高考数学填空题命题规律及备考策略

高慧明

数学填空题在近几年全国卷中题量一直为4题，每题5分共20分，在高考数学试卷中约占13.33%. 它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等.

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.

二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重選择性的填空题.

在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”. 为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做;稳——变形要稳，不可操之过急;全——答案要全，力避残缺不齐;活——解题要活，不要生搬硬套;细——审题要细，不能粗心大意.

高考填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力.

由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，一般不可“小题大做”.

一、直接法

直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题.直接法是求解填空题的基本方法.

例1.（1）已知函数f（x）=log2（1-x）+1，x<1x-2，x≥1 若f（a）=3，则a=________.

（2）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则■=________.

解析：（1）∵a≥1时，f（a）≤1，不适合. ∴f（a）=log2（1-a）+1=3，∴a=-3.

（2）由余弦定理：cos A=■=■=■，∴ sin A=■，

cos C=■=■=■，∴ sin C=■，∴■=■=1.

答案：（1）-3;（2）1.

点评：利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.

相关链接1：（1）已知函数f（x）=■在区间（-2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是      .

（2）已知F为双曲线C：■-■=1的左焦点，P，Q为C上的点. 若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为________.

（3）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于________.

解析：

（1）f（x）=■=a+■，由复合函数的增减性可知，g（x）=■在（-2， +∞）上为增函数，∴ 1-2a<0，∴ a>■.

（2）由题意，得|PQ|=16，线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上. 由双曲线的定义，可知|PF|-|PA|=2a，|QF|-|QA|=2a，两式相加，得|PF|+|QF|-（|PA|+|QA|）=4a，

则|PF|+|QF|=4a+|PQ|=4×3+16=28，故△PQF的周长为44.

（3）由等比数列性质知a2a3=a1a4，又a2a3=8，a1+a4=9，∴ 联立方程a1a4=8，a1+a4=9，解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1，又数列{an}为递增数列，∴a1=1，a4=8，从而a1q3=8，∴ q=2.

∴数列{an}的前n项和为Sn=■=2n-1.

二、特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

例2.（1）cos2α+cos2（α+120°）+cos2（α+240°）的值为________.

（2）如图，在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________.

解析：（1）令α=0°，则原式=cos20°+cos2120°+cos2240°=■.

（2）要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可. 故可以将三条棱长分别取为OA=6，OB=4，OC=2，如图，则可计算S1=3■，S2=2■，S3=■，故S3

答案：（1）■;（2）S3

点评：求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.

相关链接2：（1）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且■+■=6cos C，则■+■=________.

（2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=________.

答案：（1）4;（2）-8.

解析：（1）用特例法. 令锐角三角形ABC为等腰三角形，此时cos C=■. 不妨设a=b=3（如图），作AD⊥BC垂足为D，所以CD=1，AD=2■，所以tan C=2■，tan A=tan B=■，所以■+■=4.

（2）根据函数特点取f（x）=sin■x，

再由图像可得（x1+x2）+（x3+x4）=（-6×2）+（2×2）=-8.

（3）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则■=__________.

解法一：取特殊值a=3， b=4，c=5 ，则cosA=■，cosC=0，■=■.

解法二：取特殊角A=B=C=60°  cosA=cosC=■，■=■.

（4）如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），那么f（1），f（2）， f（4）的大小关系是.

解析：由于f（2+t）=f（2-t），故知f（x）的对称轴是x=2. 可取特殊函数f（x）=（x-2）2，即可求得f（1）=1，f（2）=0，f（4）=4. ∴ f（2）

（5）已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角的余弦值为 .

解析：取SA=SB=SC，则在正四面体S-ABC中，易得平面SAB与平面SAC所成的二面角的余弦值为■.

（6）已知m，n是直线，？琢， ？茁， ？酌是平面，给出下列命题：①若？琢⊥？酌，？茁⊥？酌，则？琢∥？茁;②若n⊥？琢，n⊥？茁，则？琢∥？茁;③若？琢内不共线的三点到？茁的距离都相等，则？琢∥？茁;④若n？芴？琢，m？芴？琢，且n∥？茁，m∥？茁，则？琢∥？茁;⑤若m，n为异面直线，n？芴？琢，n∥？茁，m？芴？茁，m∥？琢，则？琢∥？茁. 则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上）

解析：依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体AC1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果. 这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形.

例3.（1）已知点P（x，y）的坐标x，y满足x-2y+1≥0，x-y-1≤0，则x2+y2-6x+9的取值范围是                           .

（2）已知函数f（x）=log2x，g（x）=f（x），x≥2f（4-x），x<2若关于x的方程g（x）=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________.

解析：（1）画出可行域如图，所求的x2+y2-6x+9=（x-3）2+y2是点Q（3，0）到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x-y-1=0（x≥0）的距离d的平方，∴d ■=（■）2=（■）2=2.

最大值为点Q到点A的距离的平方，∴d  ■=16. ∴取值范围是[2，16].

（2）画出函数y=g（x）的图像（如图）.

由图知，当函数y=g（x）和y=k的图像有两个交点时，k>1.

答案：（1）[2，16];（2）（1，+∞）.

点评：数形结合法可直观快捷地得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数. 数形结合法是高考的热点，应用時要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系.

相关链接3：（1）若函数f（x）=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是_______.

（2）若函数y=f（x）图像上不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”）. 已知函数f（x）=ex，x<0x2-4x，x>0则此函数的“和谐点对”有________对.

答案：（1）（0，2）;（2）2.

解析：（1）将函数f（x）=|2x-2|-b的零点个数问题转化为函数y=|2x-2|的图像与直线y=b的交点个数问题，数形结合求解. 由f（x）=|2x-2|-b=0，得|2x-2|=b. 在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图像，如图所示. 则当0<b<2时，两函数图像有两个交点，从而函数f（x）=|2x-2|-b有两个零点.

（2）作出f（x）=ex，x<0x2-4x，x>0的图像，f（x）的“和谐点对”数可转化为y=ex（x<0）和y=-x2-4x（x<0）的图像的交点个数（如图）.

由图像知，函数f（x）有两对“和谐点对”.

（3）已知向量■=（cos？兹，sin？兹），向量■=（■，-1），则|2■-■|的最大值是        .

解析：因|2■|=|■|=2，故向量2■和■所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2■-■|的几何意义即表示弦AB的长，故|2■-■|的最大值为4.

（4）如果不等式■>（a-1）x的解集为A，且A？哿{x│0

解析：根据不等式解集的几何意义，作函数y=■和函数y=（a-1）x的图像（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是a∈[2，+∞）.

（5）设函数f（x）=■x3+■ax2+2bx+c. 若当 x∈（0，1）时，f（x）取得极大值;x∈（1，2）时，f（x）取得极小值，则■的取值范围是.

解析：f ′（x）=x2+ax+2b，令f ′（x）=0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴f ′（1）<0，f ′（0）>0，f ′（2）>0，得a+2b+1<0，b>0，a+b+2>0，在aOb坐标系中，作出上述区域如图所示，而■的几何意义是过两点P（a，b）与A（1，2）的直线斜率，而P（a，b）在区域内，由图易知kPA∈（■，1）.

四、构造法

用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程. 构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知（例如代数式）形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景），从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的.

例4.（1）如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=■，则球O的体积等于________.

（2）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f ′（x）>1，f（0）=4，则不等式f（x）>■+1（e为自然对数的底数）的解集为_______.

解析：（1）如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD=■=2R，所以R=■，故球O的体积V=■=■π.

（2）由f（x）>■+1，得exf（x）>3+ex，构造函数F（x）=exf（x）-ex-3，对F（x）求导得F′（x）=exf（x）+exf ′（x）-ex=ex[f（x）+f ′（x）-1]. 由f（x）+f ′（x）>1，ex>0，可知F′（x）>0，即F（x）在R上单调递增，又因为F（0）=e0f（0）-e0-3=f（0）-4=0，所以F（x）>0的解集为（0，+∞）.

答案：（1）■π;（2）（0，+∞）.

点评：构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题. 在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧. 通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等.

相关链接4（1）■，■，■（其中e为自然对数的底数）的大小关系是________.

（2）已知三个互不重合的平面α、 β、 γ， α∩β=m，n？奂γ，且直线m、 n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n？奂β;②m∥γ，n∥β;③m？奂γ，n∥β.

能推得m∥n的条件是________.

答案：（1）■<■<■;（2）①③.

解析：（1）由于■=■，■=■，■=■，故可构造函数f（x）=■，于是f（4）=■，f（5）=■，f（6）=■.

而f ′（x）=（■）′=■=■，令f ′（x）>0得x<0或x>2，即函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，因此有f（4）

（2）构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β為平面ABCD，则直线m为直线AD.

因为m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，

因为n？奂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.

则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行.

对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC′B′，可取直线n为直线BC，故可推得m∥n;

对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB′C′D，取直线n为直线B′C′，故可推得结论.

（3）点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为.

解析：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA与BD所成角为60°.

（4）椭圆■+■=1的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是 .

解析：构造圆x2+y2=5，与椭圆■+■=1联立求得交点x02 =■？圯x0∈（-■，■）.

五、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.

例5. 不等式■>ax+■的解集为（4，b），则a=_______，b=________.

解析：设■=t，则原不等式可转化为：at2-t+■<0，∴a>0，且2与■（b>4）是方程at2-t+■= 0的两根，由此可得a=■，b=36.

相关链接5：不论k为何实数，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是 .

解析：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆（x-a）2+y2=2a+4，∴-1≤a≤3.

六、正反互推法

多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论. 这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论.

例6. 已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1）时，

f（x）=log2（x+1），给出下列命题：

①f（2018）+f（-2019）的值为0;②函数f（x）在定义域上为周期是2的周期函数;③直线y=x与函数f（x）的图像有1个交点;④函数f（x）的值域为（-1，1）. 其中正确的命题序号有________.

解析：根据题意，可在同一坐标系中画出直线y=x和函数f（x）的图像如下：

根据图像可知①f（2018）+f（-2019）=0正确，②函数f（x）在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图像确实只有一个交点，所以正确，④根据图像，函数f（x）的值域是（-1，1），正确.

答案：①③④.

点评：正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假;二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能. 两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断. 利用正反互推结合可以快速解决这类问题.

相关链接6：给出以下命题：

①双曲线■-x2=1的渐近线方程为y=±■x;

②命题p： “？坌x∈R+，sin x+■x≥2”是真命题;

③已知线性回归方程为■=3+2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4個单位;

④设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ>1）=0.2，则P（-1<ξ<0）=0.6;

⑤已知■+■=2，■+■=2，■+■=2，■+■=2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为■+■=2（n≠4）.

则正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）.

答案：①③⑤.

解析：①由■-x2=0可以解得双曲线的渐近线方程为y=±■x，正确.

②命题不能保证sin x，■为正，故错误;

③根据线性回归方程的含义正确;

④P（ξ>1）=0.2，可得P（ξ<-1）=0.2，所以P（-1<ξ<0）=■P（-1<ξ<1）=0.3，故错误;

⑤根据验证可知得到一般性的等式是正确的.

七、分析法

根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.

例7. 如右图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形满足条件                 时，有A1C⊥B1D1（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）.

解析：因四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，故A1C1为A1C在面A1B1C1D1上的射影，从而要使A1C⊥B1D1，只要B1D1与A1C1垂直，故底面四边形A1B1C1D1只要满足条件B1D1⊥A1C1即可.

相关链接7：以双曲线■-y2=1的左焦点F，左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线y=kx+3所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是 .

解析：左焦点F为（-2，0），左准线l：x=-■，因椭圆截直线y=kx+3所得的弦恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线y=kx+3与x轴的交点（-■，0），

由-■<-2，得0

减少填空题失分的七种检验方法：

1. 回顾检验

例1. 满足条件cos？琢=-■且-？仔≤？琢≤？仔的角？琢的集合为   .

错解：∵cos■=-■，cos■=-■，∴？琢=■或■.

检验：根据题意，答案中的■不满足条件-？仔≤？琢≤？仔，应改为-■;其次，角？琢的取值要用集合表示. 故正确答案为{■，-■}.

2. 赋值检验：若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.

例2. 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+2n+1，则通项公式an= .

错解：∵an=Sn-Sn-1=3n2+2n+1-[3·（n-1）2+2（n-1）+1]=6n-1，

∴ an=6n-1.

检验：取n=1时，由条件得a1=S1=6，但由结论得a1=5.

故正确答案为an=6（n=1），6n-1（n≥2）.

3. 逆代检验：若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.

例3. 方程3z+z=1-3i的解是       .

错解：设z=a+bi（a，b∈R），则（3a+■）+3bi=1-3i，根据复数相等的定义得3a+■=1，3b=-3. 解得a=0，b=-1或a=■，b=-1.故z=-i或z=■-i.

检验：若z=-i，则原方程成立;若z=■-i，则原方程不成立.

故原方程有且只有一解z=-i.

4. 估算检验：当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.

例4. 不等式■>1-lgx的解是       .

错解：两边平行得1+lgx>（1-lgx）2，即lgx（lgx-3）<0，0

检验：先求定义域得x≥■. 若x>1则■>1，1-lgx<1，原不等式成立;若■≤x≤1时，■≤1-lgx原不等式不成立，故正确答案为x>1.

5. 作图检验：当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.

例5. 函数y=log2x-1的递增区间是       .

錯解：（1，+∞）.

检验：由y=log2（x-1）（x>1），log2（1-x）（x<1），

作图可知正确答案为[0，1）和[2，+∞）.

6. 变法检验：一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.

例6. 若■+■=1（x，y∈R+），则x+y的最小值是       .

错解：∵1=■+■≥2■=■，■≥6，∴x+y≥2■=12.

检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到.

换一种解法为：

∵ x+y=（x+y）（■+■）=10+■+■≥10+2■=16，

∴ x+y的最小值为16.

7. 极端检验：当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.

例7. 已知关于x的不等式（a2-4）x2+（a+2）x-1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围       .

错解：由△=（a+2）2+4（a2-4）<0，解得-2

检验：若a=-2，则原不等式为-1≥0，解集是空集，满足题意;若a=■，则原不等式为64x2-80x+25≤0，即（8x-5）2≤0，解得x=■，不满足题意.

故正确答案为-2≤a<■.

注：解答填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”.

（本文系北京市教育科学“十三五”规划课题“基于核心素养的高中数学核心概念课堂教学的反思与重构研究”（编号：CDDB19238）阶段性研究成果）

责任编辑   徐国坚