基于优化K-GM(1，1)在桥梁变形预测中的应用研究

罗少欢，豆红磊

(1.珠海市测绘院，广东 珠海 519000； 2.湘潭大学土木工程与力学学院，湖南 湘潭 411105)

1 引 言

变形监测是对监视对象或物体进行测量，以确定其空间位置随时间的变化特征[1]。桥梁工程变形监测是为了及时了解在施工过程中支护结构和邻近建(构)筑物的变形规律及动态发展趋势，并对桥梁体系的稳定性、可靠性和安全性进行预测预报。分析变形监测的方法很多[2～5]，其中灰色系统GM(1，1)模型[6]以其显著的优势被广泛应用于变形监测中，并取得了显著的效果。文献[7]指出，在稳定的数据序列中，采用传统GM(1，1)模型预测，可以很好地反映数据序列的变化趋势。文献[8]指出传统GM(1，1)模型，数据序列初始值过旧导致预测精度不高，采取更新数据序列的初始值对传统模型进行了改进，建立新陈代谢GM(1，1)模型，虽然验证了方法的可行性，但是对于原始序列呈现波动较大的情况下，依然存在问题。文献[9～11]基于传统GM(1，1)模型建模机理，从原始序列、初始值、背景值等方面对其优化，但该方法对含噪声较大的数据拟合精度并不高。卡尔曼滤波是一种能够从观测量中估计出所需数据信号的滤波算法，对数据具有消噪和平滑作用，能对动态系统进行实时数据处理，该滤波最大的特点是剔除随机干扰噪声[12]。本文参考了文献[13，14]的设计思路，利用卡尔曼滤波具有较好的抗噪能力，对原始数据进行滤波降噪处理，基于灰色模型建模机理，分别对滤波后的初始值、背景值进行优化，建立了基于K-GM(1，1)模型，以角比西大桥沉降监测数据进行预测分析，并与传统GM(1，1)模型进行对比，工程实例分析表明，基于优化K-GM(1，1)模型的预测精度高于传统GM(1，1)模型，为以后同类桥梁变形监测提供参考。

2 模型分析

2.1 卡尔曼滤波模型

不考虑控制作用，离散系统卡尔曼滤波方程可表示为：

(1)

式中：Xk是系统的n维状态序列；Zk是系统的m维观测序列；Wk-1是p维系统过程噪声序列；Vk是m维观测噪声序列；Φk，k-1是系统的n×n维状态转移矩阵；Γk，k-1是n×p维噪声输入矩阵；Hk是m×n维观测矩阵。系统过程噪声和观测噪声的统计特征为：

(2)

式中：Qk是系统过程噪声Wk的p×p维对称非负定方差矩阵；Rk是系统观测噪声Vk的m×m维对称正定方差矩阵；δkj是Kronecker-δ函数。

状态一步预测：

(3)

状态估计：

(4)

2.2 传统GM(1，1)模型的建立

(3)建立影子方程

(5)

式中参数a为发展系数，反映x的发展趋势；b为灰作用量，反映数据间的变化关系。

(6)

(7)

(5)对式(7)进行累减，得到原始序列x(0)的还原式：

(8)

2.3 优化GM(1，1)模型[15]

2.4 GM(1，1)模型的精度检验

为判断GM(1，1)模型进行预测的可靠性，需要对模型精度进行检验，常用的灰色预测模型检验方法一般有残差检验合格模型、均方差比合格模型和小误差概率合格模型。

(1)残差检验合格模型

残差序列：

(9)

相对误差序列：

(10)

(2)均方差比和小误差概率合格模型

分别为残差的均值、方差。

精度检验等级参照表 表1

3 实例分析

角比西大桥位于苏洼龙水电站工程区上游角比西村沟口上游约 500 m处。主桥设计为三跨预应力混凝土连续钢构桥，3号4号桥墩为主桥桥墩，承台高 73 m。以2017-8-1～2017-8-9监测点实测数据为例，选取具有代表性的CT3监测点9期数据进行分析，第一步对原始序列进行卡尔曼滤波降噪处理，第二步对处理后的数据按照文献[15]对初始值、背景值进行改进，建立优化的K-GM(1，1)模型，最后以前5期监测数据作为建模数据，后4期数据进行模型预测，并与传统GM(1，1)模型预测结果对比，分析监测点CT3的沉降变化趋势，两种模型对监测数据拟合预测结果如表2所示。其中实际观测数据为累计沉降值，单位为mm。

监测点CT3拟合预测结果检验表 表2

在沉降监测建模过程中，卡尔曼滤波模型认为监测点位移速度的均值不变，并在滤波中将监测点的位置及其位移速度作为状态参数，将唯一加速度视为动态噪声[16]，设tk时刻监测点的位移量为xk，位移速度向量为uk，位移加速度为Wk，则卡尔曼滤波方程为：

(11)

其中△tk=tk-tk-1，式中，I为单位矩阵，当其为一维向量时I=1。本文取初始参数Qk=1，Rk=1，初始状态向量X0=[2.06，0]T初始估计误差协方差阵为P0=[0.01，0；0，0.001]，利用Matlab编程[17]并执行卡尔曼滤波，计算结果如表2所示，单位为mm。

监测点CT3的预测效果精度评定表 表3

图1 CT3实测值与拟合预测值对比图

图2 CT3两种模型的残差曲线

4 结 论

(1)本文通过用卡尔曼滤波对原始沉降数据进行降噪处理，基于灰色模型建模机理，对降噪后的数据序列分别进行初始值和背景值的优化，建立优化的K-GM(1，1)模型，并与传统GM(1，1)模型进行对比分析，确定了优化的K-GM(1，1)模型应用于桥梁变形监测的可行性。

(2)结合工程实例分析，两种模型预测值与实测值的残差基本都在零附近波动，优化的K-GM(1，1)模型精度高于传统灰色模型，更具有动态变形的适应性，提高了桥梁变形预测与变形分析的可靠性。