无穷直线上k解析函数的非正则型Riemann边值问题

曾 伟

(西南民族大学预科教育学院，四川 成都 610041)

解析函数的边值问题是复变函数论中的一个重要分支.在文献[1]中，路见可教授系统的总结了前人关于解析函数的相关知识.在文献[2]中，维库阿·依·涅提出并研究了解析函数的推广─广义解析函数.文献[3]，杨丕文教授提出了k解析函数，并进行了初步研究.文献[4-7]进一步研究了k解析函数的性质和多种不同类型的边值问题.k解析函数大大地扩充了解析函数的古典理论及其应用范围.本文将在文献[3-7]的基础上，研究无穷直线上的k解析函数的非正则型的Riemann边值问题.

1 问题的提出

定义1[3]：设G是复平面上的一个区域，k为自然数，u(z)∈Ck(G)，且在G内有

此时，称u(z)在G上是k解析的，或者称u(z)为G上的k解析函数.

定义2：设L是一条直线，并且是无穷的.不妨假设此直线为x轴，记为X，并且与x轴方向相同.为了便于理解，不妨把复平面的上半平面记为Z+，复平面的下半平面记为Z-.设fj(ζ)∈，简记为(其中0＜α ≤1，j＝ 0，1，…k-1). 定义 Cauchy型积分：

当z∉X时，W(z)是k解析函数.

引理1[3]：设W(z)是区域G内的k解析函数的充要条件是W(z)可表示为

其中，Wm(z)，(m ＝0，1，…，k-1)是G内的解析函数，并且W(z)在G内如(2)的表达式唯一.

引理2[5](Plemelj公式)：设fm(t)∈(m ＝0，1，…，k-1).当z从Z+与Z-内分别趋于t(t∈X)时，极限值

定义3：求在Z+，Z-内分片k解析函数W(z)(W(∞)有界，且W±(+∞) ＝ W±(-∞))，使得W(z)，在X两侧可以连续延拓到X上，并且满足

其中，G∗(t)，f0(t)，f1(t)，…，fk-1(t) ∈，并且G∗(t)，在X上可以有一些整数阶的零点，称之为k解析函数在无穷直线X上的的非正则型的Riemann边值问题，可以简称为R问题.

文献[5]中讨论了正则型G∗(t)≠0的情况，本文讨论非正则型，即在X上可以有一些整数阶的零点.假设，其中 G(t) ∈，且 G(t) ≠ 0，而(t- βl)μl，此处 αj和 βl在无穷直线 X 上面，同时 αj≠ βl， λj∈Z+， μl∈Z+. 令，κ为边值问题的指标.更特殊的情况是，当f(t)＝f(t)＝… ＝f(t)＝0时，边值问题更加01k-1便于分析，称为齐次边值问题，简称为R0问题.下面，我们首先分析齐次边值问题，再利用这一结果，进一步讨论更一般的情况.

2 无穷直线上的非正则型的齐次边值问题

无穷直线上的非正则型的齐次边值问题R0的边界条件：

由文献[1]的方法，可得G(t)的分解

令

显然有

根据文献[4]的理论，函数Φ(z)在复平面上是k解析函数的.又因为W(∞)有界，并且函数F(z)在∞处具有 -κ阶，所以函数Φ(z)在∞处不超过λ+κ阶.

因此，满足边界条件(5)的非正则型齐次问题R0的解为：

其中 m ＝ 0，1，2，…k-1 ，Pm，κ-μ-m(z) 是 κ - μ -m 次多项式(若 κ - μ -m ＜ 0 ，则可以认为 Pm，κ-μ-m(z)≡0).所以，满足边界条件(5)的非正则型齐次问题R0的解为：

定理1：对于满足边界条件(5)的无穷直线上的非正则型的齐次问题，有

①当κ＞μ时，其一般解为(10)式;

②当κ＝μ时，其一般解为

其中复常数C为任意复数;

③当κ＜μ时，非正则型的齐次问题只有一个唯一解，零解.

3 无穷直线上的非正则型的非齐次边值问题

无穷直线上的非正则型的非齐次边值问题R的边界条件：

用前面讨论的方法，把(6)式代入(12)式，可得

其中Γ(z)为(8)式.

对(13)式乘以 (z+i)-κ，则

令

或者

其中

由引理2可知

由(15)式和(16)式，可得

因为W(∞)有界，可得

从而，有

做 ρ＝ λ + μ -1次 Hermite插值多项式 Rm，ρ(z)，m ＝ 0，1，…，k-1：

这种多项式是存在唯一的.

令

所以：当μ-κ+k-2≤0时，W0(z)是满足边界条件(12)的无穷直线上k解析函数的非正则型的非齐次问题的一个特殊的解.

当μ-κ+k-2＞0时，因为W0(z)有μ-κ+k-2阶极点，要W0(z)是满足边界条件(12)的无穷直线上k解析函数的非正则的非齐次问题的解，还应满足个条件，令

则

当λ+κ≥-1时，上述条件应为：

即Rm，ρ(z)只能是λ+κ-m次的多项式(当λ+κ ＝-1时，Rm，ρ(z)≡0).

当λ+κ ＜-1时，除了要求Rm，ρ(z)≡0，m ＝0，1，…k-1，还要保证u(z)在∞具有 -(λ+κ)阶零点，即

定理2：对于满足边界条件(12)的无穷直线上的非正则型的非齐次问题，有

①当μ-κ+k-2＜0时，其一般解为W(z)＝W∗(z)+W0(z)，其中W∗(z)由(10)式确定，W0(z)由(18)确定;

②当μ-κ+k-2＝0时，其一般解为W(z)＝W∗(z)+W0(z)，其中W∗(z)由(11)式确定，W0(z)由(18)确定;

③当 μ-κ+k-2 ＞0时，要求f0(t)，f1(t)，…，fk-1(t)满足个条件时，边值问题此时可解，且解是唯一，解由(18)确定.

ⓐ当λ+κ≥-1时，要求由(17)式所确定的插值多项式Rm，ρ(z)是λ+κ-m次的多项式;

ⓑ当λ +κ ＜-1时，除了Rm，ρ(z)≡0，m ＝ 0，1，…k-1外，还要满足(19)式成立.

本文所得到的的结论，使得无穷直线上的k解析函数的Riemann边值问题在文[5]的基础上，从正则型的情况推广到了非正则型的情况.本文的结论更加普遍，它丰富了k解析函数的理论基础，同时使得k解析函数关于Riemann边值问题的应用更加广泛.