式的相加法则得：(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)≥b2+b3+…+bn，化简得an≥a1+b2+b3+…+bn，又a1≥b1，则an≥b1+b2+b3+…+bn.

2.累加型、累乘型数列不等式解决问题的基本步骤

对关于正整数的(或可转化为)和式或积式的论证中,往往可以用累加、累乘型数列不等式证明.形如证明：

用累加法(累乘法)证题过程中需要从两个方面入手：

第一步：判断n=n0(n0为初始值)时是否成立；

若上面两步都成立,逐项累加可以得到(a1+a2+a3+…+an)≥f(n).

同理可得a1·a2·a3·…·an≥f(n).

注：特别指出，上面的“≥”符号可以替换为“>”、“≤”、“<”中的任意一种.

二、运用累加型、累乘型数列不等式解一类函数压轴题

分析:(Ⅰ)an=(b-1)bn-1(略)；

评注：此题的常规做法一般有数学归纳法、放缩法两种，而数学归纳法证明n=k+1成立时，也要用到放缩法，而放缩法的关键在于放缩的尺度，很是考验技巧性.过程显得繁杂许多，而运用累乘法解决此不等式具有很强的目的性,步骤简洁.有兴趣的读者可以试着用数学归纳法和放缩法做一下此题，与累乘法作一对比，其中优点显而易见.

分析:(Ⅰ)a≥-1，过程略；

本文介绍了累加、累乘型数列不等式在解一类函数压轴题中的应用，权作抛砖引玉，希望大家继续对累加、累乘型数列不等式的应用作深入的研究.