一种改进的四旋翼飞行器建模方法

刘士超，吕 品，赖际舟，包 胜

（南京航空航天大学自动化学院，南京211106）

0 引言

近年来，随着四旋翼飞行器相关技术的发展，其被广泛应用于军事、民用领域［1］。目前，四旋翼飞行器通常采用 PID控制算法［2⁃3］。然而，随着四旋翼飞行器飞行任务的多样化、飞行环境的复杂化［4］，其对控制算法的抗干扰性提出了越来越高的要求。针对于此，研究人员将自适应控制等基于模型的控制算法应用于四旋翼飞行器。文献［5］、文献［6］提出在建立四旋翼飞行器动力学模型的基础上，采用自适应控制算法对四旋翼飞行器的姿态、位置进行控制。对于这类控制器，准确的动力学模型是保障控制精度的重要前提。

目前，四旋翼飞行器的动力学建模普遍是在直升机旋翼模型的基础上推导的，其主要考虑了单旋翼的动力学特性。文献［7］、文献［8］基于旋翼的叶素理论和动量理论，对单旋翼所产生的升力、阻力、扭矩模型进行了推导，建立了四旋翼飞行器的动力学模型。文献［9］提出了基于叶素理论和动量理论的旋翼飞行器的气动力模型（包括升力模型和阻力模型），并且在水平侧飞的过程中，使用阻力模型进行了水平速度估计。文献［10］提出了基于升力模型的旋翼飞行器高度信息容错估计，该升力模型是在单旋翼基础上得到的，忽略了飞行器整体的动力学特性。文献［11］、文献［12］通过对单旋翼空气动力学进行分析，推导出了四旋翼飞行器在机动性较小或悬停状态下的动力学模型。上述文献仅考虑了单旋翼的气动力特性，而忽略了飞行器在机动飞行时所呈现出的整体动力学特点。本文对四旋翼飞行器传统的动力学模型进行了改进，使其能够更好地描述四旋翼飞行器的动力学特性，相应结论通过试验得到了验证。

1 四旋翼飞行器的动力学建模及改进

四旋翼飞行器受力分析是建立其动力学模型的基础。本文所使用的坐标系为导航系和机体系，其中导航系选为东北地坐标系，机体系选为前右下坐标系，如图1所示。四旋翼飞行器在运动过程中所受到的力包括升力、阻力和重力，所受到的力矩包括扭矩、横滚力矩和俯仰力矩。这些力与力矩主要与旋翼转动有关，是分析四旋翼飞行器运动的基础［13］。

图1 四旋翼飞行器的受力示意图及坐标系定义Fig.1 Force diagram of quadrotor and frame definition

1.1 四旋翼飞行器升力、阻力模型建模

四旋翼飞行器是欠驱动系统，通过4个旋翼的转速来调整自身的姿态和运动速度［14］。在飞行过程中，每个旋翼都受到升力、阻力的作用。在近年的研究中，已经建立了简化的四旋翼飞行器的动力学模型。文献［15］、文献［16］提出了旋翼飞行器的升力、阻力、扭矩、力矩模型，这些模型均是基于单旋翼特性且在水平侧飞或悬停状态下提出的，本文将其称为传统动力学模型，采用上标的“tra”表示。本文提出的四旋翼飞行器改进动力学模型采用上标的 “im”表示。

（1）四旋翼飞行器的传统升力、阻力模型

①升力模型

升力由旋翼旋转产生，方向垂直旋翼平面且沿着机体系的z轴方向向上。根据单个旋翼的升力特性，四旋翼飞行器所受到的升力表达式如下［17⁃18］

②阻力模型

四旋翼飞行器的阻力主要来源于轮毂力，轮毂力是四旋翼飞行器在做侧向运动时作用于旋翼上的力，其方向与旋翼叶面平行且与飞行器运动方向相反，其表达式如下［17，19］

（2）四旋翼飞行器的改进升力、阻力模型

①改进升力模型

受机体加工误差的影响，四旋翼飞行器的升力模型在式（1）的基础上呈现出了一定的常值偏置特性。针对于此，提出以下的改进升力模型

②改进阻力模型

传统的阻力模型仅考虑了四旋翼飞行器在侧飞运动过程中旋翼的侧力特性。当四旋翼飞行器进行横滚、俯仰的角运动时，其旋转中心通常在飞行器的质心位置，而旋翼与旋转中心存在一定距离。此时，旋翼会敏感到由角运动引发的切向力。此外，受机体加工误差的影响，阻力模型也会存在一定偏置。改进的阻力模型如下所示

相较于传统的动力学模型，改进的升力模型和阻力模型增加了零偏项，该项的增加可以解决飞行器加工及器件加工的误差问题。同时，针对飞行器的转动飞行状态，在阻力模型中加入了角加速度相关项，使得改进的动力学模型适用于大机动性运动，突破了传统模型的低速平飞或悬停运动的限制。

1.2 四旋翼飞行器力矩模型建模

四旋翼飞行器所受力矩包括扭矩、横滚力矩和俯仰力矩，其通常由升力、阻力引起。

（1）四旋翼飞行器的传统力矩模型

①扭矩模型

旋翼在转动过程中，由于空气阻力作用，会形成与转动方向相反的反扭矩。为了克服反扭矩的影响，通常令2个旋翼正转，2个旋翼反转。当4个电机转速不完全相同时，不平衡的反扭矩会引起四旋翼飞行器绕机体系z轴转动。其可表达为如下形式［20⁃21］

②横滚、俯仰力矩模型

在传统的横滚、俯仰力矩模型中，其通常仅考虑由旋翼的升力而产生的力矩。因每个旋翼产生的升力不同，其会产生如下形式的力矩［20⁃21］

（2）四旋翼飞行器的改进力矩模型

①扭矩模型

当四旋翼飞行器绕机体系z轴进行旋转时，旋翼会敏感切向速度，从而产生阻力。由于该阻力在旋翼中心，距转动中心有一定距离，因此会产生扭矩，其可表示为

式中，Md是四旋翼飞行器所受到的阻力矩；kd是阻力矩系数；Vr为旋翼在转动半径R处的线速度，Vr=ωbzR；ωbz为机体系相对于导航系的角速度在机体系z轴上的分量，将其带入式（10）可得到

考虑零偏，则四旋翼飞行器的改进扭矩模型可以表达为如下形式

②横滚、俯仰力矩模型

当四旋翼飞行器做横滚和俯仰转动时，其会受到切向力的作用。该切向力与飞行器转动轴之间存在一定距离，从而会产生横滚、俯仰力矩，该力矩可表示为

针对旋翼飞行器的力矩及扭矩改进模型，考虑到飞行器结构的安装误差，需增加零偏项。同时，考虑到运动过程中整体的动力学特性，需在扭矩模型中增加阻力项，在力矩模型中增加切向力项，这在一定程度上提高了模型的精度，实现了模型的优化。

1.3 四旋翼飞行器改进动力学模型分析

综上，四旋翼飞行器改进的动力学模型可以表达为

相对于传统模型，改进模型考虑到了四旋翼飞行器的安装误差，在动力学模型中加入了零偏项，同时考虑到了四旋翼飞行器在做侧飞、旋转等机动飞行时的整体动力学特性。通过增加四旋翼飞行器在转动飞行时所受侧力的角加速度项、扭矩的阻力项、横滚和俯仰力矩的切向力项，可以更好地对四旋翼飞行器动力学特性进行描述。

2 试验及分析

为了对本文所提出的四旋翼飞行器动力学模型进行验证，本文进行了多种机动下的飞行试验，其飞行场景如图2所示。飞行试验所采用的四旋翼飞行器的基本参数如表1所示。

图2 室外试验场景图Fig.2 Outdoor test scene

表1 四旋翼飞行器的基本参数表Table 1 Basic parameters of the quadrotor

在飞行试验中，其航迹设置如表2所示。即首先进行60s的悬停运动，其次进行上下往返运动，之后进行横滚、俯仰运动，然后进行航向转动，最后进行横滚方向的侧飞运动和俯仰方向的侧飞运动。

在飞行试验中，陀螺、加速度计、GPS可以对飞行器的角速度、加速度、速度信息进行记录。通过对角速度进行微分，可以得到角加速度的信息。由四旋翼飞行器的动力学方程可知，其加速度、角加速度与力、力矩是成正比的。因此，通过对式（15）进行转换，可以得到四旋翼飞行器加速度、角加速度的计算表达式，如式（16）所示。

表2 模型对比验证的试验航迹设置Table 2 Test track setting of model comparison verification test

对传统的动力学模型进行转化，可得到传统动力学模型的加速度、角加速度表达式

通过式（16），对四旋翼飞行器的加速度、角加速度模型进行拟合，通过将其与传统模型的拟合结果进行对比，可以对两种模型的准确性进行评价。

本文采用拟合优度的概念对两种模型的拟合精度进行分析。拟合优度描述了所构建的模型与观测数据集的匹配程度，可以用来衡量所建立的模型的准确度。衡量拟合优度的统计量为确定系数R2，其取值范围为［0，1］。拟合优度越接近1，意味着所建立的模型越准确，其定义如下［22⁃23］

式中，SSE是残差平方和，SST是总平方和，yi是量测数据，fi是模型预测数据，yav是yi的平均值。

采用最小二乘方法，分别使用传统模型、改进模型对飞行数据进行拟合，通过拟合优度指标、时域曲线对其进行对比。将拟合后的改进模型与传统模型分别与观测数据集进行对比，可以计算拟合优度R2。拟合优度越接近于1，表示模型与数据集的匹配程度越高，所建立的模型精度越高。在试验中，通过上下升降试验来对比升力模型的拟合优度，通过侧飞、转动试验对比侧力模型的拟合优度，通过航向运动来对比扭矩模型的拟合优度，通过横滚运动来对比横滚力矩的拟合优度，通过俯仰运动来对比俯仰力矩的拟合优度。拟合优度的对比情况如表3所示，两种模型拟合结果的时域曲线如图3～图10所示。其中，在加速度拟合曲线图中，参考曲线数据为加速度计输出；在角速度拟合曲线图中，参考曲线数据为陀螺输出微分。

表3 两种模型的拟合优度对比Table 3 Comparison of goodness of fit between the two models

图3 侧飞试验下X轴加速度拟合结果对比图Fig.3 Comparison of X-axis acceleration fitting results in lateral flight test

图4 转动试验下X轴加速度拟合结果对比图Fig.4 Comparison of X-axis acceleration fitting results in rolling test

图5 侧飞试验下Y轴加速度拟合结果对比图Fig.5 Comparison of Y-axis acceleration fitting results in lateral flight test

图6 转动试验下Y轴加速度拟合结果对比图Fig.6 Comparison of Y-axis acceleration fitting results in rolling test

图7 Z轴加速度拟合结果对比图Fig.7 Comparison of Z-axis acceleration fitting results

图8 X轴角加速度拟合结果对比图Fig.8 Comparison of X-axis angular acceleration fitting results

图9 Y轴角加速度拟合结果对比图Fig.9 Comparison of Y-axis angular acceleration fitting results

图10 Z轴角加速度拟合结果对比图Fig.10 Comparison of Z-axis angular acceleration fitting result

通过将拟合优度、时域曲线进行对比，可以看出：

1）对于升力、阻力、扭矩、横滚力矩、俯仰力矩而言，其改进的动力学模型拟合优度优于传统模型，表明改进的动力学模型与观测的数据集拟合优度更接近于1，精度更高。

2）通过观察图3～图6可以看出，对于阻力模型，在侧飞状态下，零偏项的引入较好地补偿了其偏置误差；在转动状态下，传统模型呈现出了较大误差，而改进模型与试验结果较为符合。

3）通过图7可以看出，改进的升力模型与传统升力模型在时域上的拟合效果基本一致，与试验结果均具有较高的重合性。

4）通过图8～图10可以看出，对于横滚力矩、俯仰力矩及扭矩而言，改进模型与试验结果的一致性均优于传统模型。

3 结论

本文提出了一种改进的四旋翼飞行器动力学模型，在侧飞、旋转等机动条件下对传统模型进行了完善：对于阻力，引入了与转动相关的切向力；对于扭矩，引入了转动时由阻力带来的阻力矩；对于横滚力矩、俯仰力矩，引入了转动时由切向力引起的力矩项。飞行试验表明，当四旋翼飞行器执行机动飞行时，改进的动力学模型比传统的动力学模型具有更高的精度。