带刚臂和弹性段的平面组合索单元

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(郑州大学 水利与环境学院 河南 郑州 450001)

0 引言

在斜拉桥的有限元模型中，拉索的模拟是决定分析精度的重要因素.对于成桥阶段，可以采用桁架单元，用直杆模拟拉索.为增加分析的准确性，可采用Ernst公式修正杆的弹性模量.对大跨度斜拉桥中大垂度的长索及施工过程中的拉索，必须考虑索的曲线特性.为精确模拟曲线形索，文献[1]建立了多节点的曲线单元，文献[2]采用三次多项式插值建立了两节点的曲线单元，文献[3]采用拉格朗日插值构造了两节点的曲线索单元，文献[4]建立了五节点的曲线索单元.文献[5-7]利用弹性悬链线的解析解建立了弹性悬链线单元，并建议了计算时的初值.目前，弹性悬链线单元已被广泛应用于拉索模拟，并被引入部分结构有限元分析软件(如Midas/Civil).文献[8]在该单元的基础上建立了分析索结构中滑动索的滑移索单元.文献[9]对单索问题进行了分类，算例结果表明，修正弹性模量的方法只能用于水平长度不超过400 m的斜拉索，否则将引起较大的误差.文献[10-11]建立了带刚臂的索单元，假定两端刚臂总与索端部相切，在应用于斜拉桥模拟时，限制了塔上节点的划分，也不便与主梁连接.文献[12-13]也建立了带刚臂的索单元，刚臂与索端部铰接，且文献[13]指出文献[12]在对刚臂端部力矢量微分时，忽略了对角度变量的微分.本文在弹性悬链线解析解的基础上建立了两端有弹性段的索单元，进而在索单元两端增加刚臂，推导和构造了该组合索单元.

1 弹性悬链线单元

图1 弹性悬链线单元Fig.1 Element of elastic catenary

一个弹性悬链线单元如图1所示，其水平投影长度为lc，竖直投影长度为hc.索的弹性模量为E，横截面面积为A0，单位长度重量为q0，该索段的无应力长度为L0.据弹性悬链线理论[6-7]，索的投影方程为

(1)

(2)

式中：TIc和TJc分别为索段左端和右端节点处的索力.

根据单元受力平衡条件，可得Fc3=-Fc1,Fc4=q0·L0-Fc2.

式(1)和式(2)分别对Fc1、Fc2求偏导，可得索段在I端的柔度矩阵为

(3)

左端点力的增大会使水平投影和竖直投影减小.因此，柔度矩阵fc中各元素取计算值的负值.进而，可得到弹性悬链线单元的刚度矩阵为

(4)

式中：kc为柔度矩阵fc的逆矩阵.

2 带弹性段的索单元

索体两端的钢套筒与其内部的钢丝通过高强黏结材料固结为整体，且钢套筒的横截面面积与其内部所有钢丝的横截面面积相当.因此，套筒段宜单独考虑，可近似为一个弹性段，其方向沿索段端部索力方向，也就是索段端部的切线方向.带弹性段的索单元如图2(a)所示，其水平投影长度为le，竖直投影长度为he，Wi和Wj分别为索体端部超出锚垫板的锚杯部分和螺母的重量，sei、qei和sej、qej分别为两个弹性段的原长及单位长度重量，弹性段受到的重力平移到相应的端部节点.

图2 带弹性段的索单元和弹性段两端力的关系Fig.2 Cable element with elastic segments and forces on the both sides

弹性段两端力的关系如由图2(b)所示，带弹性段的索单元的节点力为

(5)

两端带弹性段索体的投影方程为

(6)

(7)

式中：Eei和Aei分别为i端弹性段的弹性模量和横截面面积;Eej和Aej分别为j端弹性段的弹性模量和横截面面积.

式(6)和式(7)分别对Fc1、Fc2求偏导，可得带弹性段的索单元在左端点的柔度矩阵为

(8)

带弹性段的索单元在左端点的刚度矩阵为

(9)

由刚度矩阵的对称性可知，两端带弹性段的索单元的刚度矩阵可以表示为

(10)

根据刚度矩阵的定义，可得

(11)

3 两端带刚臂和弹性段的组合索单元

在带弹性段的索单元两端增加刚臂，得到如图3(a)所示的组合索单元.αi和αj分别为两端刚臂的倾角，刚臂的长度分别为si和sj.左端刚臂的受力如图3(b)所示，其两端点之间的坐标关系[13]为

xi=xa+si·cosαi,

(12)

yi=ya+si·sinαi.

(13)

图3 带刚臂和弹性段的组合索单元Fig.3 The combined cable element with rigid arms and elastic segments

对式(12)和式(13)两端微分，可得左端刚臂两端点之间的位移关系为

(14)

同理，可得右端刚臂两端点之间的位移关系为

(15)

联立式(14)和式(15)，并记

(16)

可得

(17)

根据刚臂两端力的关系，组合索单元的节点力可以表示为

(18)

对式(18)两端微分，可得

(19)

其中Tα除了两个元素Tα3,3=-si·cosαi·Fe1-si·sinαi·Fe2，Tα6,6=sj·cosαj·Fe3+sj·sinαj·Fe4外，其余元素均为零.

联立式(11)、式(17)、式(19),可得组合索单元的刚度矩阵为

(20)

图4 下端位于不同位置的单根索Fig.4 Single cable with the lower end at different locations

4 算例验证

算例1下端位于不同位置的单根索如图4所示，该索的计算参数见文献[5]和[11]，无应力长度L0=100 m，横截面面积A0=1 cm2，弹性模量E=3×107Pa，单位长度重量q0=1 N/m，线膨胀系数为6.5×10-6.采用2个等原长的弹性悬链线单元模拟该索，共有3个节点.

由图4可以看出，不考虑弹性段的计算结果，与文献[5]对比，除最大张力工况有一定误差外，其他结果相同.最大张力工况的计算结果与文献[11]的结果相同，从而证明了本文弹性悬链线单元部分推导的正确性.

考虑弹性段时，具体可分为以下两种情况：一种是弹性段的参数不变化；另一种是弹性段的面积增加1倍，单位长度索重增加1倍.算例1中弹性段在不同取值情况下的计算结果见表1.结果表明，第1种情况下的结果与不考虑弹性段的误差很小.第2种情况在索力较小的几个工况下，只是竖向索力稍有增加，但绝对量很小；对于张力最大的工况，水平索力和竖向索力都有较大增加，这与实际情况相符，表明在索力很大时，不考虑弹性段会带来较大的误差.

表1 算例1中弹性段在不同取值情况下的计算结果

算例2索段的弹性模量E=2×1011Pa，截面面积A0=10-5m2，单位长度重量q0=10 N/m，无应力长度L0=3.604 842 m.左、右两端刚臂长均为0.8 m，左端刚臂倾角αi=30°，右端刚臂倾角αj=60°.两端的弹性段长度均为0.600 925 m，与索段的弹性模量相等，截面面积为10-6m2，各弹性段重量均为50 N，弹性段外端各附加50 N的点荷载.弹性段截面面积取索的十分之一，以便于弹性段有较大的变形.

图5 算例2中组合单元在变形后的形状图Fig.5 The profile after displacement of the combined element in example 2

单元的左端点位于原点，右端点位于(5.095 698 3，3.761 006 7) m.算例2中组合单元在变形后的形状图见图5，组合索单元的节点力为(-500.045，-215.439，50.757，500.045，451.488，165.847) N.

平衡状态下，可推算出去除两端刚臂后，带弹性段索单元的节点力为(-500.045，-215.439， 500.045，451.488) N，它们对左刚臂左端产生的力矩为-50.757 N·m，与单元在左刚臂处的第3个节点力分量平衡，右端也如此.推算索段两端的节点力为(-500.045，-315.439， 500.045，351.488) N，索段两端的水平投影长度为3 m，竖直投影长度为2 m，由式(1)和(2)可知，索段处于平衡状态.因此，组合索单元的单元节点力计算正确.通过依次使组合索单元的各自由度有一微小的位移增量，计算得到单元节点力的增量，可按定义法得到单元的刚度矩阵.经检验，组合索单元输出的刚度矩阵与按定义法得到的刚度矩阵相同.因此，根据推导所计算的刚度矩阵是完全正确的.

5 结论

基于弹性悬链线的解析解，首先建立了悬链线单元，进而在两端增加弹性段，推导了带弹性段的索单元的相关公式；又在带弹性段的索单元两端增加刚臂，构成了组合索单元，算例证明了所推导公式及编程的正确性.本文的组合索单元是多功能的.在两端刚臂长度取零值的情况下，可退化为只有单侧刚臂或不带刚臂的带弹性段索单元；在弹性段长度取零值的情况下，可退化为带刚臂而不带弹性段的单元；当不考虑刚臂和弹性段后，组合索单元可进一步退化为弹性悬链线单元.在已知索端部某个张力或张力分量的情况下，可通过求解索段的水平投影与竖直投影方程得到索原长，进而建立该组合单元.因此，该组合索单元可用于模拟索的张拉过程.组合索单元可用于斜拉桥的设计与分析，能更精确地模拟拉索，也可以用于模拟拱桥中的吊杆和悬索桥中的吊索.