论数学核心素养及其教学：基于知识维度视角

陈齐荣1，冯传平

(1.上饶师范学院 数学与计算机科学学院，江西 上饶 334001；2.土塘中学，江西 都昌 332611)

“核心素养”“学生发展核心素养”“学科核心素养”已成为我国基础教育改革“纵深推进”的标志性词汇。有关研讨、论坛等会议，研究者引用最多、使用频率最高的莫过于，“核心素养”是学生“走出校门后，把学校里学的知识全部忘记，剩下的东西”。笔者对此深感疑惑有三：一是学生走出校门后，学校里学习的知识全部忘记了吗？其二，走出校门后，剩下了什么东西，难道剩下的就全都是核心素养吗？其三，“知识”与“核心素养”之间难道是二元对立吗？

核心素养时代，知识的学习同样具有重要价值。没有知识，教师还能教什么？没有了知识做支撑，教材的文本如何叙写？毫无疑问，学生核心素养的生成必须依托于知识，知识是素养生成的源泉，教学是基于知识进行的。没有知识，教学无从谈起，学生核心素养的生成也就成了一句空话。因此，与其脱离知识来谈核心素养，倒不如静下来思考：落实核心素养，我们需要什么样的知识？核心素养与知识之间存在怎样的关系？什么样的知识教学才能生成核心素养？因此，立足于知识维度视角，对上述问题展开讨论就有了理论价值和现实意义。

1 知识与知识维度

1.1 广义知识观

什么是知识？知识由哪些维度构成？广义的知识观来源于哲学领域，属于认识论范畴。历史地看，人们对于知识的理解至少存在四种观点。

一是唯理论的知识观，其核心观点是强调知识的客体化、纯粹化，以柏拉图、笛卡尔为代表人物。柏拉图认为真正知识的源泉是不依赖于实物而独立存在的理念。笛卡尔认为感觉经验并不是真正的知识，“我思维，我存在”，真正的知识是“天赋观念”，其纯粹理智而客观。二是经验论的知识观，以洛克、培根为代表，其核心观点是强调知识的感官世界和主观经验。洛克认为感觉、经验最可靠、是一切知识的源泉，经验是所有知识的根基，人们要想获得真正的知识，必须从经验世界中归纳、抽象出一般性的结论，真正的知识就是对客观世界的忠实反映。三是调和的知识观，以康德、皮亚杰等为代表。康德认为，经验论与唯理论都存在各自的片面性，唯理论远离感性对象的实际，但又从主观的“天赋观念”构造出关于整个世界本质的蓝图，而经验论则极力摭拾零碎片断、偶然性的经验事实，企图对知识问题作出高出经验层次的实质性论断，结果“事与愿违，甚至南辕北辙”。由此，康德主张经验论与唯理论合二为一，并对知识来源与构成重新诠释，主张“一切知识都是从经验开始，却不表明我们的知识都产生自经验”。皮亚杰主张人的认识是建构过程，认识主体在同化认识客体，建构、丰富客观世界内容的同时，也丰富和扩展了主体的认知结构。四是旨趣论的知识观，哈贝马斯认为旨趣是认知不可或缺的重要条件之一，知识的产生、创造源自于旨趣，旨趣先于认识并指导认识，并以此作为知识创生的动力学基础。

1.2 知识维度

源自对世界的主、客观认知，人们将知识分为社会科学、自然科学两大知识体系。学科与知识密不可分，学科是知识分化的结果。那么，学科知识由哪些要素构成呢？

安德森将知识分为陈述性知识和程序性知识，即“是什么”的知识和有关“怎么做”的知识。修订版的布卢姆认知教育目标分类学中将学生学习的知识分为事实、概念、程序和元认知等四类[1]。事实性知识是指某一学科中的术语、具体细节和要素的知识，其表现为孤立化、片段化；概念性知识是指反映要素之间关系的知识，包括原理、模型、结构等，具有概括化、结构化特征；程序性知识是指“如何做事的知识”；元认知知识是关于一般认知的知识及关于自我认知的知识，包括策略、任务情景和自我认知的知识等。吴刚平根据“三维目标”的思路，基于学生获得知识视角，把课堂教学知识分为事实、方法和价值等三类[2]。季苹认为任何具体的知识点都可以分为由低到高四个层面和与之对应的四个水平[3]。

数学是研究数量关系和空间形式的学科，数学知识源自现实世界的抽象，基于抽象结构，借助于模型构建、直观想象、逻辑推理、符号运算等，得到反映事物本质、关系和规律的成果。概念是数学知识体系中的基本元素，数学知识体系始于数学概念的构建，概念与概念之间通过某种联系形成了数学命题，概念与概念、概念与命题、命题与命题的内在关系，构成了数学知识结构。例如，“数及其运算”，人们把现实生活中的数量抽象出数，形成自然数，用数字和数位进行表示，得到了自然数集；生活中数量关系的多与少，演变为数的大与小，由数的大小度量产生了自然数的加法，由加法的逆运算产生了减法，由加法的简便运算便产生了乘法，由乘法的逆运算产生除法；为保证减法运算的封闭性，自然数集就扩张到整数集，为保证除法运算的封闭性，整数集就扩张到有理数集……。作为数学知识构成的基本单元，数学概念不是凭空产生的，呈现在人们面前的数学概念只不过是其符号的表征方式而已，隐藏在概念符号表征背后的“动机”“思想”“方法”才是数学概念产生的真正“幕后推手”。任何数学知识都包括符号表征、思想方法以及数学旨趣三个维度。

数学符号表征维度是指数学知识外在的表现方式，具有显性特征，以独有的符号语言、图形图像语言以及自然语言得以诠释；数学思想方法是指数学知识符号表征创生背后的思考方式与行为方式，具有隐形特征；数学旨趣是指知识创生过程中所涉及的情感因素，贯穿于知识创生的整个过程。数学知识三维度是兼具线性、层级、层核的三重结构。首先，从数学知识创生的过程来看，人们借助于数学旨趣为导向，再通过恰当的思想方法，最后得到了数学知识符号表征的线性结构。其次，从知识创生的结果来看，数学知识则是由处在底层的符号表征、中间层的思想方法和顶层的数学旨趣的层级结构构成。最后，从知识创生结果的认知过程来看，个体从知识的符号表征开始，直至掌握其背后所隐含的思想方法，无不贯穿着认知个体内在的数学旨趣，因此数学知识三维度又是一种层核结构。

2 数学核心素养

2.1 数学核心素养概念的主流观点

数学核心素养概念内涵、外延可谓仁者见仁、智者见智、众说纷纭，尚未形成一致看法。其中，“三会”说、“要素”说、“层次”说是当前较为主流观点。“三会”说认为，“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”是数学核心素养的本质[4]。“要素”说认为数学核心素养包括直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理、数据分析等要素构成[5]。“层次”说则认为数学核心素养是一个由“数学双基”“问题解决”“数学思维”“数学精神”由低到高的四层体系[6]。

认识存在的诸多分歧，反映了数学核心素养概念的笼统性、复杂性。“三会”说站在哲学高度概括出数学核心素养的本质和精髓，但概念内涵高度浓缩、抽象，让人觉得“高不可攀”，缺乏实践操作性，数学核心素养落实困难。“要素”说基于数学学科的本质特征，将数学核心素养细化为几个具体的“核心要素”，从概念外延来界定数学核心素养，虽具有较好的实践性，但这些“要素”实际上就是数学“关键能力”，忽视了“必备品格”，因此，“顾此”而“失彼”式的外延定义并不符合概念定义的基本规则。“层次”说从宏观层面描绘了学生数学核心素养塑造的渐进性与长期性，为数学核心素养有序落实提供了依据。毫无疑问，数学核心素养必须落地在课堂教学，而课堂教学是基于知识进行的。因此，基于数学知识维度视角来界定数学核心素养，数学核心素养才具有真正意义上的“可教”“可学”，甚至“可测”。

2.2 数学核心素养与数学知识的内在关联

众所周知，“工具”和“文化”是数学知识的两大基本品性，依据学生发展核心素养的外延定义[7]，核心素养包括“必备品格”和“关键能力”，数学核心素养概念可以界定为通过数学知识的学习而逐步形成的“必备品格”和“关键能力”。数学核心素养的“关键能力”“必备品格”与数学知识的“工具品性”“文化品性”之间存在对应关系。

一方面，数学潜移默化地影响人们的思维和行为方式，并为其提供工具支撑。数学的工具性反映了数学知识作为工具使用的数学思想与方法，学生通过数学知识的思想、方法的习得而形成关键能力。以往的数学教学大纲，现行的课程标准，关键能力是数学知识教学目的之一。1963年《全日制中学数学教学大纲》首次将学生“计算”“逻辑推理”“空间想象”等三大能力的培养作为中学数学教学目的，1978年《全日制十年制学校中学数学教学大纲》将“计算”“逻辑推理”作了适度修正，提出了修正版的三大能力，1986年的《全日制中学数学教学大纲》、1988年的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》、1996年的《全日制普通高级中学数学教学大纲》等都沿用了新三大能力。2003年实验版的《普通高中数学课程标准》增加了“抽象概括”“数据处理”能力，将传统的三大能力扩展为五大能力。2017年修订版的《普通高中数学课程标准》新增“数学建模”能力，形成了直观想象、数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理、数据分析等六大能力，并以此作为“数学核心素养”的“核心”要素。

另一方面，数学又是理性精神的化身，深刻影响着人们观念、精神及思维方式的养成。数学的文化性贯穿着数学知识产生、形成与发展的全过程，既是数学知识创生的动力基础，又是数学知识赖以存在的精神内核。数学知识的文化性潜移默化地影响着学生必备品格的养成。尽管“中国学生发展核心素养”首次提出“必备品格”，历史地看，“必备品格”是数学知识教学所倡导的。不同的历史阶段，“必备品格”具有不同的内涵和价值。1952年《中学数学教学大纲》强调要培养学生“辩证唯物主义世界观、新爱国主义及民族自尊心，锻炼坚强意志和性格”。1978年《全日制十年制学校中学数学教学大纲》提出通过数学教学要“进行思想政治教育，激励学好数学的革命热情，培养辩证唯物主义观点”。1986年《全日制中学数学教学大纲》明确要培养学生“对数学的兴趣，激励学好数学的积极性，培养科学态度和辩证唯物主义观点”。《高中数学课程标准》对“必备品格”用词更为丰富，如，数学课程要“体现数学的文化价值”“美学价值”“数学家的创新精神”，把“情感、态度与价值观”作为课程标准三方面目标要求之一，并描述了其水平和行为动词；数学教学要关注学生“在数学活动中所表现出来的情感态度的变化”“数学核心素养是……以及情感、态度与价值观的综合体现”。

综上，数学核心素养的关键能力和必备品格分别反映了数学知识的思想方法维度和数学旨趣维度，即由领悟数学思想方法锤炼学生的关键能力，由感受、内化数学旨趣而形成必备品格。因此数学知识与数学核心素养之间具有内在一致性，两者原本就浑然一体、不可分割。

3 指向数学核心素养的知识教学

3.1 数学知识的完整化教学

指向数学核心素养的知识教学，是基于完整知识观的教学。旨在通过知识符号表征背后的思想方法锤炼关键能力、数学旨趣养成必备品格，从而促进学生数学核心素养的发展。指向数学核心素养的知识教学是完整知识结构的教学，是知识结构的完整化教学，不是知识的碎片化教学。核心素养倡导的是“知识团”“主题式”“模块化”教学。践行知识的完整化教学，是由知识本身的内在要求所决定的。

首先，从宏观角度看，数学知识体系本身就是由知识之间内在联系所联结而成的整体，数学知识是一个完整的、不断生成的动态序列，而不是一个个彼此孤立、碎片化的数学概念或数学命题。教学中，教师不应该孤立地传递、讲授或解释一个个知识点。而是要站在整个数学知识结构体系中来考察各个知识点的内在关联及逻辑关系，创设相关条件，让此知识由彼知识“推演”而出，让一个知识点关联和包蕴在与之相关的其它知识点之中，从而体现数学知识发生、发展脉络。

其次，从微观角度看，任何数学知识点都由其符号、方法与旨趣组成的三维一体的完整结构，不能人为割裂、顾此而失彼。如果把整个知识比作整座冰山的话，数学知识的“符号表征”则是作为整个知识“冰山”中的露出水面的显性部分。但浮在水面上的不过是“冰山”的一角，而隐藏在水面下的“冰山”部分的“思想方法”与“数学旨趣”则是“符号表征”的支撑。因此，数学知识的教学不仅仅只是教材上“显而易见”的数学知识符号的传授，还包括“不易洞察”的思想方法、数学旨趣的体验与领悟。

3.2 数学知识的深度化教学

指向数学核心素养的知识教学是兼具知识工具品性与文化品性的深度化教学。数学知识教学旨在将数学知识的“思想方法”转化为学生的“关键能力”，将“知识旨趣”转化为“必备品格”，从而发展学生数学核心素养。因此，教学就不能只停留在符号表征的浅表层，还必须带领学生进入数学知识的内核层，即直达数学“思想方法”及“数学旨趣”的深度化教学，充分体现数学知识的工具品性和文化品性。深度化教学不是追求知识内容的难度和复杂度，而是通过丰富教学的层次，实现知识教学的丰富价值，凸显数学知识的本质。

高中数学“复数”知识的教学，普遍认为，“复数”是比较“容易教”的“难点”知识。“容易教”主要体现在复数知识的符号表征及其符号运算等具体算法上，学生易理解、掌握；而如何让学生明白隐藏在算法背后算理、思想、方法以及学生形成“火热”思考的数学旨趣则成为教学中的难点问题。

传统教学大致是，通过类比有理数到实数的扩充过程，给出一元二次方程x2+1=0求解中“无实数解”的问题，需要引入新数，即虚数i并进行数系的扩充，尔后讲授复数的代数表示及其四则运算。然而，这样的教学既不合逻辑、又未尊重历史，无法到达知识的思想及意义领域。首先，概念导入呈现的方程x2+1=0缺乏相关背景作支撑，方程既然无解，为什么需要求解呢？学生“一头雾水”，自然也就缺乏了数学探究的内在旨趣；其次，复数是一个二元数，其加法本质对应于平面向量的加法，而乘法本质则是平面向量的旋转和伸缩的叠加，代数表示的四则运算的算理过于牵强，无法体现复数运算的本质意义及思想方法，这样的知识教学无法带领学生进入数学学科知识的内核。

因此复数的教学需要还原复数知识产生的本源，经复演意大利数学家邦贝利求解三次方程x3=15x+4场景，借助于卡丹公式，产生方程求解的悖论，通过学生重走数学家“火热”思考探索之路，形成发自内心的、强烈的数学旨趣，通过数学的文化品性，塑造学生数学学科的必备品格。然后通过物理学中平面内质点的旋转运动现象，构造描述旋转运动中质点的复数模型，渗透建模思想，凸显数学的工具品性。最后通过模型几何变换、对应表示的分析，体现复数运算的本质内涵，带领学生深入知识符号背后，挖掘复数运算的原理及价值，从而超越浅表层教学的桎梏，发展学生数学核心素养。

4 结语

总之，只有全面认识数学知识的内涵，深入把握数学知识与数学核心素养内在关系，凸显知识本质的教学，从数学知识的“符号”维度走向其工具性的“思想方法”维度、走向其文化性的“旨趣”维度，学生发展数学核心素养才能落地生根。