赏析以数列为载体的八种创新题型

蔡勇全

(四川省资阳市外国语实验学校 641300)

一、数学文化型

传统数学文化源远流长，是人类社会宝贵的知识与精神财富，需要人们大力弘扬与传承，只有这样，它本身所具有的价值才能得以释放.数学文化型数列创新题正是在这种朴素理念的支撑下诞生的新题型，它以现时事件或历史上一些数学名著中的某一段素材为背景，在基本不改变原意的前提下，巧妙地引出其中蕴含的数列问题，要求解题者求出该问题的结论，体现了数学的人文价值和科学价值.

例1 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，问中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ).

解析自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，从而依题意可以得到

变式1 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还.”其意:有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人每天走多少里路.则此人第五天走的路程为( ).

A.48里 B.24里 C.12里 D.6里

A.1260 B.1360 C.1430 D.1530

评注一般来说，数学文化型数列创新题的难度适中，命题者会将深涩的古文译作通俗易懂的现代文，解题者不必心生畏惧，只需在准确理解现代译文的基础上，构建相应的数列模型，运用数列知识解出需要的数据，最后再回归实际问题.

二、交汇整合型

一般数列的离散、有序性以及特定数列的递推、趋向性等特点，决定了数列与其他数学知识之间有着千丝万缕的联系.交汇整合型数列创新题的基本特点是:形式多样，内涵丰富，交汇点多，常常和函数、方程、不等式、三角、复数、概率与统计、解析几何等知识融为一体，能够很好地实现学科内、学科间知识的交汇整合.

变式已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n=1，2，…).从点P(-1，0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn).

(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；

评注教学中，既要让学生掌握基础知识和基本的数学思想方法，又要着力提高创新思维能力，认真研究、探索数列知识网络的交汇性，研究交汇点向外辐射的知识块，恰好能增强我们对学科知识的整体把握能力，又可以提高分析和解决创新型问题的能力.

三、规律发现型

规律发现型数列创新题的基本特点是:题目中已经给出某种数列的若干特殊数据或性质特征，可能要求归纳出该数列的一般规律、完善该数列的相应性质、类比推广到相关数列等.

例3 以下依次是按照某种规律排列的一系列图形中的第(1)～(4)个，由此可猜测第n个图形中共有个圆圈.

思路二观察上图可以发现:第一个图形只有一个中心圆圈；第二个图形除中心圆圈外还有两边，每边一个圆圈；第三个图形除中心圆圈外还有三边，每边两个圆圈；….按此规律，第n个图形中除中心圆圈外还有n边，每边n-1个圆圈，故第n个图形中圆圈的个数为n(n-1)+1=n2-n+1.

变式1 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2，3，4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示的方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，则第n堆的乒乓球总数f(n)=.

变式2 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色.先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2018个数是( ).

A.3971 B.3972 C.3973 D.3974

评注从例3及其变式的解答过程可以看到，解决规律发现型数列创新题需要解题者具有较强的观察能力和快速探求规律的能力，因此平时应注重这方面的训练和经验的积累.

四、现时约定型

现时约定型数列创新题的基本特点是:以已有数列知识为基础，现时定义一个新的概念，然后围绕新概念设计一系列问题.此类问题旨在考查学生独立获取信息、加工信息的阅读理解能力和知识的运用、迁移能力.

例4 已知数列{an}满足an=logn+1(n+2)(n∈N*)，定义使得a1·a2·a3·…·ak为整数的正整数k叫做“契合值”，则区间(6，2018]内的契合值的个数为，该区间内所有契合值的和为.

变式把形如M=mn(m，n∈N*)的正整数M表示成各项都是整数，公差为2的等差数列的前m项的和，称为“对M的m项分划”.例如，把9表示成9=32=1+3+5，称为“对9的3项分划”；把64表示成64=43=13+15+17+19，称为“对64的4项分划”.据此，对324的18项分划中最大的数是；若M=m3的m项分划中第5项是281，则m的值是.

评注例4及其变式代表了现时约定型数列创新题的两种最常见形式，即定义新名词性术语与定义新规则性术语，解决此类问题时应充分理解新定义，并紧扣新定义与所学的知识，从而找到解题突破口.

五、数表(阵、组)型

数表(阵、组)型数列创新题的基本特点是:将一些数排成长方形、三角形、数组的形式，就形成了数表、数阵等形式，要求学生研究某行、某列、某组或所有行(列、组)所具有的特殊性质.

例5 在n行m列的方格表中每一个方格都填上一个数，使得每一行的m个数与每一列的n个数都成等差数列，如果表的四个角上的数之和等于S，则此表中所有数的和等于.

a11a12…a1m…………an1an2…anm

变式1 在如图所示的三角形数阵中，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n，中间任意一个数都等于第n-1行与之相邻的两个数之和，an1，an2，…，ann(n=1，2，3，…)分别表示第n行的第一个数，第二个数，…，第n个数，求an2(n∈N*且n≥2)的通项式.

(1)第1组到第k组共有几个数?

(2)第k组中的首数和尾数各是多少?

(3)求第k组中各数之和及前k组中各数之和.

评注从例5及其变式的解答过程可以看到，求解此类问题的策略是通过观察、分析，弄清楚数表(阵)中各行(列)的项与列(行)数之间的对应关系或所有数组中的数的总体趋势，然后再转化成熟悉的等差或等比数列问题求解.

六、逆向探索型

逆向探索型数列创新题的基本特点是:可能题设中已经给出了具有某种特征的数列，要求寻找这一特征产生的条件，也可能是将数列是否具有某种特征作为一个待定的问题，要求分析数列具有该特征的条件和不具有该特征的原因.

综上所述，a1=56或9.

变式已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n，数列{bn}中，b1=8，64bn+1-bn=0.问:是否存在常数c，使得对任意的正整数n，an+logcbn恒为常数m?若存在，求出常数c和m的值；若不存在，请说明理由.

评注从例6及其变式的解答过程可以看到，此类问题主要考查学生逆向思维能力，解题策略是从数列已经具有的某一特征出发进行逆向性的逻辑推理，或假设数列具有某种特征，再进行逆向性的演绎推理，若出现矛盾，则可否定假设，若推证无矛盾，则假设成立.

七、性质探求型

认识性质探求型数列创新题的基本特点，需要明确:数列是一类特殊的函数，一方面，它的定义域只能为正整数集或其子集；另一方面，函数的性质常常可以创新设置在数列问题中，比如从函数角度分析判断数列的周期性、有界性、单调性、求具体项、求最大(小)项等问题.

A.f(n+1)-f(n)=1

B.f(n+k)=f(n)(k∈N*)

C.αf(n)=f(n+1)+αf(n)(α≠0)

D.αf(n+1)=α-(α+1)f(n)(α≠0)

评注从例7及其变式的解答过程可以看到，解决此类问题的策略是通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的，其中性质探求是关键.值得一提的是，例7不仅是性质探求型数列创新题，而且解答时用到了三角代换技巧，因此它也属于解法创新型数列题，当然，这需要解题者具有灵活而广博的解题思维.

八、类比联想型

类比联想型数列创新题的基本特点是:题目中给出某种特殊数列的属性，要求解答者根据所给信息与另一种特殊数列的相似性或一致性，为之写出类似的结论，这里的属性可以是问题的结论、分析思路，解题方法、式子的结构等.

例8 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0).

(1)若a20=40，求d；

(2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围；

(3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，以此类推，把已知数列推广为无穷数列，类比(Ⅱ)问，你能提出什么样的问题，还能得到什么样的结论？

提示(1)a10=1+9=10，a20=10+10d=40，所以d=3.

(3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差为dn的等差数列，类比(Ⅱ)问，研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式，并求a10(n+1)的取值范围.

变式在等差数列{an}中，若a10=0，则a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n∈N*且n<19)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式成立.

提示首先研究a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n成立的理由.因an+1+a19-n=2a10=0,an+2+a18-n=2a10=0,an+3+a17-n=2a10=0,…,故an+1+an+2+an+3+…+a17-n+a18-n++a19n-n=0，两边同时加上a1+a2+…+an，故有上式成立.

评注由例8及其变式的解答过程可以看到，解决此类问题的策略概括起来就是引申、推广、迁移、移植等几个关键词，但需要注意的是，由此得到的一般性结论可能真，也可能假，结论的正确性有待进一步证明.